2022高考数学选填经典题型汇编 题型19 利用图象求解函数零点问题

题型19   利用图象求解函数零点问题

【方法点拨】

1.函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题.

2.利用图象法解决零点问题，分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线.

3. 利用图象法解决零点问题时，作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确.

【典型题示例】

例1   已知函数若函数 （）恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D.

点评：

本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围.

例2   已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是__________．

【答案】

【解析】作与图象，

由得

由得，对应图中分界线①;

由过点得，对应图中分界线②；

当与相切于时，因为，所以，对应图中分界线③；

因为函数有三个零点，所以实数k的取值范围是

故答案为：

例3   已知函数与的零点分别为 和．若，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【分析】将问题转化为函数与函数和交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果.

【解析】由，得，

对于函数，在上单调递增，在上单调递减，

由，得，

对于，得在上单调递增，在上单调递减，最大值为，其图像如图，

令得，

要，则直线要在点下方，

，

∴实数的取值范围是．

例4     已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是       ．

【答案】(27，+∞)

【解析】易知是偶函数，

问题可转化为有且仅有两个不同的零点.

分离函数得，由图形易知k＞0，

问题进一步转化为有两个交点问题.

设两个函数图象的公切点为

则，解得，

所以当时，即k＞27时，上述两个函数图象有两个交点

综上所述，实数k的取值范围是(27，)．

例5   已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是       ．

【答案】

【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点

易知，两边均为曲线，较难求解.

两边取自然对数，，即

   问题即为：与有两个交点

   先考察直线与相切，即只有一点交点的“临界状态”

   设切点为，则，解得，此时切点为

   代入

   再求与有两个交点时，m的取值范围

   由图象知，当在直线下方时，满足题意

   故，解之得，此时也符合

   所以实数m的取值范围是．

点评：

取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.

例6    若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为           ．

【答案】

【分析】本题的难点是“分离函数”，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应综合考虑的重要因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：、，，···，但利用较简单.

【解析】易知0是函数一个的零点，当x≠0时，可化为，考虑与有且只有两个非零零点. 如下图，

利用导数知识易得：

由图象得：或，解之得： 或

所以实数的取值范围为．

例7   已知函数，．若关于x的方程有四个不相等的实数解，则实数a的取值范围是       ．

【答案】

【分析】从结构上看，首先考虑“对化指”，方程，属于复合函数的零点问题，内函数是指数型，外函数是二次函数.设，，则为偶函数，研究 “一半”， 令，x＞0，则关于t的方程在(，)内有两个不相等的实根，分离参数，利用“形”立得.

【解析】方程

      令，，则显然为偶函数，

      所以方程有四个实根函数，x＞0有两个零点，

      令，x＞0，则关于t的方程，

      即在(，)内有两个不相等的实根，

      结合函数，的图像，得，

即，

则实数a的取值范围是．

【巩固训练】

1. 已知函数有零点，则实数的取值范围是____________.

2. 已知函数有四个零点，则实数的取值范围是__________．

3. 已知e为自然对数的底数，若方程|xlnx—ex+e|=mx在区间[,e2]上有三个不同实数根，则实数m的取值范围是________.

4.已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是______

5．已知函数有两个零点，函数有两个零点，满足，则实数的取值范围为                     ．

6.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.

7.已知函数，（其中是非零实数），若函数与函数的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为        .

8.已知函数有四个零点，则实数 的取值范围是__________．

A.                                        B.  

C.                                     D.  

9．已知函数，，若关于的方程有且仅有三个不同的实根，且它们成等差数列，则实数取值的集合为          ．

【答案与提示】

1.【答案】

2.【答案】

3.【答案】

【解析】方程两边同时除以，令，问题转化为与的图象在区间[,e2]上有三个交点.

∵，

∴当时，，减；当时，，增.

故当时，取得极小值，且.又，，

作出的图象，由图象知实数的取值范围是：.

4.【答案】

【解析】，画图得出k的取值范围．

5.【答案】

6.【答案】

【提示】易知0是其中一个零点，问题转化为与函数有两个不同的零点.

7.【答案】

【提示】转化为函数与函数的图象有且仅有两个交点最简.

8.【答案】  D

【提示】，根据对称性，只需考察有两个零点，得，故有，前两者是保证两方程各自有两解，这里（）易漏，它是保证两方程解不相同的.

9.【答案】.