2022高考数学选填经典题型汇编 题型55 割补法与等积变换求解体积问题

题型55   割补法与等积变换求解体积问题

【方法点拨】

1. 利用等积变换求解三棱锥的体积问题，归根结底就是“换顶点（或换底面）”，换顶点的常用方法有二.一是直接换，即从四个顶点选择一个点作为顶点，选择的基本原则是点面距易求，如出现线面垂直等；二是利用线面平行更换顶点，由于该直线上任意一点到平面的距离均相等，换完后依然是便于求出点面距.当然，有时还会遇到利用与平面相交的直线上的点换顶点等不一而足.
2. 利用求体积可以求点面距，其数学方法是“算两次”.

【典型题示例】

例1   在正方体中，动点E在棱上，动点F在线段上，O为底面ABCD的中心，若，，则四面体的体积    

A. 与x，y都有关 B. 与x，y都无关
C. 与x有关，与y无关 D. 与y有关，与x无关

【答案】B

【分析】利用线面平行换顶点，化动为静.

【解析】易知，平面，故四面体即四面体与四面体同底等高，即

同理，平面，故四面体即四面体与四面体同底等高，即

所以，故与x，y都无关.

例2    如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（    ）

A．           B．            C． D．

【答案】A

【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积.

【解析】在上取点使，连接，

是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，

所以四边形为等腰梯形，，，

根据等腰梯形性质，，

是平面内两条相交直线，是平面内两条相交直线，

所以平面，平面，

，

几何体体积为

，

故选：A

例3     如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为        cm3.

【答案】

【解析】如图所示，连结交于点，

因为 平面，又因为，所以，，

所以四棱锥的高为，

根据题意，所以，

又因为，，故矩形的面积为，

从而四棱锥的体积.

例4     如下图，四棱锥中，平面，

，则点到平面的距离为           .

【答案】

【分析】先证明，而所求点到平面的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥的体积即可.

【解析】因为平面,平面,

所以.由,得

又,平面,平面,所以平面,

因为平面,所以.

连结.设点到平面的距离为.

因为,,所以从而由,

得的面积.由平面及,得三棱锥

的体积因为平面平面,

所以,又,所以

由,,得的面积,

由,得

因此．点到平面的距离为

【巩固训练】

1.如下图，在长方体中，3 cm，2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为         cm3

2.如图，在正方体中，，为的中点，则三棱锥的体积为     cm3．

3.如图，已知正四棱柱的体积为36，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为    ．

4．如图，三棱锥中，是中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为        ．

5.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是             ．

6.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则       ．

7.在直三棱柱中，，，，.则到面的距离为              .

【答案与提示】

1.【答案】1

【提示】直接使用等体积法.

2.【答案】

【提示】直接使用等体积法.

3.【答案】12

【解析一】特殊位置法，转化为求四棱锥的体积；

【解析二】连接DE，则三菱锥与三菱锥体积相等，所以，因为，所以.

【解析三】补体，如右图.

4．【答案】10

【解析】补体，转化为三菱锥与三棱锥的体积比，实施等积变换.

，

因为，，

则四棱锥的体积为10.

5.【答案】

【提示】直接使用等体积法.

6. 【答案】1：24

【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．

又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．

7.【答案】.

【解析】因为三棱锥与三棱锥的底面积相等，

高也相等（点C到平面的距离）；

所以三棱锥与三棱锥的体积相等.

又，

所以.

设到面的距离为H，

则，解得.