2022高考数学选填经典题型汇编 题型18 通过缩小参数范围求参数值

题型18   通过缩小参数范围求参数值

【方法点拨】

      遇到最值求参，优先考虑利用“特殊值缩小参数范围”，这种意识必须牢牢把握，一般来说都能起到“事半而功倍”的作用.

【典型题示例】

例1   已知实数，函数在区间上的最大值是2，则______．

【答案】或

【分析】这是一个含双绝对值问题，从里至外去绝对值是常规思路，要想实施分类讨论，层次较多，似乎无从下手！仍然是先利用特殊值缩参，如取x=0，则f（0）≤2，即|a﹣3|≤2，解得1≤a≤5，即有f（x）＝|x2﹣x+a﹣3|，去掉一个绝对值啦！而接下来，其内函数的对称轴为定直线，只需再由最值的取得只能在顶点和端点处，计算得a的值，再检验可得a的值，思路则豁然洞开！

【解析】因为函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，

取x＝0，可得f（0）≤2，又a＞0，得|a﹣3|≤2，

解得1≤a≤5，即有f（x）＝|x2﹣x+a﹣3|，﹣1≤x≤1，

故f（x）的最大值在顶点或端点处取得．

当f（﹣1）＝2，即|a﹣1|＝2，解得a＝3或﹣1（舍去）；

当f（1）＝2，即|a﹣3|＝2，解得a＝5或a＝1；

当f（）＝2，即|a﹣|＝2，解得a＝或（舍去）．

当a＝1时，f（x）＝|x2﹣x﹣2|，因为f（）＝＞2，不符题意；（舍去）．

当a＝5时，f（x）＝|x2﹣x+2|，因为f（-1）＝4＞2，不符题意；（舍去）．

当a＝3时，f（x）＝|x2﹣x|，显然当x＝﹣1时，取得最大值2，符合题意；

当a＝时，f（x）＝|x2﹣x﹣|，f（1）＝，f（﹣1）＝，f（）＝2，符合题意．

点评：

1.得出f（x）的最大值在顶点或端点处取得后，也可以直接布列不等式组等来解，但远远不如上述方法简洁，这里要理解检验的必要性.

2.遇到最值求参，优先考虑利用“特殊值缩小参数范围”的意识必须牢牢把握，切切！！！

例2    已知函数在区间上取得最小值4，则         ．

【答案】

【分析】由得，将该极值点与区间的端点值比较，分 即，即，以及即三类进行讨论，这是解决该题的常规思路.解题中，若能利用特殊值将参数的范围缩小则可达到事倍功半之效果.如利用，则可得到，而此时，故有，立得．

【解析】  因为在区间上取得最小值4，

所以至少满足，解得．

又且，所以，即，

故在区间上单调递减，

所以，即．

所以所求m的值为.

点评：

直接运用最小值通过取特殊值的方法来达到缩小参数的取值范围.

例3    已知函数定义域为[a，b]，其中a＜b，值域[3a，3b]，则满足条件的数组(a，b)为                   ．

【答案】（1,4）

【分析】直接运用函数的最值缩参.

【解析】因为

所以3a≥3，即a≥1

故由函数图象知：在区间[a，b]上单调递增

所以，即，解之得.

点评：

已知定义域及对应值域的题型，往往利用函数本身所隐含的值域，将参数的范围缩小，从而避免对参数的讨论.

【巩固训练】

1. 已知函数在区间上的值域是，则m+n的值为        ．

2.若函数在上的最小值为，则实数的值为__________.

3. 已知函数（R），且在[0，2]上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围值是        ．

4.设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为          .

5.已知，记函数在的最大值为，则实数t的值是______．

6.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(－x＋5)＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根，若f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，则m＋n的值为       ．

【答案与提示】

1.【答案】-4

【提示】，故，

故在区间[m，n]上单调递增，，立得.

2.【答案】

【提示】由得，所以当时，，此时无解；当时，，解得.

3.【答案】

【提示】取区间内特殊值x=1、x=2，夹逼缩得m=﹣2，再完全分参即可.

4.【答案】

【解析】取特值代人得：

，.

令得：

所以在处求得极小值，故，

综上得.

点评：

若取，则由，则更简！

5.【答案】

【解析】函数在的最大值为，时，，

由，当且仅当时，取得最小值2，

当即时，，函数在递减，递增，

且的最大值为，由，可得不成立；

当即时，，由于，，，

且的最大值为区间的端点处取得，或取得，

当即时，的最大值，解得满足题意；

当即时，的最大值大于等于1，不满足题意．

综上实数t的值为：．

6.【答案】-4

【提示】易求得，故，

故在区间[m，n]上单调递增，，立得.