2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县高二（下）期中数学试卷（文科）

2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县高二（下）期中数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的值的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别为和现甲、乙两人各投篮一次，则两人都命中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  对全班名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为，方差为，现发现数据收集时有两个错误，其中一个分记录成了分，另一个分记录成了分，纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  阅读如图程序框图，输出的结果的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  对于，，大前提，小前提，所以结论以上推理过程中的错误为(    )

A. 大前提 B. 小前提 C. 结论 D. 无错误

10.  设，，且，，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

12.  设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知单位向量，的夹角为，则 ______ ．

14.  若实数，满足约束条件，则的最小值为______ ．

15.  观察下列等式：，，，，根据上述规律，第五个等式为______．

16.  古希腊数学家把，，，，，叫做三角数，它有一定的规律性，则第个三角数减去第个三角数的值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，，分别是，的中点．

证明：平面；
求三棱锥的体积．

18.  本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
设，，，的最小值为，若，求的最小值．

19.  本小题分
已知直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求直线和曲线的极坐标方程；
若射线分别交直线和曲线于、两点点不同于坐标原点，求．

20.  本小题分
某企业投资两个新型项目，新型项目的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元的关系式为，新型项目的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元有如下统计数据表：

求关于的线性回归方程；
根据中所求的回归方程，若，两个项目都投资万元，试预测哪个项目的收益更好．
附：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
参考数据：，．

21.  本小题分
用分析法证明：；
已知，为正实数，请用反证法证明：与中至少有一个不小于．

22.  本小题分
某工厂甲、乙两条生产线生产的一批电子元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为合格品，小于为次品现随机从这批元件中抽取件元件进行检测，检测结果如下表：

试估计生产一件电子元件是合格品的概率；
根据下面列联表判断该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择是否有关．

附：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的实际应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．
分别令，，因此即可求解．

【解答】

解：依题意，令，
，
因此，正常人体血液的值的范围是．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：；
故选：．
直接利用抛物线的性质解题即可．
本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为甲、乙两人投篮相互独立，投篮命中率分别为和，
所以甲、乙两人各投篮一次，都命中的概率为．
故选：．
根据给定条件，利用相互独立事件的概率乘法公式计算作答．
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以在复平面内对应的点为，位于第一象限．
故选：．
根据复数共轭复数的定义与复数的几何意义即可得解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：集合，，所以．
故选：．
根据给定条件，利用并集的定义求解作答．
本题考查并集的求法，涉及并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：不妨取双曲线一条渐近线方程为，
因为圆的标准方程为，圆心是，半径是，
所以圆心到渐近线的距离为，
所以由弦长公式得，
则，即，即，故，
所以．
故选：．
把圆方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到渐近线的距离，由勾股定理可得，关系，从而求得离心率
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了数据的平均数和方差的计算问题，也考查了分析问题和解答问题的能力，是基础题．
分析数据更正前后，数据的总和不变，其波动变大，结合平均数、方差的定义分析可得结论．

【解答】

解：根据题意，两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为，
由知，这组数据的总和不变，
所以在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数不变，即，
由，
所以数据的波动变大了，即．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：由程序框图知：程序第一次运行，；
第二次运行，；
第三次运行，；
满足条件，程序运行终止，输出．
故选：．
根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件，确定输出的值．
本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，，都是正数，
小前提，没有写出的取值范围，
本题中的小前提有错误，
故选：．
演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论．
本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式，属于基础题．
根据基本不等式，分别判断大小关系，即可得解．

【解答】

解：，，
；
，
，
，
．
综上可知：．
故选B．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两个变量的线性相关，考查相关系数，属于基础题．
根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．

【解答】

解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图和图是正相关，相关系数大于，
图和图是负相关，相关系数小于，
图和图的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于，
由此可得．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：因为是定义域为的偶函数，
所以，
因为，在，单调递增，
所以，即，故A错误；
因为，所以，故B正确；
，所以，故C错误；
，所以，故D错误．
故选：．
利用函数的奇偶性与单调性逐个选项判断即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数值大小的比较，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：单位向量，的夹角为，
则，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律计算作答．
本题主要考查平面向量数量积的运算律，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：作出不等式组件，表示的平面区域，如图中阴影含边界，其中，，，
目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，
画直线，平移直线至直线，当直线经过点时，直线的纵截距最大，最小，即，
所以的最小值为．
故答案为：．
作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：所给等式左边的底数依次分别为，；，，；，，，；，右边的底数依次分别为，，，注意：这里，，
由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，，，，，，右边的底数为又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为．
故答案为：．
解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．
所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察图中各项的点数，可知三角数的每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，
因而可知第项比第个项点数多个，
而第项比第项多个，
故可求出第个三角数比第个三角数多的点数个．
故答案为：．
观察图中点数，可知每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，而第项比第项多个，根据以上两项即可求出第个三角数比第个三角数多的点数，从而总结出规律求解．
此题主要考查数列的规律性计算，计算时要注意找出规律．
 

17.【答案】证明：取的中点，的中点，连接，，
四边形是正方形，是的中点，
，，三点共线，且是的中点，
又是的中点，，分别是，的中点，
，，
，又平面，平面，
平面．

解：平面，是的中点，
到平面的距离为，
四边形是正方形，，，
三棱锥的体积为：． 

【解析】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
取的中点，的中点，利用中位线定理和平行公理即可证明，得出平面；
计算到平面的距离和三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算．
 

18.【答案】解：因为，
又，
所以当时，，解得；
当时，恒成立，故；
当时，，解得；
所以不等式的解集为．
当时，；
当时，；
当时，；
所以，
故，
由柯西不等式可得，
所以，当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为． 

【解析】利用分类讨论解绝对值不等式的方法求解即可；
利用一次函数的单调性，结合分段函数的性质求得，即，再利用柯西不等式即可得解．
本题考查绝对值不等式的解法以及柯西不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：直线的直角坐标方程为，
根据转换为极坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为，即，
根据转换为极坐标方程为．
设点、的极坐标分别为、，
射线与直线：交于点，
故，
射线与曲线：交于点，故，
故． 

【解析】根据普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线和曲线的极坐标方程；
设点、的极坐标分别为、，求出、的值，即可得出，即可得解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由表中数据得，，
又，，则，则，
所以关于的线性回归方程为．
新型项目的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元的关系式为，
因此项目投资万元，该企业所得纯利润的估计值为万元；
由知，关于的线性回归方程为，
因此项目投资万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元，显然，
所以可预测项目的收益更好． 

【解析】根据给定的数表，结合最小二乘法公式计算作答．
由已知求出项目投资万元所得收益的估计值，再利用的结论求出项目投资万元所得收益的估计值，比较大小作答．
本题考查线性规划相关知识，属于中档题．
 

21.【答案】证明：要证，
只需证，
即证，
即证，
即证，
而是成立的，．
假设结论不成立，则，
所以，
即，
即，
即，矛盾，故假设不成立，
所以与中至少有一个不小于． 

【解析】利用分析法的证明方法，通过变形平方，推出，即可证明结果．
利用反证法假设结论不成立，则，推出矛盾结论，即可．
本题考查不等式的证明，分析法以及反证法证明不等式的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．
 

22.【答案】解：由题意可知，件元件中有件合格品，
所以估计生产一件电子元件是合格品的概率为；
由已知，得，
所以有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关． 

【解析】由古典概型概率公式求解；
计算，即可作出判断．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题．