2023年广东省江门市中考数学二模试卷(含解析)

2023年广东省江门市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面四个数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  由个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列图形中，不是轴对称图形的是(    )

A. 圆 B. 等腰三角形 C. 矩形 D. 平行四边形

5.  把点向上平移个单位，再向左平移个单位后得到，点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，中，点，分别是，的中点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在一次视力检查中，某班名学生右眼视力的检查结果为：、、、、、、，这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  已知关于的方程的一个根为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在边长为的菱形中，，动点在边上与点，均不重合，点在对角线上，与相交于点，连接，，若，则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D. 的最小值为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  一个正数的两个平方根分别是和，则这个数为______．

13.  若，则______．

14.  数学课上，老师将如图边长为的正方形铁丝框变形成以为圆心，为半径的扇形铁丝的粗细忽略不计，则所得扇形的面积是          ．
 

15.  如图，中，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
已知：如图，点、、、在同一直线上，，，求证：．

19.  本小题分
在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类：艺术类，：科技类，：文学类，：体育类的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．

这次调查中，一共调查了多少名学生？
求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
若全校有名学生，请估计喜欢科技类的学生有多少名？

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上点的横坐标大于点的横坐标，点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．

求的值．
若为中点，求四边形的面积．

21.  本小题分
某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买个篮球和个排球，共需元；若购买个篮球和个排球，共需元．
求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
该中学决定购买篮球和排球共个，总费用不超过元，那么最多可以购买多少个篮球？

22.  本小题分
如图，、是的切线，切点分别是、，过点的直线，交于点、，交于点，的延长线交于点，若．
求证：；
若，求的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
求这条抛物线所对应的函数的表达式；
若点为该抛物线上的一个动点，且在直线上方，求点到直线的距离的最大值及此时点的坐标；
点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为：两部分，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
比小的数是．
故选：．
实数比较大小，正数大于负数，正数大于，负数小于，两个负数比较大小，绝对值越大这个负数越小，利用这些法则即可求解．
本题主要考查了实数的大小的比较，主要利用了负数小于．
 

2.【答案】 

【解析】解：当，时，
，
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则：底数不变，指数相加．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A、、的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D的平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：向上平移个单位，再向左平移个单位后得到，
，；
点的坐标是．
故选：．
根据平移的基本性质，向上平移，纵坐标加，向右平移，横坐标加；
本题考查了平移的性质，向右平移个单位，坐标，向左平移个单位，坐标，向上平移个单位，坐标，向下平移个单位，坐标．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据的中位数是，众数是．
故选：．
应用中位数和众数的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义进行求解是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的方程的一个根为，
所以
解得．
故选：．
根据方程根的定义，将代入方程，解出的值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：由可得，
，
整理，得：，
且，
当时，则，
即，
解得，
当时，则，此时无解
由上可得，，
故选：．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
≌，
，，故A正确，不符合题意；
，，，
≌，
，
，
，故B正确，不符合题意；
，，
∽，
，
，
，
，故C正确，不符合题意；
以为底边，在的下方作等腰，

，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，故D错误，符合题意．
故选：．
根据菱形的性质，利用证明≌，可得，故A正确；利用菱形的轴对称知，≌，得，则，故B正确，利用∽，得，且，可得C正确，利用定角对定边可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，利用含角的直角三角形的性质可得的最小值，从而解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用定边对定角确定点的运动路径是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式．掌握因式分解的方法是解题的关键．
直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：一个正数的两个平方根分别是和，

，
．
故答案为：．
根据一个正数的平方根互为相反数，可得和的关系，根据互为相反数的两个数的和为，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得的值，根据把的值代入，可得代数式的值．
本题考查了平方根，熟记平方根的定义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，



，
故答案为：．
将原式化为，再整体代入计算即可．
本题考查代数式求值，将原式化为是正确解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
先求出弧长，再根据扇形面积公式：其中为扇形的弧长，是扇形的半径计算即可．
本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是记住扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长，求出是解题的关键．
【解答】
解：由题意，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
，点、分别是、的中点，
，，
当、、在同一直线上时，取最小值，
的最小值为：．
故答案为：．
根据三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为：．
本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】根据二次根式的性质，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，化简绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

17.【答案】解：
，
当，时，原式
． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌．
，
，
即：． 

【解析】利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，准确利用全等三角形的判定定理解答是解题的关键．
证明：，
．
在和中，
，
≌．
，
，
即：．
 

19.【答案】解：名，
答：调查的总学生是名；
所占百分比为，
扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数为：；
所占的百分比是，
的人数是：名，
补图如下：

名，
答：估计喜欢科技类的学生大约有名． 

【解析】根据类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
用整体减去、、类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数以及所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出的人数，从而补全图形；
总人数乘以样本中所占百分比即可得．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
 

20.【答案】解：将点的坐标为代入，
可得，
的值为；

的值为，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为，将代入，
可得，
点的坐标为，
． 

【解析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，三角形、四边形面积等，运用数形结合思想是解答此题的关键．
将点的坐标为代入，可得结果；
利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
 

21.【答案】解：设每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元，
根据题意得：，
解得，
每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元；
设购买个篮球，
根据题意得：，
解得，
答：最多可以购买个篮球． 

【解析】设每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元，可得：，即可解得每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元；
设购买个篮球，可得：，即可解得最多可以购买个篮球．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
 

22.【答案】解：证明：连接，

、切于点、，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
，
，
由得，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
． 

【解析】连接，、切于点、，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即，
，由得，根据勾股定理得出的长度，由相似三角形的判定得出∽，根据相似比可以得出的长．
本题考查相似三角形的判定定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质．解本题要熟练掌握相似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等这些基本知识点．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于，，与轴交于点．
，
解得：，
抛物线的解析式为；

过点作于，交直线于点，过点作于，如图．

设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为．
设点的横坐标为，则点的横坐标也为，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，点到直线的距离取得最大值．
此时，
即点的坐标为；

如图，设直线交轴于点，

直线把四边形的面积分为：两部分，
又：：：，
则：：或：
则或，
即点的坐标为或，
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或，
联立方程组或，
解得：或不合题意值已舍去，
故点的坐标为或 

【解析】运用待定系数法即可解决问题；
过点作于，交直线于点，过点作于，可用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，则点的横坐标也为，从而可以用的代数式表示出，然后利用得到，可得出关于的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
根据：：：，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．