湖北省襄阳市枣阳市六校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份湖北省襄阳市枣阳市六校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共40页。试卷主要包含了如图，直线y＝kx+b，下列运算正确的是，如图等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省襄阳市枣阳市六校联考八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，直线y＝kx+b（k＞0）经过点A（﹣4，1），当kx+b＞﹣x时，x的取值范围为（　　）

A． B．x＜0 C．x＜﹣4 D．x＞﹣4
3．已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜1 C．1＜m＜2 D．﹣1＜m＜2
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．（a﹣1）2＝a2+2a+1
C．（﹣a2）3＝﹣a5 D．a2•2a3＝2a5
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．5 B．10 C．20 D．30
6．如图（单位：cm），等腰直角△EFG以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到EF与BC重合，当运动时间为xs时，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，点P是AC延长线上一动点，PM⊥BC边与点M，PN⊥AB边与点N，连接MN，则MN的最小值为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，点P是DF的中点，连接AP，EP．若AP＝AD，BE＝BF，则∠BEP的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
9．如图，点E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB于点F，交对角线AC于点G，且点G为EF的中点，若正方形的边长为4，则AG的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
10．如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（　　）

A．16 B．14 C．8 D．7
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是 　 　．

12．一次函数y＝﹣3x+mx﹣m的图象经过定点A，则点A的坐标是 　 　．
13．两个形状大小相同的菱形在矩形ABCD内按如图所示方式摆放，若菱形的边长为2cm，∠F＝120°，且EF⊥EG，则AD的长为 　 　cm．

14．2022卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，A，B，C三个小组中积分方差最小的是 　 　组．
A组
积分
B组
积分
C组
积分
荷兰
7
英格兰
7
阿根廷
6
塞内加尔
6
美国
5
波兰
4
厄瓜多尔
4
伊朗
3
墨西哥
4
卡塔尔
0
威尔士
1
沙特阿拉伯
3
15．如图，四边形ABDC中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝2∠D，AC+1＝BC+CD，AB＝3，则线段BD的长为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分70分）
16．计算：．
17．在四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，，AD＝2cm，AC⊥AB，求四边形ABCD的面积．

18．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝AD，连接BF，CF．
（1）求证：EF平行且等于BC；
（2）求证：四边形BCEF是矩形；
（3）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EC的长．

19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．

21．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
22．在一条笔直的公路上有A，B两地．小佳骑自行车从A地到B地，中途休息了一段时间后以原速继续行驶到B地；在小佳出发的同时小伟骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路原速返回，结果两人同时到B地．如图是小佳和小伟两人离B地的距离y（单位：km）与小伟行驶时间x（单位：h）之间的函数图象．
（1）求小佳骑自行车的速度；
（2）求小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出小伟在行进中能用无线对讲机与小佳保持联系的时间x的取值范围．

23．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+6k（k≠0）与x轴交于点A，四边形OABC是平行四边形，BC边与y轴交于点E．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，过B作AB的垂线交y轴负半轴于点D，EC＝ED，设点B的横坐标为t，OD长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接AD、OB、CD，当以CD，OB，AD的长为三边长构成的三角形面积是8时，在OB上取中点F，在OE上取点N，将射线FN绕点F顺时针旋转45°交x轴正半轴于点M，连接MN，若△OMN的周长为6，直线y＝kx+6k经过点N，求k的值．



参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由平行四边形的性质得OA＝AC＝2，OB＝BD＝3，根据三角形的三边关系得OB﹣OA＜AB＜OB+OA，则1＜AB＜5，于是可得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AC＝4，BD＝6，
∴OA＝AC＝2，OB＝BD＝3，
∴OB﹣OA＝1，OB+OA＝5，
∵OB﹣OA＜AB＜OB+OA，
∴1＜AB＜5，
∴在4、5、6、7四个数值中，AB可能等于4，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的三边关系等知识，由平行四边形的性质求得OA＝2，OB＝3，再根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．
2．如图，直线y＝kx+b（k＞0）经过点A（﹣4，1），当kx+b＞﹣x时，x的取值范围为（　　）

