2022-2023学年安徽省芜湖市无为县重点中学高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年安徽省芜湖市无为县重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设复数，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，则该平面图形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，为边上的中线，为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，且与的夹角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列命题中，真命题为(    )

A. 若两个平面，，，则
B. 若两个平面，，，则与平行或异面
C. 若两个平面，，，则与是异面直线
D. 若两个平面，，则与一定相交．

6.  在三棱锥中，、、两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在直角梯形中，，，，，是的中点，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  在中，分别是角，，的对边，则的形状为(    )

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题中，真命题为(    )

A. 若在平面外，它的三条边所在的直线分别交平面于，，，，，三点共线
B. 若两条直线，互相平行且分别交直线于，两点，则这三条直线共面
C. 若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面
D. 若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行

10.  如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(    )

A. 与是异面直线
B. 与相交
C. 与是异面直线
D. 与是异面直线

11.  已知两个单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有(    )

A.  B.
C.  D. 在方向上的投影向量为

12.  对于，有以下判断，其中正确的是(    )

A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，，则符合条件的三角形有两个
D. 若，则是锐角三角形

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  是虚数单位，复数           ．

14.  已知，是两个不同的平面向量，满足：，则______．

15.  的内角，，的对边分别为，，若，，，则的面积为          ．

16.  棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数，，为虚数单位．
若，求的共轭复数；
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知向量与的夹角为，且，向量与共线，
求实数的值；
求向量与的夹角．

19.  本小题分
如图所示，四边形是直角梯形，其中、，若将图中阴影部分绕旋转一周，
求阴影部分形成的几何体的表面积．
求阴影部分形成的几何体的体积．

20.  本小题分
为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶米到达隧道口点处，测得间的距离为米．
若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
求隧道口间的距离．

21.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若点为边上一点，且满足，，，求的面积．

22.  本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，．
求角的大小；
若，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，的虚部为．
故选：．
由复数的运算求出即可．
本题考查复数的运算及概念，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为直观图是底角为的等腰梯形，且，，
所以等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，
所以原平面图形的面积为．
故选：．
求出直观图等腰梯形的高，计算等腰梯形的面积，再根据原平面图形与直观图的面积比求解即可．
本题考查了直观图与原平面图形的面积计算问题，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
利用向量加法的三角形法则以及中点的性质化简即可求解．

【解答】

解：因为为边上的中线，为的中点，
所以
，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：，，且与的夹角为，
，
．
故选：．
先求出的值，代入求解即可．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：若两个平面，则与无公共点，
又，，则与无公共点，可得或与异面，故AC为假命题，为真命题；
若两个平面，，则或或与相交，故D为假命题．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

、、两两垂直，
把三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，长方体的对角线长为，
三棱锥外接球的半径为，
三棱锥外接球的表面积为．
故选：．
由题意将三棱锥补形为长方体可得长方体的外接球即三棱锥的外接球，再进行计算即可．
本题考查球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：建立坐标系如图：则，，，，；
所以，，
则．
故选：．
通过建立平面直角坐标系，求出相关的坐标，然后求解向量的数量积即可．
本题考查向量的数量积的运算，转化为坐标运算简化解题过程，是基本知识的考查．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
化简可得，
，为直角三角形，
故选：．
由降幂公式和余弦定理化简可得出勾股定理的形式，可得结论．
本题考查三角形形状的判断，涉及余弦定理和降幂公式的应用，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对选项，确定唯一平面，记为平面，
又根据题意可知平面，且平面，
点在两平面的公共直线上，
同理可得，也在两平面的公共直线上，
故，，三点共线，选项正确；
对选项，，直线与直线确定唯一平面，记为，
又直线，互相平行且分别交直线于，两点，
，，且，，
，故直线，，共面于，选项正确；
对选项，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线没有公共点，
这条直线与平面内的直线平行或异面，选项正确；
对选项，若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行或相交，选项错误．
故选：．
根据基本事实，，及空间中点、直线、平面之间的位置关系，即可分别判断．
本题考查空间中点、直线、平面之间的位置关系，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：把展开图还原为正方体，如图所示：

还原后点与点重合，点与点重合，
由图可知，与为异面直线，与相交，故A，B正确；
因为与相交，故C错误；
因为与平行，故D错误．
故选：．
把展开图还原为正方体，再逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了正方体的展开图，考查了异面直线的判断，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
，故，故C正确；
两个单位向量的夹角为，
则
则方向上的投影为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合单位向量的定义，以及平面向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：由，
又，，，
可得：或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A选项错误；
对于：由，则当时，，
当时，由，可知，
所以，故B选项正确；
对于：由，，，
可得，
因为，
所以三角形有两解，故C选项正确；
对于：由正弦定理可将，转化为，
则，
所以，但无法判断，的范围，选项错误．
故选：．
根据正弦函数单调性和对称性可判断选项，根据三角函数的单调性可判断选项，利用正弦定理可判断选项，利用正弦定理及余弦定理可判断选项．
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质与图象等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数模的计算，属于基础题．
由复数，再利用复数模的计算公式即可得出．

【解答】

解：复数
，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，
则，，，
若，则有，
解可得：或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意；
故答案为：．
根据题意，由向量的坐标计算公式可得，，，进而由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得的值，验证即可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．

【解答】

解：由余弦定理有，
，，，
，
，
．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：棱长为的正方体中，平面，
则平面，连接交于点，如图所示：

正方体的棱长为，且，分别为棱，的中点，
则，，
，，
故三棱锥的体积为
故答案为：．
根据已知条件，结合棱柱的等体积法，即可求解．
本题主要考查三棱锥体积的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
，
．
在复平面上对应的点在第四象限，
，解得，
故实数的取值范围为 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

18.【答案】解：设，
则，
解得；
，，
向量与的夹角为，且，，
，
，，
，
又，
． 

【解析】设，则，从而求出的值；
先求出与的模长，再利用向量的夹角公式求解．
本题主要考查了向量共线的性质，考查了向量的数量积运算，属于基础题．
 

19.【答案】解：由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆台下底面、侧面和半球面，
，
，
，
故所求几何体的表面积为；
．
，
所求几何体的体积为． 

【解析】本题考查几何体的表面积与体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
分别求解圆台下底面、侧面和半球面的面积，作和得答案；
由圆台的体积减去半球的体积得答案．
 

20.【答案】解：在中，由正弦定理得，即，
，
若隧道口在点的北偏东度的方向上，
则；
，
，
在中，由余弦定理得
，
．
故隧道口间的距离是． 

【解析】由正弦定理可得，进而可求的值；
由可求，由余弦定理可求．
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ向量，，且，
，
由正弦定理可得，
，
，
，
，
，
，
Ⅱ，，，
，
，
两边平方得，，
，，
由，可得，
． 

【解析】Ⅰ利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，
Ⅱ利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式是解本题的关键．
 

22.【答案】解：由，
可得，
，，
，，；
当时，，由题意得，
由，得，，

．
，．
，
的取值范围为 

【解析】由已知可得，可求；
由正弦定理可得，计算可求的取值范围．
本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，属中档题．