2022高考数学选填经典题型汇编 题型15 跨阶同构

题型15   跨阶同构

【方法点拨】

跨阶同构的几个关键环节:

1.指对各一边，参数是关键，凑形是难点.

2.凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.

3.常见同构式:

（1）与型：，；

（2）与型：，.

【典型题示例】

例1    已知函数，若，则的取值范围是         .

【解析】由移项得：

（说明：将变量移至一边的原则进行变形）

即，两边同时加（x－1）得

（说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形）

即

设，则，所以单增

所以，即

设，则，

所以在单减，在单增，

所以，所以.

点评：

对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．

例2   设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是                ．

【解法一】由得，即对任意的恒成立．

设，则恒成立，

又，

∴当时，单调递减；当时，单调递增．

画出图象为

①当时，，

此时函数单调递增，∴，即，

所以恒成立，

∴恒成立．

则当时，单调递增；

当时，单调递减，

∴，∴．

②当时，，

由，结合函数的图象可得，

即恒成立．

综上可得，∴实数的取值范围是．

【解析二】由得，即对任意的恒成立．

当时，总有，.

只需考虑的情形，亦即.

设(>0)，则，

上为增函数.

由得，，即，故

，∴．

【解析三】由得，，

即对任意的恒成立．

当时，总有，.

只需考虑的情形，亦即.

设(>1)，则，

上为增函数.

由得，，即，故

，∴．

【解析四】由得，，

即对任意的恒成立．

当时，总有，.

只需考虑的情形，得.

设(>1)，则，

上为增函数.

由得，，即，故

，∴．

例3   对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是     .

【解析一】将变形为，

（说明：将参数移至一边）

两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）

即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）

设，则，单增

故由（#）得，

再令，则，易知当

所以，即.

【解析二】将变形为，

即

设，易知单增

故（以下同解法一，从略）.

点评：

（1）          为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：，.

1. ；.
2. ； .
3. ；.
4. ； .

有时也需要对两边同时加、乘某式等.

（2）          与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.

【巩固训练】

1.设实数，若对任意的，不等式成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（   ）

3．已知函数，（其中a为参数），若对任意x(0，)，不等式成立，则正实数a的取值范围是          ．

4. 对于任意实数，不等式恒成立，则的最大值是_____.

5. 关于的不等式对任意（其中）恒成立，则的取值范围是_____.

6. 关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_____.

7.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是                ．

【答案与提示】

1.

【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【解析】因为，不等式成立，

即成立，即，

进而转化为恒成立，

构造函数，可得，

当，，单调递增，

则不等式恒成立等价于恒成立，

即恒成立，进而转化为恒成立，

设，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当，函数取得最大值，最大值为，

所以，即实数m的取值范围是. 

故选：D.

2.

【提示】变形为，

构造函数，等价转化为，

即，只需，答案为.

3．

【解析】（构建同构式处理不等式）

由得，即，

两边同时加得

令,则，

∵为单调增函数 ∴，即，

令,则

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴，解得．

4.【答案】e

【提示】变形为.

5.【答案】

【提示】变形为.

6.【答案】

【提示】变形为，利用.

7.【答案】

【解析】转化为，

即，

设，则恒成立，

又，单调递增

所以，，易求得

∴实数的取值范围是．