A． B．x＜0 C．x＜﹣4 D．x＞﹣4
【分析】先画出直线y＝﹣x的图象，再结合图象即可确定x取值范围．
解：直线y＝﹣x的图象如图所示：
直线y＝﹣x与直线y＝kx+b（k＞0）交于点A（﹣4，1），
根据图象可知，kx+b＞﹣x时，x的取值范围是x＞﹣4，
故选：D．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
3．已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜1 C．1＜m＜2 D．﹣1＜m＜2
【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k＞0，b＞0，则k的范围为，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围．
解：把（3，1）代入y＝kx+b得3k+b＝1，b＝﹣3k+1，
因为直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
所以k＞0，b＞0，即﹣3k+1＞0，
所以k的范围为，
因为m＝3k﹣b＝3k﹣（﹣3k+1）＝6k﹣1，
所以m的范围为﹣1＜m＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与系数的关系，解决本题的关键是用k表示出m的值．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．（a﹣1）2＝a2+2a+1
C．（﹣a2）3＝﹣a5 D．a2•2a3＝2a5
【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故B不符合题意；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故C不符合题意；
D、a2•2a3＝2a5，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的减法，积的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．5 B．10 C．20 D．30
【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得OA＝OC＝AC＝3，再由S菱形ABCD＝×6BD＝24，求得BD＝8，则OB＝OD＝BD＝4，再由∠AOB＝90°，根据勾股定理求得AB＝＝5，即可求得菱形ABCD的周长为20，于是得到问题的答案．
解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，
∴OA＝OC＝AC＝×6＝3，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝24，
∴×6BD＝24，
解得BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝×8＝4，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×5＝20，
故选：C．

【点评】此题重点考查菱形的性质、菱形的面积和周长、勾股定理等知识，根据菱形ABCD的面积为24且对角线AC的长为6求出另一条对角线BD的长是解题的关键．
6．如图（单位：cm），等腰直角△EFG以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到EF与BC重合，当运动时间为xs时，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出x≤5时与5≤x≤10时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可
解：如图1，当x≤5时，重叠部分为三角形，面积y＝•2x•2x＝2x2，
如图2，当5≤x≤10时，重叠部分为梯形，面积y＝×10×10﹣（2x﹣10）2＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴图象为两段二次函数图象，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选：C．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，点P是AC延长线上一动点，PM⊥BC边与点M，PN⊥AB边与点N，连接MN，则MN的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点C作CH⊥AB，根据已知条件求出AB的长度，再根据PM⊥BCPN⊥AB，得出点P，M，N，B四点共圆，从而把MN的最小转化为PB的最小，然后通过设未知数的方法，求出PB2的二次函数表达式，利用公式x＝﹣时取得最小值，通过PB取最小值时，PN与NB的数量关系，进行计算即可．
解：过点C作CH⊥AB，
∵∠A＝30°，AC＝8，
∴CH＝4，AH＝4，
∵∠B＝45°，
∴BH＝CH＝4，
∴AB＝4+4，
连接PB，取PB的中点Q，连接MQ，QN，
∵PM⊥BCPN⊥AB，
∴点P，M，N，B四点共圆，点Q为圆心，
∵∠B＝45°，
∴∠MQN＝2∠B＝90°，
∴MN＝QN，
∵PB＝2QN，
∴MN＝PB，
∴当PB最小时，MN最小，
设PN＝x，
∵∠A＝30°，
∴PA＝2x，AN＝x，
∴BN＝4+4﹣x，
∵PB2＝PN2+NB2，
∴PB2＝x2+（4+4﹣x）2＝4x2﹣（8+24）x+64+32，
∵4＞0，
∴当x＝＝+3时，即PN＝+3时，PB2有最小值，
此时BN＝4+4﹣x＝+1，
∴PN＝BN，
∴PB＝2BN＝2+2，
∴MN＝×（2+2）＝+，
故选：A．

