人教版九年级上册22.1.1 二次函数教学设计

22.1 二次函数的图象和性质

22.1.1 二次函数

一、教学目标

【知识与技能】

1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

【过程与方法】

通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.

【情感态度与价值观】

在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.

【教学难点】 

1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；

2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.

五、课前准备 

课件

六、教学过程

（一）导入新课

如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？（出示课件2）

教师问：上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？

（二）探索新知

探究一 二次函数的概念

出示课件4：教师问：正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为    .

学生答：y=6x2①.

出示课件5：教师问：多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？

如果多边形有n条边,那么它有     个顶点,从一个顶点出发,可以作     条对角线.

学生答：n；（n-3）

教师问：多边形的对角线总数为       ，即          .

学生答：d=n(n-3)；d=n2-n②

教师强调：②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.

出示课件6：教师问：某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？

这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是      件,再经过一年后的产量是      件,即两年后的产量为           ，即           .

学生答：20(1+x)；20(1+x)2；y=20（1+x）2；y=20x2+40x+20③

教师强调：③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.

出示课件7：教师问：函数①②③有什么共同点?

学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.

出示课件8：教师问：认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．

学生答：x；y；n；d；x；y

教师问：这些函数有什么共同点？

学生答：这些函数自变量的最高次项都是二次的！

出示课件9：教师归纳：二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数.

教师强调：

（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.

（2）a,b,c为常数，且a≠0.

（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.

（4）x的取值范围是任意实数.

出示课件10：教师归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项.

出示课件11：教师归纳：二次函数的形式：

二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c  (其中a、b、c是常数,a≠0).

二次函数的特殊形式:

当b＝0时，y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项）

当c＝0时，y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项）

当b＝0，c＝0时，y＝ax2.（只含有二次项）

出示课件12：例1  下列函数中是二次函数的有        . 

学生自主思考后，学生口答：①⑤⑥

出示课件13：师生共同完善认知：运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：

（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；

（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；

（3）判断自变量的最高次数是否是2；

（4）判断二次项系数是否不等于0.

出示课件14：下列函数中,哪些是二次函数？

(1) y=3(x-1)²+1；⑵；

(3) s=3-2t²；⑷；

(5)y=(x+3)²-x²；(6) v=10πr²；

(7) y=x²+x³+25；(8) y =2²+2x.

学生自主思考后解答：⑴⑶⑹是，⑵⑷⑸⑺⑻不是.

出示课件15：例2  关于x的函数是二次函数, 求m的值.

学生共同思考后，师生共同解答如下：

解:由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0.

解得m=2.

因此当m=2时，函数为二次函数. 

教师强调：注意：二次函数的二次项系数不能为零.

出示课件16：是二次函数，求常数a的值.

学生自主思考后，独立解答.

解：根据二次函数的定义，得

解得a=-1.

探究二 根据实际问题确定二次函数解析式

师生共同完善认知：（出示课件17）

根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：

①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；

②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；

③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.

出示课件18：例 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，计算菜园的面积.

师生共同分析后，共同解答.

解：由题意得：y=x(40-2x).

即y=-2x2+40x.(0<x<20)

当x＝12m时，菜园的面积为y=-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.

教师点拨：确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.

出示课件19：做一做:

①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；

②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；

③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.

学生自主思考后，口答：

①y=πx2(x>0)；

②y=2(1+x)2(x>0)；

③S=4πr2(r>0).

说一说以上二次函数解析式的各项系数.

（三）课堂练习（出示课件20-24）

1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（      ）

A.y=3x-1              B.y=ax2+bx+c 

C.s=2t2-2t+1           D.y=x2+

2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

3.下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为(    )

A.y=ax2+bx+c            B.y2=x2-4x+1

C.y=x2                  D.y=22+x+1

4.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是(    )

A.m,n是常数,且m≠0         B.m,n是常数,且n≠0

C.m,n是常数,且m≠n         D.m,n为任何实数

5.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.

6.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.

7.当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.

参考答案：

1.C

2.解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，

解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1,

∴当m=0时，这个函数是一次函数；

（2）根据二次函数的定义，

得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1,

∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.

3.C

4.C

5.S=4πr2.

6.m=n(n-1),即m=n2-n.

7.解：由二次函数的定义，得

解得m=1.

∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.

（四）课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.

（五）课前预习

预习下节课（22.1.2）的相关内容.

七、课后作业

1.教材习题22.1第1、2、8题；

2.配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从具体事物中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.

教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.