2023年河南省南阳市镇平县多校联考中考数学模拟试卷（含解析）

2023年河南省南阳市镇平县多校联考中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，年北京冬奥会开幕式中国大陆观看人数约人，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，▱中，平分，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，若直线，的顶点在直线与之间，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下表记录了甲、乙、丙、丁四名八年级学生最近几次校数学竞赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加市数学竞赛，应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如果关于的一元二次方程中，是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个不等实数根的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，点，将线段作以下变换：以点为旋转中心，将的长变为两倍并逆时针旋转得到，连接；以点为旋转中心，将的长变为两倍并逆时针旋转得到，连接；依此规律得到线段，则线段的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  ______ ．

12.  不等式组的所有整数解的和为______．

13.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，是中点，将以为旋转中心逆时针旋转后，再将得到的三角形平移，使点与点重合，写出此时点的对应点的坐标：______．

14.  如图，在中，，，分别以点，，为圆心，的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留

15.  如图，正方形的边长为，点为边的中点，点是边上不与端点重合的一动点，连接将沿翻折，点的对应点为点，则线段长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
先化简再求值：，其中．

17.  本小题分
某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出名学生进行测试并对成绩百分制进行整理、描述和分析，部分信息如下：
七年级成绩频数分布直方图如图每组成绩包含最低分，不包含最高分；
七年级成绩在这一组的数据如下：

七、八年级成绩平均数、中位数如下：

根据以上信息，解答下列问题．
在这次测试中，七年级在分以上含分的有______人；
表中的值为______；
在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名______更靠前；
该校七年级学生有人，假设全部参加此次测试，请估计七年级学生成绩不低于分的人数．

18.  本小题分
如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
填空：的值为______，的值为______；
以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；
观察反比例函数的图象，当时，请直接写出自变量的取值范围．

 

19.  本小题分
改革开放年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图，点在线段上运动，，，垂足为点，的延长线交于点，经测量，，，，，．
求线段的长度；
连接，当线段时，求点和点之间的距离．
所有结果精确到参考数据：，，

 

20.  本小题分
新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售，两种型号的口罩只，共获利润元，其中，两种型号口罩所获利润之比为：已知每只型口罩的销售利润是型口罩的倍．
求每只型口罩和型口罩的销售利润；
该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？

21.  本小题分
如图，是的直径，点在上，点是上一动点，且与点分别位于直径的两侧，，过点作交的延长线于点；

当点运动到什么位置时，恰好是的切线？
若点与点关于直径对称，且，求此时的长．

22.  本小题分
如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
求抛物线的表达式；
在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为，树高为，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．

23.  本小题分
【方法尝试】
如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，、分别是它们的对角线，则与数量关系______，位置关系______；
【类比迁移】
如图，在和中，，，，，将绕点在平面内逆时针旋转，设旋转角为，连接，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连结，使得，请求线段的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法的一般形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质和角的平分线的性质．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质求解．
【解答】
解：在▱中，，
．
平分，
，
，
，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可得．
【解答】
解：、与不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项正确；
D、，此选项错误；
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：过点作，则，如图所示．
，，
，．
又，，
，
．
故选：．
过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，，结合，，即可求出的度数，进而可得出的度数
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：乙和丁的平均数较小，
从甲和丙中选择一人参加竞赛，
甲的方差较小，
选择甲竞赛，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加竞赛．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
∽，
则，即
解得或舍，

故选：．
先证明∽，再由相似三角形的性质求得，进而求得．
本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次方程有两个不等实数根，由根的判别式可得，
，，不符合题意；
，，不符合题意，
，，符合题意，
，，符合题意；
，，符合题意；
，，符合题意．
共有种等可能的结果，种符合题意，根的概率是：，
故选：．
首先根据题意计算出所有基本事件总数，然后根据题意求出一元二次方程具有两个不等实数根时所包含的基本事件数，进而计算出答案．
本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹得，，
所以≌，
所以．
故选：．
利用基本作图得到，，则根据“”可判断≌，然后根据全等三角形的性质得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，
，，，，
，
故选：．
根据题意得出，，，，利用勾股定理即可求得的长度．
本题主要考查了坐标与图形的旋转，根据题意求出旋转后的点的坐标是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：
，
故答案为：．
一个数的立方等于，即，那么这个数即为的立方根，记作，据此即可求得答案．
本题考查立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则所有整数解为，，，，之和为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解之和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转，得到，
则，
点坐标为；
当将点与点重合时，点向下平移个单位，得到，
点向下平移个单位．故点坐标为，
故答案为：．
根据题意和旋转变换的性质、平移的性质画出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和平移性质解答．
本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、平移的性质，掌握坐标与图形的变化中的旋转和平移性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于点，

