浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022－2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高一（下）期中
数学试卷
学校： 姓名： 班级： 考号：
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，则（ ）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
3．设x∈R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，一个水平放置平面图形的直观图A＇B＇C＇D＇是边长为1的菱形，且O＇D＇＝1，则原平面图形的面积为（ ）

A．2 B．1 C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．平面α内有不共线的三个点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β
C．b∥α，α∥β，则b∥β
D．a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α
6．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A．20m B．m C．m D．m
7．正方体的棱长为2，点P，Q，R分别是棱，，BC中点，则过点P，Q，R三点的截面面积是（ ）

A． B． C． D．
8．已知，且，则a－b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20．0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数2－2i的虚部为－2i B．若i为虚数单位，则
C．复数－2－i在复平面内对应的点在第三象限 D．复数的共轭复数为－2－i
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若A＞B，则
B．若A＝30°，b＝5，a＝2，则△ABC有两解
C．若，则△ABC为锐角三角形
D．若，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
11．已知向量，，，λ∈R，μ∈R，则（ ）
A．若λ＝1，则在方向上的投影向量为
B．与共线的单位向量为
C．若，则
D．的最小值为
12．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO＝OC＝2，则下列结论正确的是（ ）

A．圆锥SO的侧面积为
B．三棱锥S－ABC体积的最大值为
C．∠SAB的取值范围是
D．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则SE＋CE的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．复数，i为虚数单位，则 ．
14．如图，在单位圆中，，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，若，△MON为等边三角形，则 ．

15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为 ．
16．已知圆锥底面圆的直径为2，高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10.0分）
已知，，与的夹角是120°．
（1）计算：；
（2）当k为何值时，．
18．（本小题10.0分）
已知向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）记，若对于任意，，，恒成立，求实数λ的最小值．
19．（本小题12.0分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50，在甲出发2min后，乙从A处乘缆车到B处，再从B处匀速步行到C处，假设缆车的速度为130，山路AC长为1260m，经测量，．

（1）从A处到B处，乙乘坐缆车的时间是多少min？
（2）乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？
20．（本小题12.0分）
如图，斜三棱柱中，D，分别为AC，上的点．

（1）当时，求证平面；
（2）若平面平面，求的值，并说明理由．
21．（本小题12.0分）
在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ．
（1）求角C的值；
（2）若角C的平分线交AB于点D，且，求2a＋b的最小值．
22．（本小题14.0分）
已知（a≥2）．
（1）当a＝2时，解不等式；
（2）若，且函数的图像与直线y＝3有3个不同的交点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，假设3个交点的横坐标分别为，，，且，若恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】解：由题设．
故选：C．
利用集合的交运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：因为，，，
所以b＜0，，
所以a＞c＞b．
故选：B．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
3．【答案】A
【解析】解：由，得0＜x＜2，
由，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3，
∵，
∴“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
分别求解一元二次不等式与绝对值的不等式，再结合充分必要条件的判定可得答案．
本题主要考查了一元二次不等式与绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】解：
根据题意，把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示：

其中OD＝2O＇D＇＝2，AB＝CD＝A＇B＇＝1，
所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2．
故选：A．
把直观图还原出原平面图形，是平行四边形，计算原平面图形的面积即可．
本题考查了直观图与原平面图形的关系应用问题，是基础题．
5．【答案】D
【解析】解：
对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；
对于B：由题意可得：α∥β或α与β相交，B错误；
对于C：根据题意可得：b∥β或b⊂β，C错误；
对于D：∵a∥α，则∃m⊂α，使得a∥m，则a∥m，
∴b∥m，b⊄α，m⊂α，
∴b∥α，D正确；
故选：D．
根据线面平行的判断和性质理解辨析．
本题主要考查空间直线、平面位置关系的判定，命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
6．【答案】C
【解析】解：
由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°所以∠ACM＝30°，
在Rt△ABM中，，
在△ACM中，由正弦定理得，
所以，
在Rt△DCM中，
．
故选：C．
由正弦得出AM，再结合正弦定理得到CM，进而能求CD．
本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．
7．【答案】D
【解析】解：
如图，设AB的中点为H，连接HR并延长，交DA延长线于E，交DC延长线于F，连接PE交于G，
连接QF交于I，连接GH，RI，则六边形PQIRHG为过点P，Q、R三点的截面，

