2022高考数学选填经典题型汇编 题型8 递推函数

题型8   递推函数

【方法点拨】

类比于数列的递推关系,我们把具有f(x＋1)＝2f(x)等形式的函数称为递推函数.诸如函数f(x＋1)＝2f(x)，意即变量的值增加1，其对应的函数值是原来函数值的2倍，类似函数的周期性，但有一个倍数关系．依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可．f(x)＝f(x－1)+1等以此类推.

【典型题示例】

例1    设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】　B

【分析】

【解析一】∵时，，

∴当时，，故，

同理，当时，，∴

当时，，

∴

所以，当，

当时，，令，解之得：

为使对任意，都有，则m的取值范围是.

故选B.

【解析二】　当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝ f(x＋1)＝(x＋1)x；当1<x≤2时，0<x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2<x≤3时，0<x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…，由此可得

f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知当2<x≤3时，令22(x－2)·(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中.要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B.

例2   已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．

【答案】11　

【解析一】由题意得当1≤x<2时，f(x)＝设x∈[2n－1,2n)(n∈N*)，则∈[1,2)，又f(x)＝f，

①       当∈时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－2·2n－2x－3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,3·2n－2]，所以x＝3·2n－2；

②当∈时，则x∈(3·2n－2,2n)，所以f(x)＝f＝，所以 2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－4·2n－2x＋3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－2.由于x∈(3·2n－2,2n)，所以无解．

综上所述，x＝3·2n－2.由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.

【解法二】由题意得当x∈[2n－1,2n)时，因为f(x)＝·f，所以f(x)max＝f＝.令g(x)＝.当x＝·2n－1时，g(x)＝g＝，所以当x∈[2n－1,2n)时，x＝·2n－1为y＝2xf(x)－3的一个零点．

下面证明：当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．

当x∈[2n－1,3·2n－2]时，y＝f(x)单调递增，y＝g(x)单调递减，f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以x∈[2n－1,3·2n－2]时，有一零点x＝3·2n－2；当x∈(3·2n－2,2n)时，y＝f(x)＝－，k1＝f′(x)＝－，g(x)＝，k2＝g′(x)＝－∈，所以k1<k2.又因为f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.

【解法三】分别作出函数y＝f(x)与y＝的图像，如图，交点在x1＝，x2＝3，x3＝6，…，xn＝3·2n－2处取得．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.

例3    已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是(    )

A．  B．  C． D．

【答案】B

【解析】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点.画出函数图像如下图所示：

由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，，

当时，设对应二次函数的顶点为，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；故当有四个不同交点时.故选：B.

【巩固训练】

1. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．

2. 已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k(x＋1)(k＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________.

3.已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为             。

4.已知函数,则方程根的个数为    .

5.已知函数的定义域为R，且，当x[0，π)时，．若存在(，m]，使得，则m的取值范围为       ．

6.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝那么函数g(x)＝xf(x)－1在[－7，＋∞)上的所有零点之和为________.

7.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（    ）

A． 4     B．6       C．8      D．10

【答案与提示】

1.【答案】(－∞，1)

【解析】x≤0时，f(x)＝2－x－1，

0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，

f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.

故x＞0时，f(x)是周期函数，

如图所示．

若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，

故a＜1，即a的取值范围是(－∞，1)．

2.【答案】

【解析】　根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.

3.【答案】10000

【提示】当时，，，此时的两根之和是1

当时，，，此时的两根之和是3

当时，，，此时的两根之和是5

以此类推，当时， 的两根之和是199

所以方程的所有解的和为1+3+5+···+199=10000.

4.【答案】6

【提示】转化为两函数、交点个数.

5.【答案】[，)

【解析】根据题意作出函数图像，如下：

故m≥．

6.【答案】8

【提示】转化为两函数、在[－7，＋∞)上的所有交点横坐标和的问题，两函数均为奇函数，故在[－7，7]上横坐标和为0，只需考虑x∈(－7，＋∞)即可，利用递推关系作出图象.

7.【答案】D

【分析】由为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当时，可以利用利用图像变换作出图像，时，，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出，，……的图像，的零点个数即为根的个数，即与的交点个数，观察图像在时，有5个交点，根据对称性可得时，也有5个交点.共计10个交点