【点评】本题考查勾股定理以及二次函数的应用，关键是找出点P，M，N，B四点共圆，从而把MN的最小转化为PB的最小．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，点P是DF的中点，连接AP，EP．若AP＝AD，BE＝BF，则∠BEP的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】如图，过点A作AH⊥DF于H，连接DE、CP、BP、EF，由正方形性质可得：∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得：CP＝DP＝PF，进而可证得△BCP≌△ADP（SAS），可推出△ABP是等边三角形，得出：∠BAP＝60°，∠DAP＝90°﹣60°＝30°，再由等腰三角形性质可得∠DAH＝∠FDC＝15°，再证明△DEA≌△DFC（SAS），推出△DEF是等边三角形，得出∠FEP＝∠DEF＝30°，再由△BEF是等腰直角三角形，得出∠BEF＝45°，即可求得答案．
解：如图，过点A作AH⊥DF于H，连接DE、CP、BP、EF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵点P是DF的中点，
∴CP＝DP＝PF，
∴∠DFC＝∠BCP，
∴∠BCP＝∠ADF，
∴△BCP≌△ADP（SAS），
∴AP＝BP，
∵AP＝AD，
∴AP＝AB＝BP，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，
∴∠DAP＝90°﹣60°＝30°，
∵AD＝AP，AH⊥DP，
∴∠DAH＝∠PAH＝15°，
∵∠ADH+∠DAH＝90°，∠ADH+∠FDC＝90°，
∴∠DAH＝∠FDC＝15°，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，
即AE＝CF，
∴△DEA≌△DFC（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF＝15°，
∴∠EDF＝90°﹣15°﹣15°＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∵点P是DF的中点，
∴∠FEP＝∠DEF＝30°，
∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF＝45°，
∴∠BEP＝∠BEF+∠FEP＝45°+30°＝75°．
故选：C．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键，是一道常见的中考数学选择题压轴题．
9．如图，点E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB于点F，交对角线AC于点G，且点G为EF的中点，若正方形的边长为4，则AG的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
【分析】过点F作FH⊥OB于点H，根据正方形的性质可得△FHB是等腰直角三角形，然后证明OG是△EFH的中位线，可得OG＝FH，利用△EFH∽△CEO，得＝，求出OH＝2，进而利用线段的和差即可解决问题．
解：如图，过点F作FH⊥OB于点H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，AC⊥BD，
∴△FHB是等腰直角三角形，
∴FH＝BH＝OB﹣OH，
∵AC⊥BD，FH⊥OB，
∴OG∥FH，
∵点G为EF的中点，
∴O是EH的中点，
∴OG是△EFH的中位线，
∴OG＝FH，
∵正方形的边长为4，
∴AC＝BD＝＝8，
∴OB＝OC＝4，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°＝∠EHF，
∴∠EFH＝90°﹣∠FEH＝∠CEO，
∴△EFH∽△CEO，
∴＝，
∴＝，
∴OH＝2（负值舍去），
∴FH＝BH＝OB﹣OH＝4﹣2＝2，
∴OG＝FH＝1，
∴AG＝OA﹣OG＝4﹣1＝3．
故选：B．
【点评】此题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（　　）

A．16 B．14 C．8 D．7
【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG计算即可；
解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．

∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，
∴BA＝BH＝CH，
∴△ABH是等边三角形，
∴HA＝HB＝HC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，
∵BC＝2AB＝8，
∴CD＝4，CN＝EN＝2，
∴EC＝4，EM＝2，
∴S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG
＝×8×4+×2×2﹣S平行四边形ABCD
＝16+2﹣4
＝14
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是 　甲　．

