2023年山东省威海乳山市中考二模数学试题（含解析）

2023年山东省威海乳山市中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的相反数是（  ）A． B．5 C．25 D．2．如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　）A． B． C． D．3．国家速滑馆是2022年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆，是唯一新建的冰上竞赛场馆．国家速滑馆拥有亚洲最大的全冰面设计，冰面面积达12000平方米．将12000用科学记数法表示应为（    ）A． B． C． D．4．下列各式，计算正确的是（  ）A． B．C． D．5．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表：这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是(    )A．14,5 B．14,6 C．5,5 D．5,66．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=1：2，那么CF：CB等于(    )A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：37．如图，内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上的点E处，若，则（  ）   A．40° B．50° C．55° D．65°8．如图，在第1个中，，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得；…按此作法进行下去，第个三角形的以为顶点的内角的度数为（    ）A． B． C． D．9．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．下列结论正确的是（  ）A． B．C． D．若是抛物线上两点，则10．如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为（  ）  A． B．2 C． D．二、填空题11．有五张不透明的卡片，正面的数分别写有，，，，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为________．12．计算：________．13．如图，，∠ABC=80°，∠BCD=40°，则∠CDE=________________．  14．甲、乙两人在对进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，则因式分解的正确结果为________．15．如图，在四边形中，，点A在x轴上，双曲线过点F，交于点E，连接．若，，则k的值为_______．   16．如图，在正方形中，，点G，H分别在上，且，与交于点O，N为的中点，连接，作交于点M，连接，则的值为________．三、解答题17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．18．已知A，B两地相距72千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的1.2倍，如果甲比乙先行小时，那么两人相遇时所行路程恰好相等．甲、乙两人骑自行车的速度各是多少？19．在放学后“托管学习”新形势下，为了解学生对不同学习方式的喜好情况，通过问卷星的方式随机调查了全市部分学生（所调查的问题如图所示），并根据调查结果绘制了两个不完整的统计图．  根据以上统计图，解决下列问题：(1)本次接受调查的学生共有______人；(2)已知选择选项A与选项C的人数之和等于选择选项B的人数，求选择选项B与选项C分别有多少人；(3)若我市约有1万初中生，请估计喜欢的学习方式与自主学习有关的学生人数．20．学校数学兴趣小组的同学要测量操场旗杆的高度，示意图如图所示．小明在旗杆的正南方向用1米高的测倾器（米），测得旗杆顶端A的仰角是．小强在旗杆的正北方向（点F，B，D在同一直线上）2米高的图书馆台阶上，用1米高的测倾器（米）测得旗杆顶端A的仰角为．已知米，求旗杆的高度．（参考数据：，， ，，）  21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA（1）求证：OA＝OB；（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．22．如图，在中，，，边的中线的延长线交等边的边于点F，连接．   (1)求证：四边形是矩形；(2)①连接，直接画出的中垂线，交，于点G，H；（不写画法，不需画图痕迹）；②若，求的长．23．如图，抛物线经过两点，交y轴于点C，顶点为E，过线段上的动点F作的垂线交于点D，延长交y轴于点G．  (1)求抛物线的解析式；(2)若，求线段的长．24．过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接．将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．(1)如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且．无论点P在何处，总有，请证明这个结论．(2)如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当， 时，求的长；(3)如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．锻炼时间（时）34567人数（人）6131452参考答案：1．D【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得到答案．【详解】解：根据题意，的相反数是；故选：D．【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题．2．B【详解】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选B．考点：简单几何体的三视图．3．B【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．【详解】．故选B．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．4．C【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及乘法公式逐一判断即可；【详解】A. ，故此选项错误，不合题意；B. ，故此选项错误，不合题意；C. ,故此选项正确，符合题意；D. ，故此选项错误，不合题意；故选择：C【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及乘法公式整式运算中的运用，熟练掌握相关公式法则是解题的关键5．