2022高考数学选填经典题型汇编 题型14 利用结构相同函数解题

题型14   利用结构相同函数解题

【方法点拨】

1.一个方程中出现两个变量,适当变形后,使得两边结构相同;或不等式两边式子也可适当变形,使其两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性把方程或不等式化简.

2. 同构的基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”.

【典型题示例】

例1    （2021·江苏新高考适应性考试·8）已知且，且，且， 则（     ）

【答案】D

【解析一】往结构相同方向变形，将已知变形为，，，

设函数，则

所以在上单减，在上单增

所以，，所以.

【解析二】将已知两边取对数：，，，

再往结构相同方向变形：，，

设函数，则

所以在上单减，在上单增

所以，，所以.

例2    已知实数a，b满足，，则a＋3b＝       ．

【答案】16

【解析】令，则 ，代入可化为，即

设，则，在上单增

故只有一个零点

所以，即，

所以.

例3   已知函数，，则t的取值范围是       ．

【答案】

【分析】这里 可以发现,

将移项变形

为，

易知是奇函数，，

故进一步变形为，此时,得到一个“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令，问题转化为，只需研究的单调性，逆用该函数的单调性即可.

【解析】∵

    ∴可变形为：

   ∵是奇函数  

∴

∴

令，则

∴单增
∴，即，解之得

   所以t的取值范围是．

例4   已知实数，满足，，则______.

【答案】

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.

【解析一】实数，满足，，

，，则，

，

所以在单调递增，而，

.

【解析二】对两边取自然对数得：，

对两边取自然对数得：    （※）

为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：

设，则

所以在单调递增，的解只有一个.

∴， ∴

点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.

【巩固训练】

1.若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2.若，则（    ）

A． B．  C．    D．

3.(多选题)已知对任意，恒成立，则

 A．  B． 

 C．  D．

4.如果，，则的取值范围是_______.

5.不等式的解集是______________.

6.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为         ．

7.已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．

8.设方程的根为，设方程的根为，则=           .

9.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是          .

10.不等式的解集是        .

11. 若满足方程，满足方程，则=           .

【答案与提示】

1. 【答案】B

【解析】∵

∴，故

设，则为增函数，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选B.

2.【答案】A

【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.

【解析】由移项变形为

设

易知是定义在R上的增函数，故由，可得，所以 从而，故选A．

3 【答案】BD

可变形为

设（），则，是奇函数且在单减

所以，故，排除A．

对于B，由权方和不等式有，故B正确．

对于C，当时，，不成立.

对于D，

，所以，故D正确．

4.【答案】

【提示】变形为.

5.【解析】原不等式可化为：

构造函数，则，在上单增

所以，解之得

所以原不等式解集是.

6.【答案】

【分析】本题的实质是含参数（这里当然是sin、cos）的不等式恒成立问题，应抓住已知条件的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.

【解析】看到想“对称结构”，将它变形为：

，

设，

易知当时，，故在单减，

所以，解之得：

所以的取值范围．

7.【答案】2

【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.

【解析】由，化简为：，即，

设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，

且，所以，即.

8.【答案】4

9.【答案】2

【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，

设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2.

因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2.

点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中心为(x0，f (x0))，其中f ″(x0)＝0.

10.【答案】

【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：，构造函数，题目转化为求解的问题. 因为，易知恒成立，故为上的单调增函数，所以由立得：，解之得.

11. 【答案】