山西省大同市第一中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

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2022~2023-2高一年级3月学情检测数学试题一､单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 设是两个非零向量（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则存在实数，使得D. 若存在实数，使得，则【答案】C【解析】【分析】运用向量数量积运算、向量垂直及向量共线分析每个选项即可.【详解】对于选项A、C，因为、为两个非零向量，，所以，即：，所以，则，即与反向共线所以存在实数，使得.故选项A错误；选项C正确；对于选项B，因为，所以，所以，，又因为、为两个非零向量，所以，所以，所以，故选项B错误；对于选项D，因为，所以，，所以当时，即：时，，当时，即：或时，.故选项D不成立.故选：C.2. 已知点为的外心，的外接圆的半径为1，则与的夹角的正弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得：，两边同时平方利用数量积运算和已知条件，即可得出结果；【详解】，，，又，，，而，故.故选：A3. 如图所示，已知AD，BE分别为的边 BC，AC 上的中线，=，=，则（    ）A. + B. + C. - D.  +【答案】B【解析】【分析】以为基底表示出，然后解向量方程组可得.【详解】因为D、E分别为BC、AC的中点，所以…①，…②①+2②得，所以故选：B4. 若α∈（，π），则2cos2α＝sin（α），则sin2α的值为（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【详解】∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（α），∴，∴，∴，∵，∴，∴cosα+sinα，∴，∴ 1+sin2α，∴sin2α；故选：B．5. 在中，内角所对的边分别为.若，，且，则的外接圆的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可求得，接着利用正弦定理求得外接圆半径后，根据圆的面积公式可得结果.【详解】，解得：；，解得：；由正弦定理得：，解得：，的外接圆面积.故选：A.6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先由为中点，利用表示出，再利用余弦定理求出的最大值，即可求解.【详解】由知为中点，，，又，，当且仅当时，取等号，故.故选：A.7. 已知非零向量和满足，且，则为(    )A. 等边三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 三边均不相等的三角形【答案】A【解析】【分析】根据向量加法和线性运算可知向量与的平分线共线，根据可知的平分线与对边垂直，由此可知△ABC是等腰三角形；再由和向量数量积的定义可求出的大小，从而可判断△ABC的形状．【详解】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，∴向量与的平分线共线，又由可知的平分线与对边垂直，则△ABC是等腰三角形，即，，∴，∵，∴，∴△ABC为等边三角形．故选：A．8. 已知函数的图象经过点，若在区间上至多有1个零点，则a的取值范围是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据正余弦二倍角公式以及辅助角公式化简，根据图象过可得，进而可求函数的零点，即可求a的取值范围.【详解】解：由题可知．因为，所以．所以．令，则，，所以，．当，2时，的零点为，．由于在区间上至多有1个零点，所以．所以a的取值范围是．故选：C二､多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分）9. 下列说法正确的是（    ）A. 对于任意两个向量，若，且同向，则B. 已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为C. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件D. 若，则与的夹角是钝角【答案】BC【解析】【分析】根据向量不能比较大小可判定选项A；利用投影向量的计算公式可判定选项B；利用充分不必要条件的逻辑关系可判定选项C；若，则与的夹角是钝角或角，可判定选项D.【详解】选项A：向量是既有大小又有方向量，但不能比较大小，故选项A错误；选项B：在单位向量上的投影向量为，故选项B正确；选项C：若存在负数，使得，则；若，则向量与的夹角为钝角或，故选项C正确；选项D：若，则与的夹角是钝角或角，故选项D错误；故选：BC.10. 已知函数，则（    ）A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到B. 在上单调递增C. 在内有2个零点D. 在上的最大值为【答案】BC【解析】【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；【详解】由题得，由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，所以选项A错误；令，得其增区间为，所以在上单调递增，所以选项B正确；令得，得，又．所以可取，即有2个零点，所以选项正确；由得，所以，所以选项D错误．故选：BC．11. 对于△ABC，有如下命题，其中错误的是（    ）A. 若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形B. 若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为C. P在△ABC所在平面内，若，则P是△ABC的重心D. 若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形【答案】ABD【解析】【分析】把余弦改为正弦，用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可得角的大小，得三角形形状，从而判断A；由余弦定理求得后，再由三角形面积计算面积，判断B；根据三角形重心性质判断C；由正弦值相等得出角的关系判断D．【详解】解：对于A：sin2A+sin2B+cos2C＜1，整理得：sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，即sin2A+sin2B﹣sin2C＜0，根据正弦定理：a2+b2﹣c2＜0，故，则△ABC为钝角三角形．故A错误；对于B：若AB＝，AC＝1，B＝30°，设BC＝x，则利用余弦定理：，解得x＝1或2，即BC＝1或2，当BC＝1时，，当BC＝2时，，故B错误；对于C：P在△ABC所在平面内，若，如图，取中点，连接，易，又，所以，所以，所以三点共线，且，所以 是△ABC的重心，故C正确；对于D：若sin2A＝sin2B，所以：2A＝2B，或2A＝π﹣2B，整理得A＝B，或A+B＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误．