2.5-二次函数的解析式-2023年升初三人教版暑假衔接教材

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❊2.5 二次函数的解析式
考点先知

知 识
考 点
二次函数的解析式
1.一般式
2.顶点式
3.交点式

题型精析

知识点 二次函数的解析式


解析式
使用情况
一般式

已知函数所过的三个点
顶点式

已知顶点坐标或对称轴及最值
交点式

已知函数与x轴的两个交点
题型一 求二次函数解析式（1）

例1

已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（0，-3）和C（3，12）．求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标.
【分析】设一般式为y＝ax2+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到a、b、c的方程组，再解方程组即可；
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，
得0=a-b+c-3=c12=9a+3b+c，解得：a=2b=-1c=-3，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3，
∵y＝2x2﹣x﹣3=2(x-14)2-258，
∴顶点D的坐标为（14，-258）；

例2

一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y=4x2+3x-5
B．y=2x2+x+5
C．y=2x2-x+5
D．y=2x2+x-5
【答案】A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
变1
已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析
式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．
【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得
a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7，
解得a=2b=-3c=5．
则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5；
由y＝2x2﹣3x+5＝2（x-34）2+318可知，抛物线对称轴为直线x=34，顶点坐标为（34，318）．

变2
已知二次函数的图象经过和两点，与轴交于，求此二次函数的解析式．
【分析】利用待定系数法即可求解．
【解答】解：二次函数解析式为，
二次函数的图象经过和两点，与轴交于，
，
解得，
二次函数的解析式为．
题型二 求二次函数解析式（2）

例1

若二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是_________．
【答案】
【详解】解：设二次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为，
故答案为：．
变1
已知二次函数当x=1时有最大值是-6，其图象经过点（2，-8），求二次函数的解析式．
【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．
【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6，
把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，
解得a＝﹣2．
所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．

例2

抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
⋯
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
3
0
-1
0
3
⋯
则抛物线的解析式是_________．
【答案】
【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：

将代入到，得：
∴
∴
故答案为：．
例3

已知二次函数中的x和y满足下表：






0
1
2




0
3
4
3



（1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及的值；
（2）求该二次函数的表达式．
【分析】（1）由于，；，，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定的值；
（2）设顶点式，然后把代入求出的值，从而得到抛物线解析式．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
和所对应的函数值相等，
；
（2）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
该二次函数的解析式为，
即．
变2
小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：


0
1
2
3
4
5



5
0



0

该二次函数的解析式是_________．
【分析】根据待定系数法即可求得．
【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为，
设二次函数的表达式为，
将代入得，
解得，
该二次函数的表达式为（或．
变3
二次函数中的x、y满足下表：
x
⋯
-1
0
1
2
3
⋯

⋯
0
-3
-4
-3
m
⋯
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据二次函数的对称性即可求解．
（1）
解：根据表格可知对称轴为直线，且时，即顶点为，
设解析式为，当时，，
即，
解得，
∴这个二次函数的解析式为：，
即
（2）
解：∵对称轴为直线，
∴当与时的函数值相等，
∴
题型三 求二次函数解析式（3）

例1

在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，求抛物线的解析式和顶点E坐标．
【答案】；E（3，-）
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，然后把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，
∴可设抛物线解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点E的坐标为（3，-）．
变1
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是_________．
【答案】y=x2-4x+3
【分析】把点A、B、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b、c的值，即可得解．
【详解】解：将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入函数解析式得，
，
解得：，
所以二次函数的解析式为y=x2-4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3．
变2
抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
【分析】抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A、B两点坐标设出抛物线解析式为，代入C点坐标即可求解．
【详解】设抛物线的解析式为
∵
∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2）
①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得
解得
∴抛物线解析式为，即
②当抛物线和y轴交点的为（0，-2）时，
解得
∴抛物线解析式为，即
故选D．
例2

在平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表，求这个二次函数的表达式．



0
1
2




0
1
0

【分析】利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出即可．
【解答】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，得，
故抛物线解析式为，即；
例3

如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A，两点，则该抛物线的解析式是_________．

【答案】
【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为，根据，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
【详解】当时，，∴，
∴，
∴，，
∴，，
将，代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式是．
变3
小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：


0
1
2
3
4
5



5
0



0

该二次函数的解析式是_________．
【分析】根据待定系数法即可求得．
【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为，
设二次函数的表达式为，
将代入得，
解得，
该二次函数的表达式为（或．
变4
如图是二次函数的图像，该函数的最小值是_________．

