人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积第1课时教学设计及反思

24.4 弧长和扇形的面积

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.

【过程与方法】

通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.

【情感态度与价值观】

通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.

【教学难点】 

运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.

五、课前准备 

课件、图片、直尺、圆规等.

六、教学过程

（一）导入新课

教师问：如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？（出示课件2）

学生答：因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.

教师问：怎样来计算弯道的“展直长度”？（板书课题）

（二）探索新知

探究一 弧长计算公式及相关的计算

教师问：半径为R的圆,周长是多少？（出示课件4）

学生答：.

教师问：①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n°的圆心角所对的弧长是多少？

学生答：①360°的圆心角所对的弧长是圆的周长；②1°的圆心角所对的弧长是圆的周长的；③n°的圆心角所对的弧长是圆的周长的.

教师问:下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？（出示课件5）

学生观察，计算，交流，教师抽查学生分别口答.

教师归纳：（出示课件6）

弧长公式：

用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.

算一算：已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.

学生代入公式进行计算：

出示课件7：例 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)

学生观察思考后，师生共同解答.

解：由弧长公式，可得弧AB的长：

因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.

答：管道的展直长度为2970mm．

巩固练习：（出示课件8）

一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14）？

学生自主思考后，独立解答，一生板演.

解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.

解得n≈90°.

因此，滑轮旋转的角度约为90°.

探究二  扇形面积计算公式及相关的计算

出示定义:圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.（出示课件9）

判一判：下列图形是扇形吗？（出示课件10）

学生观察后口答：×；×；√；×；√.

教师问：半径为r的圆,面积是多少？（出示课件11）

学生答：.

教师问：①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？

学生答：①360°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积；②1°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的③n°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的.

教师问：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?（出示课件12）

学生观察计算并填表.

出示课件13：教师归纳：

扇形面积公式：半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为

教师强调：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.

教师问：扇形的面积与哪些因素有关？（出示课件14）

学生答1：圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.

学生答2：圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，面积越大.

教师总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.

教师问：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？（出示课件15）

学生板演：

教师问：扇形的面积公式与什么公式类似？

学生答：

出示课件16：例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）

学生独立思考后师生共同解答.

解：∵n=60，r=10cm，

∴扇形的面积为

扇形的周长为

巩固练习：（出示课件17）

1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积S扇=      ．

2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=      .

学生独立思考后口答：1.；2..

出示课件18，19：例2  如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）

教师问：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？

学生答：阴影部分.

教师问：(2)水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？

学生答：线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.

教师问：(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？

学生答：阴影部分面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积.

师生共同解答如下：（出示课件20）

解：如图(3)，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.

∵OC＝0.6,DC＝0.3,

∴OD＝OC-DC＝0.3，

∴OD＝DC.

又AD⊥DC，

∴AD是线段OC的垂直平分线，

∴AC＝AO＝OC.

从而∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.

有水部分的面积：

S＝S扇形OAB-SΔOAB

出示课件21：弓形的面积公式：

教师归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.

巩固练习：（出示课件22）

如图，扇形OAB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D是弧AB的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____．

学生独立思考后解答：阴影部分的面积就是扇形OAC的面积，由题意得：

∠AOC=60°÷3=20°.

S扇形OAC==2π.

（三）课堂练习（出示课件23-29）

1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则       的长为（　　）

A．   B．   C．2π    D．

2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π     B．2π       C．3π           D．6π

3.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长_____.

4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （      ）

5.如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是_____.

6.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．

7.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.

8.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.

参考答案：

1.D

2.C

3.2π

4.C

5.

6.

7.解：

8.解：由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'的长.

∵等边三角形ABC的边长为10cm，

∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.

∴l弧AA'

答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为

（四）课堂小结

通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？

（五）课前预习

预习下节课（24.4第2课时）的相关内容.

七、课后作业

1.教材113页练习1,2,3.

2.配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.