由题意可知，△AHE≌△BHR，则AE＝BR＝Q，
故，可知，即G为的中点，
同理可证I为的中点，故可知六边形PQIRHG为正六边形，
且边长为，
故其面积为，即过点P、Q．R三点的截面面积是，
故选：D．
作图作出过点P、Q，R三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长即可求得截面面积．
本题考查了正方体的结构特征，考查了平面被正方体截得的图形问题，主要考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：，
∵，
能，
设a＋b＝m，a－3b＝n，则mn＝1，
则，，
∵在单调递减，在上单调递增，
∴，时，；m＝2时，，
∴a－b的取值范围为：．
故选：B．
可得出，根据条件得出，设a＋b＝m，a－3b＝n，mn＝1，从而得出，，然后根据函数的单调性可得出y的取值范围，进而得出a－b的取值范围．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对勾函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
9．【答案】BC
【解析】解：复数2－2i的虚部为－2，故A错误；
，故B正确；
复数－2－i在复平面内对应的点在第三象限，故C正确；
，其共轭复数为－2＋i，故D错误．
故选：BC．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
10．【答案】ACD
【解析】解：
对于A，∵A＞B，
∴，根据同角三角函数基本关系式可知，故A正确；
对于B，由正弦定理可得：，
∴，
此时△ABC无解，故B错误；
对于C，∵，
∴，可知A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形，故C正确；
对于D：∵，，
∴，∴，∴，b＝a或，故D正确．
故选：ACD．
利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
11．【答案】AD
【解析】解：
A．λ＝1时，，，
∴在方向上的投影向量为：，A正确；
B．与共线的单位向量为：或，B错误；
C．，∴，
∴，∴，C错误；
D．∵，
∴，
∴的最小值为：，D正确．
故选：AD．
A．λ＝1时，，得出，然后根据投影向量的计算公式即可求出在方向上的投影向量，从而判断出A的正误；
B．与共线的单位向量为，从而判断B的正误；
C．根据得出，进而得出，然后即可判断C的正误；
D．可求出，然后配方即可判断D的正误．
本题考查了投影向量的计算公式，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义及求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
12．【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查旋转体及其特征，考查剪展问题中最值的求法，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
由已知求出圆锥侧面积判断A；求出三棱锥S－ABC体积的最大值判断B；由极限观点求解∠SAB的取值范围判断C；利用剪展问题求得SE＋CE的最小值判断D．
【解答】
解：在Rt△SOC中，∵SO＝OC＝2，∴，
则圆锥SO的侧面积为，故A错误；
当B位于中点时，△ABC面积取最大值，为，
此时三棱锥S－ABC体积的最大值为，故B正确；
当点B与点A重合时，∠ASB＝0，为最小角，当点B与点C重合时，，为最大角，
又因为点B与A，C不重合，
故，
又，
可得∠SAB的取值范围是，故C错误；
若AB＝BC，以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC共面，连接SC，交AB于E，如图所示，

在此平面图中，易得△SAB为等边三角形，AB⊥BC，且，
则∠SBC＝150°，在△SBC中，，
由余弦定理可得，
，即SE＋CE的最小值为，故D正确．
故选：BD．
13．【答案】1
【解析】解：
由题意，，
则．
故答案为：1．
先化简复数z，再由复数的模长公式计算即可．
本题考查复数的运算，考查复数的模长公式，属于基础题．
14．【答案】
【解析】解：，解得，
而点N在第二象限，
则，
∵，
∴．
故答案为：．
根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的正弦公式，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及正弦函数的两角差公式，属于中档题．
15．【答案】4/9
【解析】解：如图，

∵，，且，
∴


，
由题意可得，λ，μ＞0，
∵，
∴，则，
∴（当且仅当时等号成立），
∴的最小值为．
故答案为：．
由题意画出图形，把用，表示，最后转化为含有λ，μ的代数式，再结合及基本不等式求得的最小值．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
16．【答案】
【解析】解：
四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，
设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：

