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    2022高考数学选填经典题型汇编 题型30 定线段张定角

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    2022高考数学选填经典题型汇编 题型30 定线段张定角

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    题型30   定线段张定角【方法点拨】当已知中出现三角形一边及其对角均为定值,即定线段张定角时,应考虑其中的隐圆.【典型题示例】1   2021·江苏金陵中学期末·22改编)在ABC中,角ABC所对的边分别为abc,已知3a3bcosCcsinB,若点MAC中点,且b,则中线BM的最大值是               【分析】易求得B,问题转化为在一三角形中,已知一边及其对角,求这边上中线的最大值.可以使用中线长定理、基本不等式解决(解析一),作为填空题,利用隐圆,当中线就是该边上的高时最大则更简捷.【解析一】由射影定理得3(bcosCccosB)3bcosCcsinB化简得3ccosB=csinB,又因为sinB≠0,所以tanBB∈(0π),所以BABMBCM中,由余弦定理得:c2BM2BMcos∠BMAa2BM2BMcos∠BMC两式相加得BM2又由余弦定理a2c23ac,所以(a2c2)≤3a2c2≤6BM2所以BM最大值为,当且仅当ac时等号成立.【解析二】由射影定理得3(bcosCccosB)3bcosCcsinB化简得3ccosB=csinB,又因为sinB≠0,所以tanBB∈(0π),所以BABC中,bB,故点B的轨迹是以AC为弦,所对角B的弧由平面几何知识得,当AC边上的中线BM就是AC边上的高,即当且仅当ac时,BM最大值为.2   设向量满足,则的最大值等于(     A        B           C           D【分析】向量是自由向量,故可将其移至同一起点考虑. 易知,且其终点间选段长为,由知向量的终点与的终点连线定线段张定角,其轨迹是圆弧.【解析】,如下左图,, 故点的轨迹是以为弦,所对圆周角为的两段弧(端点除外),该圆的半径为1如上右图,当过圆心,即为直径时,最大,此时所以的最大值等于,故选D.3    已知三个内角的对应边分别为,且,当取得最大值时,的值为__________ 【分析】发现隐圆后,问题的难点在于如何对取得最大值作转化,这里,直接使用数量积的定义.由于,故当最大,即方向上的投影最大时,取得最大值,从上看,此时过点C的圆的切线与AB垂直.【解析】  如图所示,     在直径为的圆中,弦固定,点在圆上运动,满足题中的,结合数量积的定义可得,当点位于图中的位置时, 取到最大值,此时,所以
    【巩固训练】1.中,点M是边中点,,则的最大值为       2.中,已知,则面积的最大值为       3.中,,点G的重心,点O的外心,则的最小值为       4.中,,点D在边上,且,则的最大值为       5. 锐角ABC中,角ABC所对的边分别为abc,则ABC面积的取值范围是        .6. 在锐角中,内角的对边分别为,且,若,则的取值范围        .7.2021·江苏徐州期末·21改编)在锐角三角形ABC中,角ABC所对的边分别为abc,已知a sinCccos A,且a,则b2c2的取值范围是              
    【答案与提示】1.【答案】【提示】同例1是高时最大.2.【答案】2【提示】是等腰三角形时面积最大.3.【答案】【提示】求得,以中点为坐标原点建系,求得点G的的轨迹为圆.4.【答案】【分析】发现隐圆,利用平几知识、余弦定理求出最大值.【解析】根据正弦定理,外接圆的直径如图,当过圆心时最大.    连结OB,在OBD中,OBD=300,由余弦定理得:    所以即为所求最大值.      5.【解析】根据正弦定理,可化为整理得:由余弦定理得由正弦定理得(其中ABC外接圆半径如图,下同例2,求出临界值.    6.【答案】.【提示】因为,得求出临界状态的值立得.7.【答案】【分析】易求得,点A的轨迹是以BC为弦,所对角A的弧,在点A的运动过程中,b2c2先增后减,故当bc时,达到最大值,而下界是三角形ABC是直角三角形,即AC(或AC)为直径.【解析】由及正弦定理得因为为锐角,所以,所以因为为锐角,所以,所以所以.A的轨迹是以BC为弦,所对角A的弧,在点A的运动过程中,b2c2先增后减,故当bc时,b2c2取得最大值,此时又因为ABC为锐角三角形,当AC(或AC)为直径时,所以的取值范围为

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