2023年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷(含解析)

2023年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  新冠病毒的直径大约是米，呈圆形或者椭圆形，主要通过呼吸道进行传播数据用科学记数法表示(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，，，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一次数学测试，甲、乙两班同学的成绩统计并分析如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 小明得分将排在甲班的前名
C. 甲，乙两班竞赛成绩的众数相同 D. 甲班的整体成绩比乙班好

7.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果一个多边形的内角和等于，这个多边形是(    )

A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形

9.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  二次函数的图象如图所示，有下列结论：
；
；
；
．
其中正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  如图，在平行四边形中，是边上的中点，连接，并延长交延长线于点，则与平行四边形的面积之比是______ ．

13.  若，则的值为______ ．

14.  为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小明利用物理学中“光的反射定律”做了如下的探索：如图，找一面很小的镜子放在合适的位置点处，小明站在点处刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小明看镜子的视线与地面的夹角为即，镜子到大树的水平距离为米，则树的高度为______ 米注：反射角等于入射角，结果若有根号则保留根号．

15.  如图，在中，，，分别以点、为圆心，相同半径画弧，弧线分别相交有两个交点，连接这两个交点的直线交于点，连接，则 ______ 结果若有根号则保留根号

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组，并求不等式组的正整数解．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：书法，：绘画，：摄影，：泥塑，：剪纸，张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图如图所示根据统计图信息完成下列问题：

张老师调查的学生人数是______ ，其中选择“泥塑”选修课的人数是______ ，“剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数为______ ；若该校共有学生名，请估计全校选修“绘画”的学生人数约是______ ．
现有名学生，其中人选修书法，人选修绘画，人选修摄影，张老师要从这人中任选人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法用表示，求所选人都是选修“书法”的概率．

19.  本小题分
疫情全面开放以来，旅游业迅速升温，某旅行社为吸引广大市民组团去市旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用为元，如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元．
如果某公司组织人参加去市旅游，那么需人均支付旅行社旅游费用______ 元；
现某公司组织员工去市旅游，共支付给该旅行社旅游费用元，那么该单位有多少名员工参加旅游？

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于点，，已知点的纵坐标为，
求一次函数的表达式；
求点的坐标，并直接写出时的取值范围．

21.  本小题分
如图，锐角，，以为直径的与边交于点，与边交于点，过点作，垂足为点，连接．
求证：是的切线；
若，，求，和弧围成的阴影部分的面积．

22.  本小题分
如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．

证明：．
延长交于点判断四边形的的形状，并说明理由；
若，求线段的长度

23.  本小题分
如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标；
若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？不存在，则说明理由；若存在，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以最大的数为．
故选：．
任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．依此即可求解．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是同类项不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．
根据合并同类项，可判断，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断，根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可判断．
本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆；
B、圆锥主视图是三角形，俯视图是圆；
C、正方体的主视图与俯视图都是正方形；
D、三棱柱的主视图是矩形与俯视图都是三角形；
故选：．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，


，
故选：．
根据平行线的性质以及三角形外角的性质得出，将已知数据代入即可求解．
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形外角的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：选项，甲班方差大于乙班方差，所以乙班成绩稳定，A错误；
选项，甲班中位数是，共人参加，，排名在名之前，B正确；
选项，数据分析中未给出众数的相关信息，无法判断，不选；
选项，甲、乙两班平均数相等，甲班中位数小于乙班中位数，且甲班方差大于乙班方差，乙班成绩更加稳定，因此甲班整体成绩不如乙班好，D错误；
故选：．
数据分析中的方差越小，成绩越稳定；由中位数判断成绩排名；整体成绩需要参考各项分析数据方可得出结论．
本题考查数据整理和分析，掌握平均数、中位数、众数、方差的含义是解题的关键，易错点是方差越小越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故选：．
根据边形的内角和为得到，然后解方程即可．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据完全平方公式得出，再代入求出即可．
本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，
．
抛物线与轴交点在轴的负半轴上，
．
由得，，
，
故正确．
由抛物线的对称轴为，可知时和时的值相等．
由图知时，，
时，．
即．
故正确．
由图知时二次函数有最小值，
，
，
故错误．
由抛物线的对称轴为可得，
，
，
当时，．
由图知时，
．
故正确．
综上所述：正确的是．
故选：．
由抛物线的开口方向、与轴交点以及对称轴的位置可判断、、的符号，由此可判断正确；
由抛物线的对称轴为，可知时和时的值相等可判断正确；
由图知时二次函数有最小值，可判断错误：
由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图象可判断正确．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：
故答案为：．
根据提公因式法分解因式即可．
本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法，易错点是提取公因式后要保留．
 

12.【答案】： 

【解析】解：平行四边形中，是边上的中点，
，，
∽，
，
，
，
在，中，
，
≌，
，
，
与平行四边形的面积之比是：．
故答案为：：．
根据平行四边形的性质得出，证明≌，∽，进而根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
先根据绝对值和平方的非负性求出，的值，然后代入代数式中即可得出答案．
本题主要考查代数式求值，掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由反射定律可知，
在中，
，，米，
米，
树的高度为米．
故答案为：．
先由反射定律可知，再解求出的长即可得到答案．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：中，，，
，
由作图方法知：点在线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，
，
解得，舍去，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理，可得，由作图方法可知点在线段的垂直平分线上，进而可得，设，则，证明∽，根据相似三角形对应边成比例即可列式求解．
本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等，解题的关键是设法证明∽．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
原不等式组的正整数解为：，，． 