则OA＝OB＝1，∴，
∴．
∴三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，
连接BP，则BP平分∠SBA，∴∠PBO＝30°．
∴，即，
即四面体的外接球的半径为．
另正四面体可以从正方体中截得，如图：

从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
∴，
即a的最大值为．
故答案为：．
根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，然后利用分割补形法求得a的最大值．
本题考查正四面体的外接球，考查化归与转化思想，训练了分割补形法的应用，是中档题．
17．【答案】解：
（1）．
（2）∵，
∴，
∴，即，解得，
故当时，成立．
【解析】
（1），再结合数量积的运算公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合数量积的运算公式，即可求解．
本题主要考查数量积的运算公式，属于基础题．
18．【答案】解：
（1）由，
则，
即，
即，
又，
则；
（2）
，
又，
则，
则，
又对于任意，，而恒成立，
则，
故实数λ的最小值为．
【解析】
（1）由，则，再求解即可；
（2）由，又，则，又对于任意，，恒成立，等价于，得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数恒等变换及三角函数最值的求法，属中档题．
19．【答案】解：
（1）在△ABC中，因为，．所以，，
从而，
由正弦定理，得，乙乘缆车的时间是；
（2）假设乙出发t（0≤t≤8）分钟后，甲、乙距离为d，此时，甲行走了，
乙距离A处130m，所以由余弦定理得
，
因为0≤t≤8，故当时，甲、乙两游客距离最短．
【解析】
（1）先利用两角和的正弦公式求得，再根据正弦定理求出AC的长，从而可求乙乘坐缆车的时间；
（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处130t m，由余弦定理可求d，进而可求d的最小值；
本题考查了正余弦定理的应用，锐角三角函数定义，属中档题．
20．【答案】解：
（1）证明：如图，当时，为线段的中点，
连接交于点O，连接．

由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，所以点O为的中点．
在中，点O、分别为、的中点，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）由已知，平面平面，
且平面平面，
平面平面．
因此，同理．
∴，．
又∵，
∴，即．
【解析】
（1）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，当时，为线段的中点，连接交于点O，连接，，平面，平面，满足定理所需条件；
（2）根据平面与平面平行的性质定理可知，同理，根据比例关系即可求出所求．
本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的性质，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
21．【答案】解：
（1）选择条件①：
∵，
∴由正弦定理得，
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴，∵，
∴，∴；
选择条件②：
∵，
∴，
∴，∴．
∵，∴；
选择条件③：
∵A＋B＋C＝π，∴B＋C＝π－A，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，∴；
（2）在△ABC中，，在△ACD中，，
在△BCD中，∵，∴，∴，∴，
∴．
当且仅当，时等号成立，
∴2a＋b的最小值为．
【解析】
（1）选择条件①：根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式和角C的取值范围，即可求解；选择条件②：根据已知条件，结合余弦定理，以及角C的取值范围，即可求解；选择条件③：根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；
（2）由，可得，∴，进而利用均值不等式可求2a＋b的最小值．
本题考查了解三角形，重点考查了正弦定理及余弦定理，考查三角形的面积公式，属中档题．
22．【答案】解：
（1）当a＝2时，，
又∵，
∴或，
∴不等式的解集为；
（2）由题设得，
可得函数的大致图象，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
要使函数的图像与直线y＝3有3个不同的交点，
则，
所以2a－4＜3＜2a，
解得，又a≥2，
所以a的取值范围为；
（3）由（2）可知，当时，，为方程的两根，
则，即，
又在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在单调递增，，
（ⅰ）当，即时，是方程的较小根，
，
在上单调递减，则，
∴；
（ⅱ）当，即2＜a＜3时，是方程的正根，
∴，
∴，则t≤－3，
综上，t的取值范围为．
【解析】
（1）由题可得或，进而即得；
（2）根据分类讨论可得函数的解析式，然后利用数形结合即得；
（3）由题可得，分，讨论，结合条件求的取值范围即得．