【分析】当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是3千米的时候，比较甲、丁的平均速度即可得出答案．
解：∵10分钟甲比乙步行的路程多，25分钟丁比丙步行的路程多，
∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，
∵步行3千米时，乙比丙用的时间少，
∴乙的平均速度＞丙的平均速度，
∴走得最快的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题考查了函数的图象，通过控制变量法比较平均速度的大小是解题的关键．
12．一次函数y＝﹣3x+mx﹣m的图象经过定点A，则点A的坐标是 　（1，﹣3）　．
【分析】将y＝﹣3x+mx﹣m变形为y＝m（x﹣1）﹣3x，可知无论m取何值，当x＝1时，y＝﹣3，由此可解．
解：y＝﹣3x+mx﹣m＝m（x﹣1）﹣3x，
当x＝1时，y＝﹣3，
因此该函数的图象一定经过点（1，﹣3），
即点A的坐标是（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题考查一次函数过定点问题，解题的关键是将y＝﹣3x+mx﹣m变形为y＝m（x﹣1）﹣3x．
13．两个形状大小相同的菱形在矩形ABCD内按如图所示方式摆放，若菱形的边长为2cm，∠F＝120°，且EF⊥EG，则AD的长为 　2　cm．

【分析】连接EB，EC，过点F作FH⊥BE于H，由全等图形的性质可知EB＝EC，∠BEF＝∠CEG，进而可知∠BEC＝90°，可得△BEC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质结合解直角三角形可得，利用矩形的性质可得．
解：连接EB，EC，过点F作FH⊥BE于H，

∵两个菱形形状大小相同，即两个菱形全等，
∴EB＝EC，∠BEF＝∠CEG，
∵EF⊥EG，即：∠FEG＝90°＝∠FEC+∠CEG，
∴∠FEC+∠BEF＝90°＝∠BEC，
∴△BEC是等腰直角三角形，则，
∵BF＝EF＝2cm，∠BFE＝120°，FH⊥BE
∴∠FBH＝∠FEH＝30°，
∴，
∴
又∵四边形ABCD是矩形，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，矩形的性质，解直角三角形，全等图形的性质，利用全等图形的性质得到△BEC是等腰直角三角形是解决问题的关键．
14．2022卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，A，B，C三个小组中积分方差最小的是 　C　组．
A组
积分
B组
积分
C组
积分
荷兰
7
英格兰
7
阿根廷
6
塞内加尔
6
美国
5
波兰
4
厄瓜多尔
4
伊朗
3
墨西哥
4
卡塔尔
0
威尔士
1
沙特阿拉伯
3
【分析】根据方差的意义即可判断．
解：根据A，B，C三个小组中积分，可知C组四个数据分布比较集中，各数据偏离平均数较小，所以方差最小．
故答案为：C．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．如图，四边形ABDC中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝2∠D，AC+1＝BC+CD，AB＝3，则线段BD的长为 　2　．

【分析】作DN⊥AB交AB延长线于N，延长BN到M，使NM＝AB，得到四边形BCDN 是矩形，从而证明△ACB≌△MDN，得到AC＝DM，由∠ACD＝2∠CDB，推出∠MBD＝∠BDM，得到MB＝MD，由AC+1＝BC+CD，求出BC的长，由勾股定理求出AC，得到CD的长，由勾股定理即可求出BD的长．
解：作DN⊥AB交AB延长线于N，延长BN到M，使NM＝AB，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形BCDN是矩形，
∴BC＝DN，
∵∠ABC＝∠MND＝90°，
∴△ACB≌△MDN（SAS），
∴∠A＝∠M，AC＝DM，
∵CD∥AM，
∴∠ACD+∠A＝∠CDM+∠M＝180°，
∴∠ACD＝∠CDM＝2∠CDB，
∴∠CDB＝∠BDM，
∵∠MBD＝∠CDB，
∴∠MBD＝∠BDM，
∴MB＝MD，
∵AC+1＝BC+CD，
∴BM+1＝BC+BN，
∴BN+MN+1＝BC+NB，
∵NM＝AB＝3，
∴BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∴BM＝AC＝5，
∴BN＝MB﹣MN＝5﹣3＝2，
∴CD＝BN＝2，
∴DB＝＝＝2．
故答案为：2．

【点评】本题考查勾股定理，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．计算：．
【分析】先计算乘法、乘方、化简绝对值，最后合并同类二次根式．
解：×﹣|1﹣|﹣（）﹣1
＝﹣（﹣1）﹣5
＝4﹣+1﹣5
＝﹣．
【点评】本题考查了负整数指数幂，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．
17．在四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，，AD＝2cm，AC⊥AB，求四边形ABCD的面积．

