2023年湖南省衡阳市中考数学试卷（含解析）

2023年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入元记作元，则支出元记作(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

2.  下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  计算的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  据共青团中央年月日发布的中国共青团团内统计公报，截至年月底，全国共有共青团员万数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  对于二次根式的乘法运算，一般地，有该运算法则成立的条件是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，在四边形中，已知添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何”
设有只鸡，只兔，依题意，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和则和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

11.  我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于”，则三角形的三个内角的和大于这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于上述推理使用的证明方法是(    )

A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法

12.  已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  在平面直角坐标系中，点所在象限是第______ 象限．

14.  一个布袋中放着个红球和个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取个球，取出红球的概率是______ ．

15.  已知，则代数式的值为______ ．

16.  已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是______ ．

17.  如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，的值为______ ．

18.  如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中个正五边形的位置要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解不等式组：．

21.  本小题分
年月日是第个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动现从八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用表示，分及以上为优秀，共分成四组，：；：；：；：，并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在组中的数据为：，，
九年级抽取的学生竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ；
该校八、九年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数．

22.  本小题分
如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
求点的坐标．
分别以点、为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点求线段的长．

23.  本小题分
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的处，遥控无人机旋停在点的正上方的点处，测得教学楼的顶部处的俯角为，长为米已知目高为米．
求教学楼的高度．
若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米秒的速度继续向前匀速飞行求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．

24.  本小题分
如图，是的直径，是一条弦，是弧的中点，于点，交于点，交于点，交于点．
求证：．
若，，求的半径．

25.  本小题分
问题探究
如图，在正方形中，对角线、相交于点在线段上任取一点端点除外，连接、．

求证：；
将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
探究与的数量关系，并说明理由．
迁移探究
如图，将正方形换成菱形，且，其他条件不变试探究与的数量关系，并说明理由．

26.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线．
求的值．
将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：收入元记作元，则支出元应记作元，
故选：．
根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．
本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、，
长度为，，的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：．
根据两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项B符合题意．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．
本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：万

，
故选：．
利用科学记数法的法则解答即可．
本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有该运算法则成立的条件是，，
故选：．
根据二次根式的乘法法则，即可解答．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、因为，，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、因为，，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C、，但和不一定平行，因此不能判定四边形是平行四边形，故C符合题意；
D、因为得到，又，，因此≌，得到，能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定方法，即可判断．
本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据今有鸡免同笼，上有三十五头，可以得到，再根据下有九十四足，可以得到，然后即可得到相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

10.【答案】 

【解析】解：图表数据可知，
甲数据在至之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在至之间波动，偏离平均数数据较小；
即甲的波动性较大，即方差大，
，
故选：．
直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

11.【答案】 

【解析】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于”，则三角形的三个内角的和大于这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于，这种证明方法是反证法，
故选：．
根据反证法证明命题的方法判断．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标，
关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标，
如图：

由图可知，，
故选：．
画出抛物线，直线，直线，根据一元二次方程与二次函数的关系的关系，观察图象可得答案．
本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
 

13.【答案】三 

【解析】解：点在第三象限，
故答案为：三．
根据第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，可得答案．
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
 

14.【答案】 

【解析】解：一个布袋中放着个红球和个黑球，
从布袋中任取个球，取出红球的概率是，
故答案为：．
根据一个布袋中放着个红球和个黑球，可以计算出从布袋中任取个球，取出红球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式


，
当时，原式，
故答案为：．
根据分式的减法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个解为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为．
故答案为：．
设方程的另一个解为，则利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

17.【答案】 

【解析】解：设与所在的直线相切，切点为点，连接，
是的半径，与相切于点，
，
，，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
设与所在的直线相切，切点为点，连接，根据切线的性质得，再由勾股定理求得，则，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：多边形是正五边形，
正五边形的每一个内角为：，
，
正五边形的个数是．
故答案为：．
先求出多边形的每一个内角为，可得到，即可求解．
本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，即，
九年级的竞赛成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，即，
故答案为：，；
人，
答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数约人．
根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；
利用样本估计总体即可．
本题考查了方差、平均数、中位数、众数的意义和计算方法，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的前提．
 

22.【答案】解：解方程组，
得，
点的坐标为；
设点的坐标为．
由题意可知，是的垂直平分线，
，
，
，
，． 

【解析】将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点的坐标；
设点的坐标为根据线段垂直平分线的性质得出，依此列出方程，解方程即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

23.【答案】解：过点作于点，则，
在中，米，，
米，
米．
答：教学楼的高度为米；
延长交于点，则，

在中，米，米，
，
，
，
，
在中，米，
米，
秒，
经过秒时，无人机刚好离开了小明的视线． 

【解析】过点作于点，则，在中，通过解直角三角形可得出的长度，再结合，即可求出结论；
延长交于点，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】证明：是弧的中点，
，
，且是的直径，
，
，
，
．
解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】由是弧的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出，即可证明出结论．
证明出，得出，设，根据勾股定理求出，再求出直径即可．
本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
≌，
；
解：的大小不发生变化，；
理由：作，，垂足分别为点、，如图，

四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，，

，，
≌，
，

，即；
解：；
理由：作交于点，作于点，如图，

四边形是正方形，
，，
，四边形是矩形，
，，
，
，，
，
作于点，
则，，
，
，，
，
；
解：；
理由：四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，垂直平分，
，，
，
，
作交于点，交于点，如图，

则四边形是平行四边形，，，
，，都是等边三角形，
，
作于点，则，，
，
． 

【解析】根据正方形的性质证明≌，即可得到结论；
作，，垂足分别为点、，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明≌，得出，进而可得结论；
作交于点，作于点，如图，证明，即可得出结论；．
先证明，作交于点，交于点，如图，则四边形是平行四边形，可得，，都是等边三角形，进一步即可证得结论．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于点，
，
．
存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．
，
当时，，
，
当时，，
解得：，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，
直线的解析式为，
设，
过点作轴，交于点，作于点，设直线交轴于点，如图，

，
，
，，
，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为
存在．
当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点，如图，

，，，，
，，，
≌，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：舍去，，
；
当在的上方时，作点关于直线的对称点，如图，连接，，直线交抛物线于，

由对称得：，，，
，
，
则直线的解析式为，
联立，得：，
解得：舍去，，
；
综上所述，抛物线上存在点，使，点的坐标为或． 

【解析】将点代入，即可求得；
利用待定系数法可得直线的解析式为，由平移可得直线的解析式为，设，过点作轴，交于点，作于点，设直线交轴于点，则，可得，再证得是等腰直角三角形，可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
分两种情况：当在的下方时，当在的上方时，分别求得直线的解析式，联立方程组求解即可求得点的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，直线的平移，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，第问要注意分类讨论，防止漏解．