【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）

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【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (共8题；共40分)
1．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 A={−1，1，2，4}，B={x||x−1|≤1} ，则 A∩B= （　　）
A．{−1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{−1，4}
2．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）(2+2i)(1−2i)= （　　）
A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i
3．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图， DD1，CC1，BB1，AA1 是举， OD1，DC1，CB1，BA1 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3 ，若 k1，k2，k3 是公差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k3= （　　）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知 a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb ，若 = ，则 t= （　　）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
5．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
6．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若 sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ ，则（　　）
A．tan(α+β)=−1 B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1 D．tan(α−β)=1
7．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱台高为1，上下底边长分别为 33 和 43 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（　　）
A．100π B．128π C．144π D．192π
8．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若函数 f(x) 的定义域为R，且 f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=1 ，则 k=122f(k)= （　　）
A．-3 B．-2 C．0 D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 (共4题；共20分)
9．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）函数 f(x)=sin(2x+φ)(04|OF| D．∠OAM+∠OBM0，b>0) 的右焦点为 F(2，0) ，渐近线方程为 y=±3x ．
（1）（6分）求C的方程；
（2）（6分）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2) 在C上，且 x1>x2>0，y1>0 ．过P且斜率为 −3 的直线与过Q且斜率为 3 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 AB 上；②PQ∥AB ；③|MA|=|MB| ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
22．（12分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数 f(x)=xeax−ex ．
（1）（4分）当 a=1 时，讨论 f(x) 的单调性；
（2）（4分）当 x>0 时， f(x)ln(n+1) ．

答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 B={x|0≤x≤2} ，故 A∩B={1，2} .
故答案为：B
【分析】先求出集合B，再根据交集的概念求 A∩B 即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 (2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i ，
故答案为：D
【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.
3．【答案】D
【知识点】等差数列
【解析】【解答】设 OD1=DC1=CB1=BA1=1 ，则 CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3 ，
根据题意，有 k3−0.2=k1，k3−0.1=k2 ，且 DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725 ，
所以 0.5+3k3−0.34=0.725 ，故 k3=0.9 .
故答案为：D
【分析】设 OD1=DC1=CB1=BA1=1 ，可得关于 k3 的方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知条件可得 c=(3+t，4) ， cos=cos ，即 9+3t+165|c|=3+t|c| ，解得 t=5 ，
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.
5．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 3! 种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 3!×2×2=24 种不同的排列方式.
故答案为：B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得： sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ ，
即： sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0 ，
即： sin(α−β)+cos(α−β)=0 ，
所以 tan(α−β)=−1 ，
故答案为：C
【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
7．【答案】A
【知识点】棱台的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 r1，r2 ，所以 2r1=33sin60∘，2r2=43sin60∘ ，即 r1=3，r2=4 ，设球心到上下底面的距离分别为 d1，d2 ，球的半径为 R ，所以 d1=R2−9 ， d2=R2−16 ，故 |d1−d2|=1 或 d1+d2=1 ，即 |R2−9−R2−16|=1 或 R2−9+R2−16=1 ，解得 R2=25 ，所以球的表面积为 S=4πR2=100π ．
故答案为：A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 r1，r2 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积．
8．【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为 f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y) ，令 x=1，y=0 可得， 2f(1)=f(1)f(0) ，所以 f(0)=2 ，令 x=0 可得， f(y)+f(−y)=2f(y) ，即 f(y)=f(−y) ，所以函数 f(x) 为偶函数，令 y=1 得， f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1)=f(x) ，即有 f(x+2)+f(x)=f(x+1) ，从而可知 f(x+2)=−f(x−1) ， f(x−1)=−f(x−4) ，故 f(x+2)=f(x−4) ，即 f(x)=f(x+6) ，所以函数 f(x) 一个周期为6．
因为 f(2)=f(1)−f(0)=1−2=−1 ， f(3)=f(2)−f(1)=−1−1=−2 ， f(4)=f(−2)=f(2)=−1 ， f(5)=f(−1)=f(1)=1 ， f(6)=f(0)=2 ，所以
一个周期内的 f(1)+f(2)+⋯+f(6)=0 ．由于22除以6余4，
所以 k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1−1−2−1=−3 ．
故答案为：A
【分析】根据题意赋值即可知函数 f(x) 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 f(1)，f(2)，⋯，f(6) 的值，即可求解．
9．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】由题意得： f(2π3)=sin(4π3+φ)=0 ，所以 4π3+φ=kπ ， k∈Z ，
即 φ=−4π3+kπ，k∈Z ，
又 00⇒g′(x)>0⇒g(x) 单调递增 ⇒g(x0)>g(0)=0 ，矛盾
②若 ℎ′(0)=2a−1≤0 ，即 a≤12 时， g′(x)=eax+axeax−ex=eax+ln(1+ax)−ex≤e12x+ln(1+12x)−ex≤e12x+12x−ex=0
⇒g(x) 在 [0，+∞) 上单调递减， g(x)≤g(0)=0 ，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围足 a≤12 .
（3）证明：取 a=12 ，则 ∀x>0 ，总有 xe12x−ex+11，t2=ex，x=2lnt ，
故 2tlnt