【分析】利用勾股定理可以求出AC，根据数据特点，再利用勾股定理逆定理可以得到△ACD也是直角三角形，再把数据代入面积公式就可以求出答案．
解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，（cm），
在△ACD中，，AC2＝42＝16，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×2×2＝（6+2）（cm2）．
故四边形ABCD的面积为．
【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中．
18．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝AD，连接BF，CF．
（1）求证：EF平行且等于BC；
（2）求证：四边形BCEF是矩形；
（3）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EC的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再由EF＝DA，得EF＝BC，EF∥BC；
（2）证得四边形BCEF是平行四边形，再证∠CEF＝90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理证△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，再由面积法求出CE＝，然后由矩形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
即EF平行且等于BC；
（2）证明：由（1）知，EF＝BC，EF∥BC；
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积＝DF×CE＝CF×CD，
∴CE＝＝＝，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE＝．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出OA，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形OBCP的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形PQC的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线l为y＝﹣x+3，然后得到OE＝3，然后分情况进行分析：当OE＝3作为矩形OEMN的边时；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则x＝1，
∴点A为（1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝OD＝4OA＝4，
∴点C为（4，0），点D为（0，4），
设直线CD的解析式为y＝kx+b；
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B为（0，﹣2），
∵，
解得，
∴点P的坐标为（2，2）；
∴；
∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则
当点Q在点B的下方时，如图：
∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），
∴，
∵S△PQC＝S四边形OBCP，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
当点Q在点P的上方时，如图：
，
∴，
∴
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
综合上述，点Q的坐标为或；
（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，
∴直线l为y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴点E的坐标为（3，0），
即OE＝3；
当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：

∴点N的坐标为（0，3），
∴点M的坐标为（3，3）；
当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：

∴点F的坐标为，
∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，
∴∠OEN＝45°，
∵ON⊥NE，
∴△ONE是等腰直角三角形，
∴ON＝NE，
∴四边形ONEM是正方形，
∴MN⊥OE，MN＝OE，
∴，
∴点M的坐标为；
综合上述，则点M的坐标为（3，3）或；

【点评】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点P坐标为，根据S△APC＝S△AOB即可求解；
（3）作点B关于直线的对称点B′，连接CB′，交直线于点P，连接BP，即可求解．
解：（1）∵点A在y轴上，直线过点A，
∴点A坐标为A（0，4），
将点A（0，4）和点B（﹣5，0）代入直线y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为；

（2）设点P坐标为，

令，得x＝3，
∴点C坐标为C（3，0），
∵点A（0，4），点B（﹣5，0），
∴OA＝4，OB＝5，BC＝8，
∴，
∵点P在线段AB上，
∴，
∵S△APC＝S△AOB，
∴，
解得，
∴点P坐标为；

（3）设点P纵坐标为Py，
∵S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，
∴，
解得，
作点B关于直线的对称点B′，连接CB′，交直线于点P，连接BP，

则BP+CP的最小值即为CB′的长，
∵点B坐标为B（﹣5，0），
∴点B′坐标为B′（﹣5，5），
∴，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴（s），
∴t的最小值为．
【点评】本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
21．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
【分析】（1）根据当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，可得当x＝3时，y＝0，即A（3，0），即可得k，b的关系式为k＝﹣；
（2）①由A（3，0），∠ABO＝60°，可得B（0，），用待定系数法即可得直线l1的解析式为y＝﹣x+；②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，由y＝mx+m可得D（﹣1，0），即可得BD2+AB2＝AD2，故∠ABD＝90°＝∠DBC，从而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH＝∠ABO＝60°，可得C（﹣，+1），代入y＝mx+m得m＝﹣2﹣；当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，由△BDC是等腰直角三角形，有AC＝AB﹣BC＝2﹣2，而∠ABO＝60°，即可得C（，﹣1），代入y＝mx+m得m＝2﹣．
解：（1）∵当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，
∴当x＝3时，y＝0，即A（3，0），
∴3k+b＝0，
∴k＝﹣，
∴k，b的关系式为k＝﹣；
（2）①如图：