C【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．本组数据中，把数据按照从大到小的顺序排列，最中间的两个数的平均数即为中位数．【详解】由统计表可知：体育锻炼时间最多的是5小时，故众数是5小时；统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间都是5小时，故中位数是5小时．故选C．【点睛】本题考查了确定一组数据的众数和中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．6．D【分析】先由AD：DB=1：2，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，即可得答案．【详解】∵AD：DB=1：2，∴BD：AB=2：3，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=2：3，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=2：3.故选D.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．7．B【分析】首先连接，由折叠的性质可得：，结合已知，由三角形内角和定理得出的度数，再由同弧上圆周角相等求得的度数．【详解】连接，如图所示：由折叠的性质可得：，∴，∵（同弧所对的圆周角相等），∴．故选B．  【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键，注意数形结合思想的应用．8．B【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的内角的度数．【详解】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝180°−∠B2＝75°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A2＝75°÷2＝37.5°；同理可得∠DA3A2＝18.75°，∠EA4A3＝9.375°，∴第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为，故选：B．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．9．D【分析】直接利用二次函数的图像和性质逐一判断即可；【详解】A. 抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，，抛物线与轴的交点在轴下方，，，故本选项不正确，不符合题意；B. ，，故本选项不正确，不符合题意；C. 抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，抛物线与轴的另一个交点为，当时，，，故本选项错误，不符合题意；D. 点到直线的距离比点到直线的距离大，，故选项正确，符合题意；故选择：D【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想是解决本题的关键．10．A【分析】根据运动过程始终保持，可知点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短（图1）；设交圆O于F，此时满足最长（图2）．据此利用勾股定理即可作答．【详解】∵运动过程始终保持，∴点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短．如图1，        图1                             ∵等边的边长为4，∴，，∵点O为中点，∴，∴，∴最短为：，如图2，假如当点F运动到与的交点时，最长．  图2∵（直径所对的圆周角为直角），又，∴F为的中点，∴．即长度的最大值为2．故线段长度的最大值与最小值的差约为：．故答案为：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，判断出点F在以为直径的圆上，是解答本题的关键．11．/【分析】用无理数的个数除以总数即为所求的概率．【详解】解：所有的数有5个，无理数有π，，共2个，∴抽到写有无理数的卡片的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查概率公式的应用，判断出无理数的个数是解决本题的关键．12．/【分析】根据特殊三角函数值及负指数幂可进行求解．【详解】解：原式；故答案为．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值及负指数幂，熟练掌握特殊三角函数值及负指数幂是解题的关键．13．140°/140度【分析】延长ED至F，交BC于点G，根据两直线平行同位角相等，得到∠FGC=80°，得到∠CGD，根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BCD+∠CGD=40°+100°=140°．【详解】解：延长ED至F，交BC于点G，  ∵，∠ABC=80°，∴∠FGC=80°，∴∠CGD=180°−80°=100°．∵∠CDE是△CDG的外角，∴∠CDE=∠BCD+∠CGD=40°+100°=140°．【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，正确掌握平行线的性质是解题的关键．14．【分析】根据因式分解的恒等性，根据确定b的值，根据题意，，确定正确的a值，后重新因式分解即可．【详解】∵甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的看错项问题，熟练掌握因式分解的意义是解题的关键．15．8【分析】过点F作轴于点C，设点F的坐标为，从而得出，根据矩形的性质可得，结合已知条件可得，根据点E、F都在反比例函数图象上可得，从而求出，然后根据三角形的面积公式即可求出的值，从而求出k的值．【详解】解：过点F作轴于点C，设点F的坐标为，  ∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，即，∴，解得：，∴点E的横坐标为，设点E的纵坐标为，∵点E、F都在反比例函数的图象上，∴，∴点E的纵坐标，即，∴，∵，∴，即，解得：，∴，故答案为：8．【点睛】此题考查的是反比例函数与图形的面积问题，掌握矩形的判定及性质、反比例函数的比例系数与图形的面积关系和三角形的面积公式是解决此题的关键．16．/【分析】先判断出，得出，进而求出，再判断出，求出，再判断出，求出，即可求出答案．