【答案】
【分析】先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值，再将点代入可求出的值，然后求出时，的值即可得．
【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点，
则，，
解得，
将代入得：，解得，
则二次函数的解析式为，
当时，，
即该函数的最小值是，
故答案为：．


课后强化

1.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F
B．E，G
C．E，H
D．F，G
【答案】C
【分析】由抛物线经过，两点，根据抛物线的对称性得到对称轴为，由此得出点为抛物线的顶点，故可设抛物线解析式为，然后代入任何一点即可得出答案．
【详解】抛物线经过F（2，2），G（4，2）两点，
抛物线对称轴为，
为抛物线的顶点，故设抛物线解析式为，
代入点得：，解得，
抛物线解析式为
故选：C．
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．求抛物线的表达式．
【分析】根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．
【解答】解：由题意得，，，．
，．
这个抛物线的表达式为．
3.求分别满足下列条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图像经过三点．
（2）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设二次函数的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设二次函数的解析式为，将点代入求得的值即可求解．
（1）
解：设二次函数的解析式为，将代入得，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）
设二次函数的解析式为，将点代入得，
，
解得，
二次函数的解析式为．
4.已知二次函数经过，，三点．求二次函数的解析式．
【分析】利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式；
【解答】解：将，，代入得：，
解得：，
二次函数的解析式为；
5.二次函数的图象顶点坐标为，且过．求该二次函数解析式．
【分析】由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解；
【解答】解：由抛物线顶点式表达式得：，
时，，解得：，
故抛物线的表达式为：；
6.一个二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是_________．
【分析】根据二次函数性质形状及开口方向相同即的值一样，设出解析式，根据顶点为，即可得到答案．
【解答】解：二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，
，
设二次函数的解析式为，
顶点为，
，，
这个函数的解析式是，
故答案为：．
7.若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：∵抛物线顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），
∴设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，
把B点的坐标代入得：0=a（1-2）2+1，
解得：a=-1，
即抛物线的函数关系式是y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3．
故选：B．
8.二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
-2
…
A．抛物线开口向上
B．当时，随的增大而减小
C．当时，
D．的最大值为
【答案】C
【详解】解：将点，，代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意；
∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
∵当时，；当时，，
又∵抛物线的对称轴为，
当时，，
又∵，
∴当时，，
∴C选项符合题意；
∵抛物线的解析式为，
∴当时，抛物线取得最大值，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
9.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4
B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4
D．y=2x2+3x-4
【答案】D
【详解】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选D
10.如果抛物线的对称轴是x=-3，且开口方向与形状与抛物线y=-2 x2相同，又过原点，那么a=_______，b=_______，c=_______．
【答案】     -2     -12     0
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同，
∴a=-2，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-3，
∴-=-3，即-=-3，解得b=-12；
∵抛物线过原点，
∴c=0．
故答案为：-2，-12；0．
11.一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：





0
1
2

4



15

3
0

0
3
8

（1）这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______；
（2）的值是_______，的值是_______；
（3）这个二次函数的解析式为_________．
【分析】（1）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解；
（2）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解；
（3）待定系数法求解析式即可求解．
【解答】解：（1）根据二次函数图象的对称性，可知，当时与时，函数值相等，
对称轴为直线，
当时，，
即顶点坐标为，
故答案为：，；
（2）对称轴为直线，
时，或，
，
解得：，
当与时，函数值相等，
，
故答案为：8，3；
（3）顶点坐标为，
设该二次函数解析式为，
将，代入得，
解得：，
二次函数解析式为：，
故答案为：．
12.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC=5，求该二次函数的解析式．
【解题思路】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式．
【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），
∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC＝5，
∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a=34，
所以此时抛物线的解析式为y=34（x﹣1）（x﹣4）=34x2-154x+3；
当C点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a=-34，
所以此时抛物线的解析式为y=-34（x﹣1）（x﹣4）=-34x2+154x﹣3，
所以该二次函数的解析式为y=34x2-154x+3或y=-34x2+154x﹣3．
13.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半
轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．

【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得．
【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0）
∴AO＝1，OB＝4，
AB＝AO+OB＝1+4＝5，
∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数图象过A，C，B三点，
∴a-b+c=016a+4b+c=0c=5，
解得a=-54b=154c=5，
∴二次函数的表达式为y=-54x2+154x+5．