江西省上饶市余干县第三中学2022--2023学年八年级下学期第三次月考数学试题

余干三中2022-2023学年度下学期第三次巩固练习

八年级数学试卷

一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.若代数式有意义，则的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

2.下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A.当时，它是矩形

B.当时，它是菱形

C.当时，它是菱形

D.当时，它是正方形

4.一次函数的图像所经过的象限是（    ）

A.一、二、三    B.二、三、四

C.一、三、四    D.一、二、四

5.如图，边长为4的正方形的边上一动点，沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，三角形的面积是，则变量与变量的关系图象正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.如图，在平行四边形中，是的中点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的个数是（    ）

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.计算：__________．

8.若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为__________．

9.如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．

10.如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为__________．

11.如图，的顶点的坐标分别是，则顶点的坐标是__________．

12.在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点是轴上一点．若将沿折叠，点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为__________．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.计算：

（1）

（2）

14.如图，是的高，若．

（1）求证：；

（2）求的长．

15.如图四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：

（1）在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份；

（2）在图2中过点作一条直线，将的面积平均分成两份．

16.声音在空气中的传播速度随气温的变化而变化．下表给出了一组不同气温下声音传播的速度：

（1）当的值为35时，求对应的的值；

（2）求与的关系式．

17.如图，在中，的平分线交于，若，求的度数．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.观察下列各式及其验证过程：

，验证：；

，验证：．

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．

（2）写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．

19.如图，在正方形中，点分别在和上，且为等边三角形．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

20.如图，在矩形中，，点从点出发向点运动，运动到停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的速度都是．连接．设点运动的时间为．

（1）当为何值时，四边形是矩形；

（2）当为何值时，四边形是菱形；

（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt中，，请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明：；

（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值．

22.在一条笔直的道路上依次有甲、乙、丙三地，小刚与小亮在这条道路上练习跑步．小刚从甲地匀速跑步到丙地，同时小亮从乙地匀速跑步到甲地，在甲地休息2分钟后，以另一速度匀速跑步到丙地．小刚、小亮距甲地的路程（米）与小刚跑步的时间（分）之间的函数关系如图所示

．

（1）的值为__________，乙地与丙地相距米__________．

（2）求小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式．

（3）直接写出小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时的值．

六、（本大题共12分）

23.定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．

（1）特例感知：如图1，四边形是“垂美四边形”，如果，则__________，__________．

（2）猜想论证：如图1，如果四边形是“垂美四边形”，猜想它的两组对边与之间的数量关系并给予证明．

（3）拓展应用：如图2，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求长．

参考答案：

1.B

【分析】根据二次根式有意义的条件得出，解不等式即可求解．

【详解】解：有意义，

，

解得：，

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键．

2.A

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．

【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故符合题意；

B、，能构成直角三角形，故不符合题意；

C、，能构成直角三角形，故不符合题意；

D、，能构成直角三角形，故不符合题意．

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

3.D

【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．

【详解】解：四边形是平行四边形，

又，

四边形是矩形，故本选项不符合题意；

B、四边形是平行四边形，

又，

四边形是菱形，故本选项不符合题意；

C、四边形是平行四边形，

又，

四边形是菱形，故本选项不符合题意；

D、四边形是平行四边形，

又，

四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．

4.D

【详解】一次函数中，，

一次函数的图象经过第一、二、四象限．

故选D.

【点睛】运用了一次函数图象与系数的关系，牢记“k一次函数的图象经过第一、二、四象限”是解题的关键．

5.B

【分析】根据动点在正方形各边上的运动状态分类讨论三角形的面积随着的变化而变化规律．

【详解】动点在运动过程中，分为以下四个阶段

①当时，点在上运动，的值为0；

②当时，点在上运动，随着的增大而增大；

③当时，点在上运动，不变；

④当时，点在上运动，随着的增大而减小；故选：B

【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，能够发现随着的变化而变化的趋势是解本题的关键．

6.C

【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．

【详解】解：①是的中点，

，

在口中，，

，

，

，

，

，

，故①正确；

②延长，交延长线于，

四边形是平行四边形，

，

，

为中点，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，故②正确；

③，

，

与不重合，

，故③错误；

④设，则，

，

，

，

，

，故④正确，

故选：C.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出．

7.

【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．

【详解】解：．

故答案为：

【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．

8.10

【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．

【详解】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，

故斜边长，

故答案为：10.

【点睛】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．

9.度

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，可求，即可求解．

【详解】解：四边形是正方形，

，

是等边三角形，

，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

10.

【分析】根据图象得：当时，函数图象位于轴下方，此时，即可求解．

【详解】解：根据图象得：当时，函数图象位于轴下方，此时，

关于的不等式的解集为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．

11.