【详解】解：∵四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，点是的中点，，，，，在中，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．17．，详见解析【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定其公共部分即可．【详解】解：由不等式①得，，∴，由②得，，∴． 在数轴上表示不等式的解集如下：∴不等式组的解集为．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式组的方法与步骤是解本题的关键．18．甲的速度为15千米/小时，乙的速度是18千米/小时【分析】设甲的速度为x千米/小时，根据题意建立分式方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度是千米/小时．由题意得，解得，． 经检验，是分式方程的解． ∴．答：甲的速度为15千米/小时，乙的速度是18千米/小时．【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确方方程．19．(1)800(2)选择B项有280人，选择C项有160人(3)估计喜欢的学习方式与自主学习有关的学生有4500人【分析】（1）根据选项D的人数以及其占比，即可求解；（2）根据题意列二元一次方程组即可求解；（3）根据样本估计总体即可求解．【详解】（1）解：(人)，答：本次接受调查的学生共有800人；故答案为：800；（2）解：设选择选项B有x人，选择选项C有y人．由题意，得． 解得．所以，选择B项有280人，选择C项有160人；（3）解：（人）所以，估计喜欢的学习方式与自主学习有关的学生有4500人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．20．米【分析】作于点M，交于点G．过点G作于点H，过点C作于点N，可得，根据三角函数求出，设，则，在中，根据三角函数可得到，进而得到，解方程求出x，即可得到答案．【详解】解：如图，作于点M，交于点G．过点G作于点H，过点C作于点N．根据题意得．   在中，， ∵，∴，设，则．在中，，，∴，∴，解得，∴旗杆的高米．【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的相关知识．21．（1）见解析；（2）1【分析】（1）根据切线的性质可得OE⊥AB，再依据题中已知条件E是AB中点，根据等腰三角形的判定即可证明线段相等；（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得，再由三个角之间的等量关系可得：，设⊙O的半径为r，则，在和中，两次应用勾股定理，求解方程即可得出圆的半径．【详解】解：（1）证明：在⊙O中，连接，∵ 直线AB与⊙O相切于点E，∴ OE⊥AB．∵ E是AB中点，∴；（2）解：∵，∴ ．∵，∴AE，AC是⊙O的切线，∴，（切线长定理）∴ ，∵ ，∴ ， 设⊙O的半径为r，则，在中，，∴ ，在中，∵，，∴ ，解得，∴ ⊙O的半径为1．【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个性质和定理是解题关键．22．(1)详见解析(2)①详见解析；②【分析】（1）证明，，证明，可得，四边形是平行四边形，结合，可得答案；（2）①根据作图语言画图即可；②连接，证明，求解，，，设为x，则，．由勾股定理得，再解方程可得答案．【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴∵，∴．∴． ∵，，∴． ∴．∴四边形是平行四边形． ∵，∴四边形是矩形．（2）①如图：   ②连接．∵垂直平分，∴． ∵，，，∴，，． 设，则，．在中，由勾股定理得，解得． 即．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的判定，画线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，熟记图形的性质并灵活应用是解本题的关键．23．(1)(2)1【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点，先求出点C、点E和点G的坐标，进而可得直线和直线的解析式，联立两直线解析式求出点D的坐标，设，可得，然后根据等角的正切值相等列式求出t的值即可．【详解】（1）解：把代入，得，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，  ∵抛物线的解析式为，∴，∴在中，，，，，，，，，，，设直线的解析式为：，代入得：，解得：，直线的解析式为：，设直线的解析式为，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立，解得：，∴，，，，，，，即，设，则，，解得：，．【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数及一次函数的图象和性质，解直角三角形等知识，能够根据题意作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．24．(1)见解析(2)(3)或【分析】（1）利用正方形性质和旋转变换证明，即可证得结论；（2）如图2，过点P作于点H，连接，先证明，可得，，再证明：是等边三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；（3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出的长即可．【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是正方形，，，，，，，∵将绕点A顺时针方向旋转至，，，．（2）解：如图2，过点P作于点H，连接，∵四边形是菱形，，由旋转得：，，即，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，；（3）解：①当时，如图3，连接，，过点B作于点E，设交于点F，过点F作于点G，∵四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，即，平分，，，，在中， ，，，，，，，在中， ，，，，，即，， ，，，，，，，，，，；②当时，如图4，过点P作于点G，于点H，则， ，，，，∴四边形是矩形，， ，，，在中，，，，在中，，在中，，，解得： ；③当时，由②知： ， ， ，，，解得：或，均不符合题意；综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了正方形、菱形、矩形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，采用分类讨论的思想，作出辅助线是解决本题的关键．