2022高考数学选填经典题型汇编 题型43 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比

题型43   椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比

【方法点拨】

1. 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.

2.长短弦公式:如下图,长弦,短弦（其中是焦参数，即焦点到对应准线的距离，是直线与轴的夹角，而非倾斜角）.

说明：

（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.

（2）双曲线也有类似结论.

【典型题示例】

例1   已知椭圆方程为，AB为椭圆过右焦点F的弦，则的最小值为　   　．

【答案】

【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为

如图，过作于，则，①

设的倾斜角为，

则，②

联立①②，可得，同理可得，

．

令，，，

．

．

当且仅当，即时上式取等号．

的最小值为．

故答案为：．

例2   （2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为

A．4                B．              C．               D．2

【答案】D

【解析】，，

．

例3     已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B两点．若＝3，则k＝________.

【答案】

【解析】如右图，设l为椭圆的右准线，过A、B

分别向l作垂线AA/、BB/，A/、B/分别是垂足，过B作AA/垂线BD，D是垂足

    设BF=t ，AF=3t

    则，

    中，

    故

    又k>0，所以.

【巩固训练】

1. 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的离心率为________．

2.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 ＝2，则C的离心率为________．

3. 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于        ．（公众号：钻研数学）

4.已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为　　

A．， B． C．， D．

【答案与提示】

1.【答案】

【解析】如右图，设直线AB的倾斜角为

 则，

 所以

由|AF1|＝3|F1B|、长短弦公式得：，化简得：

代入得：，即

解之得：（负值已舍），所以.

2.【答案】

3.【答案】

4.【答案】C

【解析】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，，

由，且，，

由，所以，整理得，其中，，

由，不重合，所以，

，解得，所以，椭圆的离心率的取值范围，．