故选：ABD．12. 在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知，a＝7，则以下判断正确的是（    ）A. △ABC的外接圆面积是B. bcosC+ccosB＝7C. b+c可能等于16D. 作A关于BC的对称点A'，则AA'的最大值是【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用正弦定理求出三角形外接圆半径，从而可求出外接圆面积，对于B，利用余弦定理化简计算即可，对于C，利用正弦定理表示出，从而可表示出，再利用辅助角公式变化可进行判断，对于D，利用等面积法结合余弦定理可求出A到BC的最大距离，从而可求出AA'的最大值进行判断【详解】解：对于A，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，a＝7，由＝2R，可得R＝，可得△ABC的外接圆的面积是πR2＝，故正确；对于B，bcosC+ccosB＝b•+c•＝a＝7，故正确；对于C，（﹣＜α＜），可得b+c∈（7，14]，b+c不可能等于16，故错误；对于D，作A关于BC的对称点A'，设A到BC的距离为h，可得ah＝bcsin，即有h＝bc，由a2＝b2+c2﹣2bccos＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤49，当且仅当b＝c取得等号，可得h≤，则|AA'|的最大值是7．故错误．故选：AB．三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13. 已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__.【答案】【解析】【分析】由向量投影的定义即可求得则在方向上的投影向量.【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：14. 设，，化简_____.【答案】【解析】【分析】先进行“切化弦”，进而将化为，然后通过二倍角公式转化成二倍角，最后得到答案.【详解】因为，，所以.故答案为：.15. 已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为___________【答案】【解析】【分析】在中，将，代入，用与表示，可得，故，展开根据已知条件代入数据计算即可.【详解】∵，∴，∴，∴.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点在于将用与线性表示，将转化为与之间的数量积运算问题来求解.16. 在△ABC中，|AB|＝2，，则△ABC面积最大值为_________．【答案】【解析】【分析】设，则，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得，继而可求的表达式，从而可得面积的最大值【详解】依题意，设，则，又，
由余弦定理得：，
即，∴，
∴，∴，
∵，
∴，
由二次函数的性质，当时，取得，∴故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等式，余弦定理在解三角形中的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得面积的表达式是关键，也是难点，属于难题四､解答题（本小题共4小题，共36分）17. 已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．（1）若∥，求 的值；（2）若⊥（＋2），求实数k的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】（1）3；    （2）k＝；    （3）k＜且k≠－6.【解析】【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【小问1详解】解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．【小问2详解】解：因为＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．【小问3详解】解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．18. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足.(1)求的值;(2)若为线段上任意一点，求的最小值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）以为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的运算；（2）先确定的位置，即，再令，从而将表示成关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.【详解】(1)在梯形中，因为，，所以， ;(2)令，则，即，令，则，，所以当时，有最小值.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.19. 目前，中国已经过成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原．处处都能见到5G基站的身影．如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．（1）求出山高BE（结果保留整数）；（2）如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MD=xm，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大?参考数据：，，，．【答案】（1）152m；    （2）.【解析】【分析】（1）先通过正弦定理求出BC，进而求出BD，然后求得答案；（2）先表达出，然后结合两角和与差的正切公式得到，最后结合基本不等式求得答案.【小问1详解】由题知∠ACB=8°，∠BAC=45°，在中，由正弦定理得，即，所以，中，，即，所以，所以山高BE=BD＋DE=150＋1.5=151.5≈152m.【小问2详解】由题知，，则在中，，在中，，由题知，则，当且仅当即时，tan∠ACB取得最大值，即视角最大．20. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1），    （2）答案见解析【解析】【分析】（1）先对解析式进行化简，再对正弦型三角函数求单调递增区间即可；（2）由题干可知，.选①时，的面积由计算；选②③时的面积由计算.【小问1详解】，由，得，，∴函数的单调递增区间为，；【小问2详解】由，得，又中，，可知；若选①：由，可知，可化为，又，则，又中，故，所以，则，故；若选②：为的中线，且在中，，，则有，在中，，在中，，又，则则，又知，故；故；若选③：为的角平分线，且.由题意知，，即，整理得又在中，，，则有，故解之得，，故.