由（1）知，A（3，0），
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝＝＝，
∴B（0，），
把A（3，0），B（0，）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+；
②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，
当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，如图：

在y＝mx+m中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵A（3，0），B（0，），
∴AD＝4，AB＝2，BD＝2，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°＝∠DBC，
∵∠ACD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
在Rt△BCH中，∠CBH＝∠ABO＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝1，CH＝BH＝，
∴C（﹣，+1），
把C（﹣，+1）代入y＝mx+m得：
﹣m+m＝+1，
解得m＝﹣2﹣；
当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，如图：

∵∠BCD＝45°，∠DBC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
∵AB＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣2，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ACK中，
CK＝AC＝﹣1，AK＝CK＝3﹣，
∴OK＝OA﹣AK＝3﹣（3﹣）＝，
∴C（，﹣1），
把C（，﹣1）代入y＝mx+m得：
m+m＝﹣1，
解得m＝2﹣，
综上所述，两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2﹣或2﹣．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
22．在一条笔直的公路上有A，B两地．小佳骑自行车从A地到B地，中途休息了一段时间后以原速继续行驶到B地；在小佳出发的同时小伟骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路原速返回，结果两人同时到B地．如图是小佳和小伟两人离B地的距离y（单位：km）与小伟行驶时间x（单位：h）之间的函数图象．
（1）求小佳骑自行车的速度；
（2）求小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出小伟在行进中能用无线对讲机与小佳保持联系的时间x的取值范围．

【分析】（1）由函数图象读出小佳骑自行车的时间，由求出小佳骑自行车的速度；
（2）由函数图象读出小伟行驶的时间，由求出小伟行驶的速度，由相遇问题的数量关系直接求出结论；
（3）设小佳在休息前y与x之间的函数关系式为y小佳1＝kx+b，上佳在休息后y与x之间的函数关系式为y小佳2＝k'x+b'，小伟前往A地的距离y与小伟行驶时间x之间的关系式为y小伟1＝k1x，设小伟返回B地距离B地的距离y（km）与小伟行驶时间x（h）之间的关系式为y小伟2＝k2x+b1，由待定系数法求出解析式，再建立不等式组求出其解即可．
解：（1）由题意得：30÷[2﹣（1.25﹣0.75）]＝20（km/h）．
∴小佳的速度为20km/h．
（2）30﹣0.75×20＝15（km）．
当0≤x≤0.75时，设小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式为：y＝k1x+b1．
把（0，30），（0.75，15）代入得：，
解得：k1＝﹣20，b1＝30，
∴y＝﹣20x+30（0≤x≤0.75）；
当0.75＜x≤1.25时，小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式为：y＝15；
当1.25＜x≤2时，设小佳离B地的距离y与x之间的函数关系式为：y＝k2x+b2．
把（1.25，15），（2，0）代入得：，
解得：k2＝﹣20，b2＝40，
∴y＝﹣20x+40（1.25＜x≤2）；
综上所述：y＝．
（3）设小佳在休息前y与x之间的函数关系式为y小佳1＝kx+b，
由题意得：
，
解得：，
∴y小佳1＝﹣20x+30，
设小佳在休息后y与x之间的函数关系式为y小佳2＝k'x+b'，
由题意得，
解得：，
∴y小佳2＝﹣20x+40，
设小伟前往A地的距离y与行驶时间x之间的关系式为y小伟1＝k1x，
由题意，得30＝k1，
∴y小伟1＝30x，
设小伟返回B地的距离y与行驶时间x之间的关系式为y小伟2＝k'1x+b1，
由题意，得，
解得：，
∴y小伟2＝﹣30x+60，
当时，
解得，
当时，
解得：．
∴小伟在行进中能用无线对讲机与小佳保持联系的时间x的取值范围为或．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，从函数图象获取有用信息，求出一次函数的解析式是解题的关键．
23．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+6k（k≠0）与x轴交于点A，四边形OABC是平行四边形，BC边与y轴交于点E．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，过B作AB的垂线交y轴负半轴于点D，EC＝ED，设点B的横坐标为t，OD长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接AD、OB、CD，当以CD，OB，AD的长为三边长构成的三角形面积是8时，在OB上取中点F，在OE上取点N，将射线FN绕点F顺时针旋转45°交x轴正半轴于点M，连接MN，若△OMN的周长为6，直线y＝kx+6k经过点N，求k的值．

