2022高考数学选填经典题型汇编 题型13 二元不等式恒成立问题

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题型13   二元不等式恒成立问题【方法点拨】1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法，如例1、例2，此类题目的特征是：含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围，只需将另一参数视为“主元”，求出最值即可.2.对于“或求有关的代数式取值范围”型，利用几何意义，转化为比较零点来处理.【典型题示例】例1    若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是　   　．【答案】（﹣∞，﹣2）【分析】本题的特征是，较一般的不等式恒成立问题，增加了一个变量，一般是关于该变量的“一次式”，其解法是：变更主元，先看作“一次变量”的恒成立问题即可.【解析】先视为以b为主元的函数，设f(b)= b+ (x3﹣3x2+ax)      则f(b)为关于b的一次函数，在b∈[2，4]上增，为使f(b) ＜0恒成立      只需f(4) ＜0，即x3﹣3x2+ax+4＜0再考虑x3﹣3x2+ax+4＜0在x∈[1，3]恒成立分离参数可得：a＜3x﹣x2，设g（x）＝3x﹣x2，x∈[1，3]，故a＜g（x）的最小值由g′（x）＝3﹣2x，可得1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；2＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减，又g（1）＝﹣2，g（3），可得g（x）在[1，3]的最小值为﹣2，∴a＜﹣2，故实数 a的范围是（﹣∞，﹣2）．例2    已知函数，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】由在恒成立，整理得对任意恒成立，所以应有恒成立，即对恒成立．设，则，令，得或，列表如下：（公众号：钻研数学）8000极小值极大值，所以在的最小值为，又，，所以实数的取值范围是．例3   已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b取最小值时，b的值为          ．【答案】ln3－．【分析】在平面直角坐标系xOy中，分别作出y＝lnx及y＝a(x－2)＋b的图象，不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，即直线y＝a(x－2)＋b恒在曲线y＝lnx的上方．a＋b最小，即直线y＝a(x－2)＋b与x＝3交点的纵坐标最小．根据图象可知：a＋b的最小值为ln3，此时直线y＝a(x－2)＋b与曲线y＝lnx相切于点(3，ln3)，因此有：a＝，从而b＝ln3－．例4     已知，若恒成立，则的取值范围是　   　．【答案】【分析】所求，为了出现，将变形为，此时的几何意义是直线在x轴上的截距即函数的零点，根据图象可知，当时，曲线在任意一点的切线的零点都不小于曲线的零点，即，所以，的取值范围是．     点评：对于或型恒成立，求有关的代数式取值范围问题的解题步骤是：①       判断函数的凸凹性（当时，函数为凹函数；当时，函数为凸函数），从而得出因凸凹的不同，切线在曲线的上下的不同；②       凑配条件中的参数系数，求曲线和切线的零点，比较零点的大小即可.例5     若恒成立，则的取值范围是　   　．【答案】【分析】取对数，化双曲为“一直一曲”，解法同例3.【解析】对两边取自然对数得故，所以的取值范围是．         【巩固训练】1. 若不等式，对任意，恒成立，则实数的取值范围为___________.2.设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围为___________.3.设、均为实数，已知函数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；4. 已知，若恒成立，则的取值范围是　   　．5. 已知直线与曲线相切，则的最小值是（         ）．A.             B.      C.             D.6. 若不等式对于任意恒成立，则的最大值是（         ）．A.             B.      C.             D. 7.已知为自然对数的底数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（    ）A． B． C． D．
【答案与提示】1.【答案】2.【答案】．3.【分析】变更主元、分离参数，可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出的范围，【解析】由，得，由于，所以对任意的及任意的恒成立．由于，所以，所以对任意的恒成立．设，，则，所以函数在， 上单调递减，在 2，上单调递增，所以2，所以2．4.【答案】【提示】如图中，同例3，易得.    5.【答案】C6.【答案】C【提示】将变形为即可.7.【答案】B