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    2022高考数学选填经典题型汇编 题型28 有关三角形中线、角平分线、高线问题

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    题型28   有关三角形中线、角平分线、高线问题【方法点拨】1. 中线长定理:, 是边上的中线,则.2. 内角平分线定理: ADABC的内角BAD平分线,则.说明:三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,再结合爪形结构,就可以转化为向量了,一般的,涉及到三角形中的定比类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷. 【典型题示例】1   2021·江苏南京金陵中学期末·8)在ABC中,角ABC所对的边分别为abc,角A的角平分线交BC于点D,若asinAbsinB(cb)sinC,且ADb3c,则a的值为(      )A B C3 D2【答案】B【分析】易求得,利用内角平分线定理及爪形结构将向量 线性表示为,这是本题之关键.【解析】由asinAbsinB(cb)sinC、正弦定理得:a2b2(cb) c由余弦定理得由三角形内角平分线定理得:所以两边取模方得:,解得由余弦定理得.2   ABC中,若角ABC所对的边分别为abcABC120°ABC的平分线交AC于点D,且BD1,则4ac的最小值为________【答案】9【分析】本题的关键是探究出ac间的关系.解析一(由等面积法探究间关系) ,即              ,即所以(当且仅当时,成立)所以的最小值为9【解析二】 (由三角形内角平分线定理、向量法探究间关系) 由三角形内角平分线定理得:所以两边取模得:化简得:,即所以(当且仅当时,成立)所以的最小值为9【解析三】(利用建系、三点共线法探究间关系) 为坐标原点,作为轴正半轴,建立直角坐标系,则三点共线         化简得所以(当且仅当时,成立)所以的最小值为93    在三角形ABC中,DBC边上一点,且,则的最大值为__________【答案】【分析一】为将已知中相关线段间的关系往所求之角的关系转化,利用爪形结构得出,从而将已知中所有条件据于一式之中.为出现所求,对其进行求模运算起到化边的作用,最后运用三角函数知识解决.【解析一】在ABC中,由得:两边取模得:,又代入都转化为边得:由余弦定理得:,即再由余弦定理得:所以所以(当时,“=”成立).【分析二】设,△ABD△ACD,由正弦定理化简可得,由两角差的正弦公式,化简可得,根据正弦函数的值域即可求解的最大值.【解析二】如图,由已知,,△ABC,由正弦定理可得: ,△ACD,由正弦定理可得:.所以简可得:,可得: .可得的最大值为.    【分析三】注意到三角形ABD是等腰三角形,联想所求,作底边AB上的高,过CAB上的高,化斜为直,充分运用平几知识解题.【解析三】如下图,分别过DCAB边上的高DECF,故DECFABD中,由三线合一知BE=AEDECFBD=2CDBF=2AF DECF=23所以所以(当时,“=”成立).  4     ABC中,AB10AC15∠A的平分线与边BC的交点为D,点E为边BC的中点,若90,则的值是       【答案】【分析】基底法,由于已知ABAC的长度,应考虑以为基底.本题的关键是将向量如何用基底向量线性表示?——利用三角形内角平分线性质定理为最简途径,易求得,用爪形结构即可.【解析】由角平分线定理可知ABC中,由爪形结构得:            ,求得      5     已知D上一点,且的最大值为          【答案】   【解析一】,则中,中,所以,解得中,,即①②可得所以,所以当且仅当,即时等号成立,所以的最大值为【解析二】因为,所以,即整理得到,两边平方后有所以整理得到,所以因为所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为6    已知点GABC的重心,且GAGC,若,则tanB的值为         【答案】【分析】由已知中的垂直条件想建系设点,角的关系转化为边的关系,利用余弦定理求cosB.【解析】建立如图所示直角坐标系(其中G是坐标原点),设A0n),Cm0),则B(-m,-n切化弦得:,即又由余弦定理得所以,故.
    【巩固训练】1. △ABC中,∠ADBC的中点.若AD≤BC,则sinBsinC的最大值为        2.△ABC中,AD为边BC上的高,∠BAC的平分线交BCE,已知AB4,则                 .3.已知,分别为边的中线且,的最小值为           .  4.ABC中,已知角ABC所对的边分别为abc,且a2c2b2ac,若BAC的平分线ADBC边于点DAD2BD1,则cos C________.5.已知是椭圆的左,右焦点,是椭圆上一点,,且平分,则________6. ABC中,已知AC5AB12ADBAC的平分线,DBC上,CD,则AD________.7. 2021·浙江·14)在中,M的中点,,则______________________.8.已知点G的重心,点DEF分别为的中点.,则________.9.中,内角所对的边分别为,且,设的中点,若,则面积的最大值是        
    【答案与提示】1.【答案】【解析】     2.【答案】3.【答案】.【解法一】如下图建立直角坐标系,设 .     【解法二】如下图,设,要使得最小,只要角最大.,所以的最小值为.        【解法三】.点评:解题的切入点很重要中线垂直对向量工具的使用是一种强烈的暗示,无疑,法三是我们追求的方法.4.【答案】   【解析】因为a2c2b2ac,所以cos B=-=-.因为B∈(0π),所以B.如图,在ABD中,由正弦定理得,则sin∠BAD,所以cos∠BACcos 2∠BAD12sin2BAD1,所以sin∠BAC,所以cos Ccoscos cos∠BACsin sin∠BAC××.5.【答案】6.【答案 【解析】在ABDADC中,由正弦定理可得.BADCADADBADCπ,所以有,即BDBC13.AC2AB214425169BC2,所以ABC为直角三角形且A.ADC中,由正弦定理可得,即AD×.7.【答案】    (1).     (2). 【解析一】由题意作出图形,如图,中,由余弦定理得,解得(负值舍去),所以中,由余弦定理得所以中,由余弦定理得.故答案为:.8.【答案】【解析】①,得:,所以.    9.【答案】【提示】易求得,由中线长定理得,而所以(当且仅当=时,“=”成立).或求得后,利用易得,当中线即为高线时,面积最大,下一步求出此时的面积,则更简单. 

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