，，
，
，
．
故答案为：．
根据图中阴影部分的面积的面积以的长为半径的半圆的面积，计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、等腰三角形的性质，明确阴影部分的面积的面积以的长为半径的半圆的面积是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是边长为的正方形，
，，
点为边的中点，
，
，
将沿翻折，点的对应点为点，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，由正方形的性质得，，则，根据勾股定理得，由翻折得，因为，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

，
当时，原式． 

【解析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】    甲 

【解析】解：在这次测试中，七年级在分以上含分的人数有人；
故答案为：；
七年级学生成绩的中位数分；
故答案为：；
七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数；
故答案为：甲；
人，
答：估计七年级学生成绩不低于分的人数为人．
根据频数分布直方图可得七年级在分以上含分的人数；
根据中位数的定义求解可得；
将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
用总人数乘以样本中七年级绩不低于分的人数所占比例可得．
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
 

18.【答案】解：  ，  ；
一次函数与轴相交于点，
令，解得，
点的坐标为，

如图，过点作轴，垂足为，
过点作轴，垂足为，
，，
，，，
，
在中，
，
四边形是菱形，
，，
，
轴，轴，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为．

当时，，
解得．
故当时，自变量的取值范围是或． 

【解析】

【分析】
本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，属于较难题．
把点代入一次函数，得到的值为；再把点代入反比例函数，得到的值为；
根据题意可得点的坐标为，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，根据勾股定理得到，根据可得≌，可得点的坐标；
根据图像即可得到当时，自变量的取值范围．
【解答】
解：把点代入一次函数，
可得；
把点代入反比例函数，
可得，
解得．
故答案为：，．

见答案．

见答案．  

19.【答案】解：设，
，，
，
，
，
解得：，
；
当时，
，
，
，
； 

【解析】设，由题意可知：，，根据列出方程即可求出答案．
由于，所以，利用锐角三角函数的定义即可求出的值．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

20.【答案】解：设销售型口罩只，销售型口罩只，
共获利润元，其中，两种型号口罩所获利润之比为：，
故A种型号口罩共获利润；
种型号口罩共获利润
根据题意得：，解答，
经检验，，是原方程组的解，
每只型口罩的销售利润为：元，每只型口罩的销售利润为：元．
答：每只型口罩和型口罩的销售利润分别为元，元．
根据题意得，，
，解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，

即药店购进型口罩只、型口罩只，才能使销售总利润最大，最大利润为元． 

【解析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程及一元一次不等式的应用．
设销售型口罩只，销售型口罩只，根据“药店三月份共销售，两种型号的口罩只，共获利润元，其中，两种型号口罩所获利润之比为：”列方程组解答即可；
根据题意即可得出关于的函数关系式；根据题意列不等式得出的取值范围，再结合根据一次函数的性质解答即可．
 

21.【答案】解：当点运动到直线与的交点处，即为的直径时，恰好是的切线．
如图，

是直径，
，
，
，
，
，．
点与点关于直径对称，
，
在中，，
在中，，
． 

【解析】本题主要考查切线的性质与判定、解直角三角形、轴对称的性质等，解决此题的关键是能灵活运用解三角函数求出线段的长．
根据切线的定义，直接判断即可；
根据，，求出，的长，再根据对称，利用等积法求出的长度，最后，再根据，求出的长即可．
 

22.【答案】解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
当时，，，
，
小球能飞过这棵树；
小球在飞行的过程中离斜坡的高度，
小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为． 

【解析】设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案；
把分别代入和，即可得到答案；
根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】【方法尝试】：证明：如图中，延长交于，

矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，
，，，，
≌，
，
，
，
，
故答案为：；；
【类比迁移】：解：，，
理由：如图中，延长交于点，交于点，

，
，
即，
，，，，
，
∽，
，，
，
，
，；
【拓展延伸】：解：如图中，过点作，使得，取的中点，连接，，，，

，，
，
，
即，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
的最大值为．
【方法尝试】如图中，延长交于，利用旋转的性质证明≌，可得结论；
【类比迁移】结论：，，证明∽，可得结论；
【拓展延伸】如图中，过点作，使得，取的中点，连接，证明∽，推出，可得，再求出的取值范围，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．