【解析】分别解两个不等式，然后取得这两个不等式解的公共部分即可得出答案，最后求其整数解．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，要掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算小括号里面的加法，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则以及二次根式的分母有理化计算是解题关键．
 

18.【答案】       

【解析】解：，
调查人数是人；
，
项目有人；
，
项对应圆心角度数为；
，
全校估计选修“绘画”的学生有人；
故答案为：，，，．

画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽到两人都是书法的结果有种，
抽到两人都是书法的概率为．
由项对应学生人数及所占百分比，求出总人数；项目人数总人数除项目之外的人数；求出项人数的占比，再乘以即可；用项人数占比乘以即可；
画出树状图求概率即可．
本题考查数据的统计和概率，解题关键是用同一项目的人数其所占样本数的比例，求出样本数，并用频率估计整体的概率，熟练使用树状图计算概率．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
人均支付旅行社旅游费用元；
故答案为：；
设该单位有名员工参加旅游，由题意得：，解得，
，
该单位超过人参加旅游；
当时，
由题意得，，
，
解得或舍去，
当时，
由题意得，，
解得不符合题意，
综上所述，；
答：该单位有名员工参加旅游．
根据所给的收费标准列式求解即可；
设该单位有名员工参加旅游，计算得到可分下列两种情况：当时，当时，根据所给的收费标准列出方程求解即可．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是需分不同情况进行讨论，根据题意列出一元二次方程，求解时舍去不符合题意的解，易错点是需确定未知数在不同取值范围时不同的解法．
 

20.【答案】解：点的纵坐标为，点在上，
代入点纵坐标，得
，
解得，
点的坐标为，
将代入一次函数，得，
解得，
一次函数解析式为：，
联立，
解得或，
点的坐标是，
点的坐标是，
观察函数图象，时的取值范围为或． 

【解析】代入点的纵坐标到反比例函数求得点的坐标，将点的坐标代入到一次函数解析式，求得的值，即求出一次函数解析式；
联立一次函数与反比例函数解析式，求得点的坐标；观察函数图象，得到时的取值范围．
本题考查求一次函数解析式，以及利用函数图象解不等式，解题的关键是代入函数图象上一点的坐标进行求解，联立一次函数与反比例函数解析式求交点坐标，通过观察函数图象确定的取值范围．
 

21.【答案】证明：证明：连接，

在中，为圆的直径，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线；
解：，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积为． 

【解析】连接，由等腰三角形和圆的性质，证明为的中位线，证明，即可证明是的切线；
由等腰三角形、圆的性质，解直角三角形即可求、以及圆半径的长，由特殊角的三角函数值确定圆心角的度数，得出扇形的面积，进而求出阴影部分的面积．
本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆的性质和切线的判定以及解直角三角形，熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质、圆中直径所对的圆周角是，通过解直角三角形求出圆心角的度数以及各边的长是解题的关键．
 

22.【答案】证明：由题意和旋转的性质可得：，，
四边形是正方形，
，，
，
，即：，
，，，
≌，
；

解：四边形是正方形，理由如下：
由得：≌，且，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；

解：在正方形中，，
在正方形中，设，
，则，
在中，，，
即：，
解得：不符合题意，舍去，，
，
，
故答案为：． 

【解析】由旋转的性质证明≌，即可得出答案；
先证明四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；
设正方形边长为，在中用勾股定理即可求解．
本题主要考查全等三角形的判定、正方形的判定及性质、以及勾股定理的运用，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定、正方形的判定方法是解题的关键，设所求线段为未知数，用勾股定理建立等量关系进行求解．
 

23.【答案】解：把代入得：，
解得：．
这个抛物线的解析式为：；

抛物线的解析式为：，
，对称轴为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
轴，
，则，

由题意得，当点在对称轴右侧时，矩形的周长最大，
矩形的周长

，
当时，矩形周长的最大值，
此时点的坐标为；

存在，点的坐标为或或理由如下：
设，，
分三种情况：
当为对角线时，如图，

，，
，解得，
，
点的坐标为；

当为平行四边形的边，为对角线时，
，，
，
解得：
，
点的坐标为；

当为平行四边形的边，为对角线时，
，解得，
，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或． 

【解析】把点代入抛物线解析式中，进行计算即可；
由抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴，及点坐标，求出直线的解析式，
设点横坐标为，根据直线的解析式和中点坐标公式，用表示出点和点的坐标，即可用表示、的长，根据矩形的周长为：，由题意知，当点在对称轴右侧时，取最大值，矩形的周长有最大值；
根据点在抛物线对称轴上得，讨论如下：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边时，若点在对称轴左侧时，当为平行四边形的边时；分别按照中点坐标公式计算对角线上两点的坐标即可求出点的坐标．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，灵活运用矩形的性质，平行四边形的性质．