2022高考数学选填经典题型汇编 题型52 二元权方和不等式

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题型52   二元权方和不等式【方法点拨】已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.说明:1.上式其实即为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值，其实质就是“1”的代换.2. 设()，实数，则，其中等号当且仅当时成立.这称之为权方和不等式.我们称为该不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数高1次. 【典型题示例】例1     已知，，则的最小值为        .【答案】【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】（等号成立条件，略，下同）.例2     如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠近 B 点)，则的最小值为 　　 ．　　【答案】【解析】，，.例3   已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是       ．【答案】【解析】当，即，．例4   已知a＞0，b＞0，且则的最小值是       ．【答案】【解析】当，即时，等号成立．             （公众号：钻研数学）例5   已知x＞1，y＞1，则的最小值是       ．【答案】8【解析】令当，即，两个等号同时成立．例6   已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是       ．【答案】【解析】当，即，．
【巩固训练】 1.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是       ．2. 已知正数满足，则的最小值为        .3. 已知，则的最小值为        .4.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是　   　．
【答案与提示】1.【答案】9【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴，且      ∴，当且仅当时取“＝”．2.【答案】【解析】当且仅当，等号成立.3.【答案】【解析】当且仅当时,等号成立.4.【答案】15【解析】x+y＝xy可化为，.