【分析】（1）令kx+6k＝0，解得x＝﹣6，即可得出结论；
（2）由ASA可证明△BED≌△OEC，所以EB＝EO，因为点B的横坐标为t，所以EB＝EO＝﹣t，则OA＝BC＝6，所以EC＝ED＝6+t，则d＝OD＝ED﹣EO＝6+t﹣（﹣t）＝6+2t；
（3）过O作OH∥CD，过C作CH∥OD相交于点H，由SAS可证明△BCH≌△AOD，所以AD＝BH，易证△BOH为直角三角形，因为以CD，OB，AD的长为三边长构成的三角形面积是8，所以△BOH的面积为8，则BO＝﹣t，OH＝CD＝（6+t），所以OB•OH＝16，即﹣t•（6+t）＝16，解之可得出k的值；连接EF，过点F作FK⊥FM交y轴于K，由AAS可证明△FEK≌△FOM，△FNK≌△FNM，所以MN＝KN，由△OMN的周长为6，可得OM+ON+MN＝6，所以OM＝2，则ON+MN＝4，由勾股定理可得ON2+OM2＝MN2，即ON2+22＝（4﹣ON）2，解之，得出N的坐标，代入表达式即可得出结论．
解：（1）令kx+6k＝0，
∵k≠0，
∴x+6＝0，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；
（2）∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝∠AOD＝90°，
∵∠BAO+∠AQB＝∠BDO+∠DQO，
∴∠BAO＝∠BDO，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠BAO＝∠BCO，∠BDE＝∠BCO，
∵EC＝ED，
∴△BED≌△OEC（ASA），
∴EB＝EO，
∵点B的横坐标为t，
∴EB＝EO＝﹣t，
∵OA＝BC＝6，
∴EC＝ED＝6+t，
∴OD＝ED﹣EO＝6+t﹣（﹣t）＝6+2t，
∴d＝6+2t；
（3）过O作OH∥CD，过C作CH∥OD相交于点H，
∵四边形ODCH是平行四边形，
∴CD＝OH，∠EOH＝∠EDC＝45°，
∴CH＝OD，
∵OA＝BC，∠AOD＝∠BCH＝90°，
∴△BCH≌△AOD（SAS），
∴AD＝BH，
∵EB＝EO，∠BEO＝90°，
∴∠EBO＝∠BOE＝45°，
∴∠BOH＝∠BOE+∠EOH＝90°，
∴△BOH为直角三角形，
∵以CD，OB，AD的长为三边长构成的三角形面积是8，
∴△BOH的面积为8，
∴BO＝﹣t，OH＝CD＝（6+t），
∴OB•OH＝16，即﹣t•（6+t）＝16，
解得t＝﹣2或t＝﹣4〔舍去），
∴BE＝OE＝2，
连接EF，过点F作FK⊥FM交y轴于K，
∵F为OB中点，
∴EF⊥OB，EF＝BF＝OF，
∵∠KFE+∠EFM＝∠EFM+∠OFM，
∴∠KFE＝∠OFM，
∵∠FEK＝∠FOM＝135°，
∴△FEK≌△FOM（AAS），
∴OM＝EK，
∵FM＝FK，∠MFN＝∠NFK＝45°，FN＝FN，
∴△FNK≌△FNM（AAS），
∴MN＝KN，
∵△OMN的周长为6，
∴OM+ON+MN＝6，
∴ON+KN+OM＝OE+2MO＝6，
∵OE＝2，
∴OM＝2，
∴ON+MN＝4，
∵ON2+OM2＝MN2，即ON2+22＝（4﹣ON）2，
∴ON＝，
∴N（0，），
∵直线y＝kx+6k经过点N，
∴6k＝，即k＝．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，判断出点N的坐标是解本题的关键．