2022高考数学选填经典题型汇编 题型21 用数形结合法求解零点问题

题型21   用数形结合法求解零点问题【方法点拨】1.函数的零点的实质就是函数图象与x轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题.2.分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线，要把构造“好函数”作为第一要务.3.作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确. 【典型题示例】例1   已知函数若函数 （）恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.         点评：本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围.例2   已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是__________．【答案】【解析】作与图象，由得由得，对应图中分界线①;由过点得，对应图中分界线②；当与相切于时，因为，所以，对应图中分界线③；因为函数有三个零点，所以实数k的取值范围是故答案为：例3   已知函数与的零点分别为 和．若，则实数的取值范围是          ．【答案】【分析】将问题转化为函数与函数和交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果.【解析】由，得，对于函数，在上单调递增，在上单调递减，由，得，对于，得在上单调递增，在上单调递减，最大值为，其图像如图， 令得，要，则直线要在点下方，，∴实数的取值范围是．例4   已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是       ．【答案】(27，)【分析】由知，是偶函数，研究“一半”，问题转化为有且仅有两个不同的零点，分离函数得，两边均为基本初等函数，当曲线在一点相切时，两曲线只有一个交点，利用导数知识求出切点坐标，当抛物线开口变大，即函数值小于切点的纵坐标即可.【解析】易知是偶函数，问题可转化为有且仅有两个不同的零点.分离函数得，由图形易知k＞0，问题进一步转化为有两个交点问题. 先考察两曲线相切时的“临界状态”，此时，两曲线只有一个交点      设两个函数图象的公切点为则，解得，切点为再考虑两曲线有两个交点，当且仅当对于二次函数，当时，其函数值，即图象在的下方所以当时，即k＞27时，上述两个函数图象有两个交点综上所述，实数k的取值范围是(27，)．点评：1.本题解法较多，但利用“形”最简单，只要函数分离的恰当，这种题实现“分分钟”解决也是可及的.2.有关函数零点的问题解法灵活，综合考察函数的图象与性质、导数的几何意义、分离函数的意识、分离参数的意识等，综合性强，较难把握.3.利用“数学结合法”求解零点问题的要点有二.一是分离函数，基本策略是“一静一动、一直一曲，动直线、定曲线”,函数最好是基本初等函数；二是求解过程中的“临界状态”的确定，若是一直一曲，一般相切是“临界状态”，若是两曲，一般公切是“临界状态”（曲线的凸凹性相反，即曲线在公切线的两侧）例5    已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是       ．【答案】【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点易知，两边均为曲线，较难求解.两边取自然对数，，即   问题即为：与有两个交点   先考察直线与相切，即只有一点交点的“临界状态”   设切点为，则，解得，此时切点为   代入，再求与有两个交点时，m的取值范围   由图象知，当在直线下方时，满足题意   故，解之得，此时也符合   所以实数m的取值范围是．点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.例6    若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为           ．【答案】 【分析】本题的难点是“分离函数”，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应综合考虑的重要因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：、，，···，但利用较简单.【解析】易知0是函数一个的零点，当x≠0时，可化为，考虑与有且只有两个非零零点. 如下图，   利用导数知识易得：由图象得：或，解之得： 或所以实数的取值范围为．例7   已知函数，．若关于x的方程有四个不相等的实数解，则实数a的取值范围是       ．【答案】【分析】从结构上看，首先考虑“对化指”，方程，属于复合函数的零点问题，内函数是指数型，外函数是二次函数.设，，则为偶函数，研究 “一半”， 令，x＞0，则关于t的方程在(，)内有两个不相等的实根，分离参数，利用“形”立得.【解析】方程      令，，则显然为偶函数，      所以方程有四个实根函数，x＞0有两个零点，      令，x＞0，则关于t的方程，      即在(，)内有两个不相等的实根，      结合函数，的图像，得，即，则实数a的取值范围是．
【巩固训练】1.已知函数有四个零点，则实数 的取值范围是__________． A.                                        B.   C.                                     D.   2.已知函数，（其中是非零实数），若函数与函数的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为        .3.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.4.已知e为自然对数的底数，若方程|xlnx—ex+e|=mx在区间[,e2]上有三个不同实数根，则实数m的取值范围是________.5.已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是______6.已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是           .7. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为____________.8.  若函数有两个零点,则实数的取值范围是             .9．已知函数有零点，则实数的取值范围是____________.10. 已知函数，，其中为实数．若关于的方程在上有两个实数解，则实数的取值范围为          ．11. 已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是          ．12．已知函数，，若关于的方程有且仅有三个不同的实根，且它们成等差数列，则实数取值的集合为          ．
【答案与提示】1.【答案】  D【提示】，根据对称性，只需考察有两个零点，得，故有，前两者是保证两方程各自有两解，这里（）易漏，它是保证两方程解不相同的.2.【答案】【提示】转化为函数与函数的图象有且仅有两个交点最简.3.【答案】【提示】易知0是其中一个零点，问题转化为与函数有两个不同的零点.4.【答案】【解析】方程两边同时除以，令，问题转化为与的图象在区间[,e2]上有三个交点.∵，∴当时，，减；当时，，增.故当时，取得极小值，且.又，，作出的图象，由图象知实数的取值范围是：. 5.【答案】【解析】，画图得出k的取值范围． 6.【答案】 或．【提示】参见例6.7．【答案】8.【答案】9．【答案】10.【答案】【提示】完全分参，利用与在上有两个交点即可.     11.【答案】(2，)【提示】设，则，故有且仅有四个不同的零点，即等价于有且仅有四个不同的零点，即有两个零点思路一：（全分）思路二：（半分）12.【答案】【提示】变形为转化为与有且仅有三个不同的交点，而函数的图象是定点在直线上、开口向上的V形折线.