初中数学21.3 实际问题与一元二次方程第3课时教学设计

21.3 实际问题与一元二次方程

第3课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.

2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.

【过程与方法】

经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.

二、课型

新授课

三、课时

第3课时

四、教学重难点

【教学重点】 

列一元二次方程解决实际应用问题.

【教学难点】 

寻找问题中的等量关系.

五、课前准备 

课件

六、教学过程

（一）导入新课

教师问：通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？（出示课件2）

学生答：步骤：①审题；②设元；③列式；④解答；⑤验根；⑥答案.

出示课件3：现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm²，问剪去的小正方形的边长应是多少?

学生自主思考后解答.

解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77  .                    

整理得：x²-17x+52=0.

解方程，得：（x-13）（x-4）=0.

解得：x1=4，x2=13（舍去）.

因此剪去的小正方形的边长应为3cm.

（二）探索新知

探究 几何图形的面积问题

出示课件5：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？

学生自主思考后，师生共同解答.（出示课件6）

解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm．

因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的__,则中央矩形的面积是封面面积的____．

所以可列方程得：（27-18x）（21-14x）=×27×21.

整理，得 16x2-48x+9=0.

解方程，得 x=，

x1≈2.8cm，x2≈0.2.

所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm.

因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．

出示课件7：解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，

列方程得：

解得x≈2.6.

上、下的边衬的宽为（27-9×2.6）×0.5=1.8cm.

左、右的边衬的宽为（21-7×2.6）×0.5=1.4cm.

出示课件8：例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）

师生共同分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.

解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3.

整理方程得：2x²+9x-9=0.

解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去）.

因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺）.

台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺）.

即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.

出示课件9：要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？

学生自主思考后解答.

解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得

，

整理得8x2+204x-319=0,

解得.

∴x1=,x2=(不合题意，舍去).

∴x=≈1.5.

答：镜框的宽度约为1.5cm.

出示课件10，11，12：例2 如图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.

（1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽；

解：设BC=xcm,则AB=CD=（35-x），依题意可列方程：

(35-x)x=150.

整理得：x2-35x+300=0,

解方程，得（x-20）(x-15)=0.

即：x1=20，x2=15.   

当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，

当BC=15m时，AB=CD=10m，

即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m.

（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？

解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.

教师强调：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四边之和等于总长.

（3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的理由.

解：不能围成面积为160m²的长方形鸡场，理由如下：

设BC=xm，由（1）知AB=(35-x)，从而有(35-x)x=160，

方程整理为x²-35x+320=0.

此时Δ=35²-4×1×320=-55＜0，

原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不能围成面积为160m²的鸡场.

出示课件13：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？

学生自主思考后解答.

解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，

则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.

由题意得x(25-2x+1)=80.

整理，得x2-13x+40=0.

解方程，得（x-5）（x-8）=0.

即：x1=5,x2=8.

当x=5时，26-2x=16>12(舍去）；当x=8时，26-2x=10<12，

故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.

出示课件14：例3 如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？

学生自主思考后，师生共同解答如下：

解：设道路的宽为x米，依题意得

20×32-32x-20x+x2=540.

教师问：还有其他方法吗？

出示课件15：解：设道路的宽为x米.

(32-x)(20-x)=540.

整理，得x2-52x+100=0.

解方程，得（x-50)(x-2）=0.

即x1=2,x2=50.

当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.

∴取x=2.

答：道路的宽为2米.

出示课件16：变式一：在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？

教师分析后，学生自主解答.

解：设道路的宽为x米.可列方程为

(32-x)(20-x)=540.

出示课件17：变式二：如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？

教师分析后，学生自主解答.

解：设道路的宽为x米.可列方程为

(32-2x)(20-x)=540.

出示课件18：如图，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？

教师分析后，学生自主解答.

解：设道路的宽为x米.可列方程为

(32-2x)(20-2x)=540.

出示课件19：变式四：在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？

出示课件20：教师分析后，学生自主解答.

解:设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，于是可列方程

(30-4x)(20-6x)=×20×30.

出示课件21：教师强调：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出结果，至于实际施工，仍可按原图的位置进行）.

出示课件22：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?

学生自主思考后，自主解答如下：（出示课件23）

解:设道路宽为x米，依题意得

（32-2x）（20-x）=570.

整理得，x2-36x+35=0.

解方程，得（x-35）（x-1）=0.

即：x1=35，x2=1.

其中的x=35超出了原矩形的宽，应舍去.

答:道路的宽为1米.

（三）课堂练习（出示课件24-28）

1.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）

A．（x+1）（x+2）=18         B．x2﹣3x+16=0

C．（x﹣1）（x﹣2）=18      D．x2+3x+16=0

2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（      ）

A．x2+130x-1400=0      B．x2+65x-350=0

C．x2-130x-1400=0       D．x2-65x-350=0

3.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．

4.如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？

5.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

参考答案：

1.C

2.B

3.解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm，依题意得：

5(2x-10)(x-10)=3000.

整理得x2-15x-250=0.

解方程，得（x-25）（x+10）=0.

即x1=25,x2=-10(舍去）,所以2x=50.

答：铁板的长50cm,宽为25cm.

4.解：设AB长是xm，依题意得：(100-4x)x=400.    

整理得x2-25x+100=0.

解方程得（x-20）（x-5）=0.

即x1=5，x2=20.

x=20,100-4x=20<25,

x=5,100-4x=80>25,x=5(舍去).

答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.

5.解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得： (20-6x)(30-4x)=20×30×           .

整理得6x2-65x+50=0.

解方程得

则

答：每个横竖彩条的宽度分别是cm ,cm .

（四）课堂小结

通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？

（五）课前预习

预习下节课（22.1.1）的相关内容.

七、课后作业

配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.

2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.