【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且即可得到结论．

【详解】如图，在中，，

，

又，

点的纵坐标与点的纵坐标相等，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和点的坐标的知识点，解题关键点是熟练掌握平行四边形的对边相互平行且相等的性质．

12.或或

【分析】利用一次函数与两轴交点，求出两点坐标，利用勾股定理求出的长，然后分三种情况画出图形，根据折叠的性质即可求出的坐标．

【详解】解：直线与轴，轴分别交于点．

，

，

设，

①如图，当点恰好落在轴负半轴上时，

将沿折叠，点恰好落在轴上，

，

，

，

，

解得，

；

②如图，当点恰好落在轴正半轴上时，

将沿折叠，点恰好落在轴正半轴上，

，

轴，

点与原点重合，

；

③如图，当点恰好落在轴正半轴上时，

将沿折叠，

点恰好落在轴正半轴上，

，

，

，

解得，

；

综上，点的坐标为或或．

故答案为：或或．

【点睛】本题综合考查了翻折变换，一次函数与两轴的交点，勾股定理，解拓展的一元一次方程题中利用折叠知识与直线的关系以及勾股定理建立方程是解题的关键．

13.（1）0

（2）

【分析】（1）先化简二次根式，然后利用二次根式的加减计算法则求解即可；

（2）利用完全平方公式求解即可．

（1）解：原式

；

（2）解：原式

．

【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，二次根式的化简，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．

14.（1）见解析

（2）

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；

（2）利用面积法，进行计算即可解答．

（1）解：，

，

，

；

（2）解：，

，

又，

，

，

．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及面积法是解题的关键．

15.（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）做出平行四边形的一条对角线即可；

（2）先确定对角线的交点，然后再作过的直线即可．

【详解】（1）解：如图所示，线段（或）即为所示．

（2）解：如图所示，直线即为所示．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质的应用，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．

16.（1）352；（2）．

【分析】（1）观察图表数据，气温每升高，音速增加3，然后写出的表达式，再求出时的值即可；

（2）先设函数解析式为，根据题意取2组的值代入利用待定系数法求解即可．

【详解】解：（1）观察图表数据，气温每升高，音速增加3，

当的值为35时，，

则此时对应；

（2）设与的关系式为，

根据题意，当时，，

，

．

【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．

17.．

【分析】根据角平分线的定义得到，再根据平行四边形的邻角互补和平行四边形的对角相等，就可求得和的度数．

【详解】的平分线交于，若，

．

在平行四边形中，．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，属于基础题目，熟练掌握平行四边形的性质是关键．

18.（1）猜想：，验证见解析．

（2）（为任意自然数，且），证明见解析．

【分析】根据题中所给的式子进行验证即可．

根据题中式子的验证过程找出规律即可．

【详解】（1）猜想：，

验证：

（2）（为任意自然数，且），证明如下：

（为任意自然数，且）．

【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式．

19.（1）见解析

（2）．

【分析】（1）通过条件可以得出，从而得出，得到；

（2）根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，且是等腰直角三角形，求得，得到，于是得到结论．

【详解】（1）证明：四边形是正方形，

．

等边三角形，

，

在Rt和Rt中，，

RtRt（HL），

，

；

（2）解：交于点，如图，

，

垂直平分，且是等腰直角三角形，

，

，

四边形是正方形，

．

是等腰直角三角形，

，

．

【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题是关键．

20.（1）当时，四边形是矩形

（2）当时，四边形是菱形

（3）菱形周长为；菱形面积为

【分析】（1）根据矩形的性质和判定定理列出一元一次方程并求解即可．

（2）根据勾股定理求出的长度，根据菱形的判定定理列出方程并求解即可．

（3）根据（2）中结果求出的长度，再根据菱形的周长公式和面积公式求解即可．

【详解】（1）解：根据矩形的判定定理确定当时，四边形是矩形．

点的速度都是，点运动的时间为．

．

矩形中，，

．

．

．

．

当时，四边形是矩形．

（2）解：根据菱形的判定定理确定当时，四边形是菱形．

矩形中，，

．

．

解得．

当时，四边形是菱形．

（3）解：，

．

．

【点睛】本题考查矩形的判定定理和性质，勾股定理，菱形的判定定理，菱形的周长公式和面积公式，熟练掌握这些知识点是解题关键．

21.（1）证明见解析；（2）23

【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．

（2）根据完全平方公式的变形解答即可．

【详解】解：（1）大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，

即；

（2）由图可知：

，

，

．

【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．

22.（1）；；

（2）；

（3）和12.

【分析】（1）可由题意结合函数图像直接得出答案；

（2）利用待定系数法求小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式；

（3）分，根据两人距乙地的路程相等列出方程求解即可．

（1）小亮从甲地到丙地时，从图像可以看出，此线段过两点，

由函数图象得：，由题意，甲地与乙地距离800米，甲地与丙地相距2400米，故乙地与丙地距离1600米；

故答案为：4；1600；

（2）设小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式为：，

小亮从甲地到丙地时，从图像可以看出，

此线段过两点，

，解得：，

小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式为：；

（3）设小刚从甲地到丙地与之间的函数关系式为：，

小刚第16分钟到达丙地，路程为2400米，

，

解得：，

小刚从甲地到丙地与之间的函数关系式为：，

设小亮从乙地到甲地与之间的函数关系式为：，

小亮从乙地到甲地时，从图像可以看出，

此线段过两点，

，解得：，

小亮从乙地到甲地与之间的函数关系式为：，

①时，，

解得：；

②时，，

解得：，

综上，小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时的值为和12.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设末知数，学会结合方程解决问题，此类题有难度，注意利用数形结合的思想解答问题．

23.（1）

（2），证明见解析

（3）

【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质得，再利用勾股定理即可得出答案；

（2）由“垂美四边形”得，再根据勾股定理得

（3）连接，首先利用证明，得，说明，从而得出，进而解决问题．

（1）解：，

，

四边形是“垂美四边形”，

，

，

，

，

，

，

故答案为：；

（2）结论：，

证明：于点，

，

．

同理可得

（3）解：如图：连接，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

四边形为垂美四边形，

由（2）中结论可知，

，

，

，

，

，

，

根据线段为正数可知

【点睛】本题是一道新定义题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正方形的性质等知识，利用（2）中结论是解决问题（3）的关键．