2.9-二次函数的实际应用-2023年升初三人教版暑假衔接教材

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❊2.9 二次函数的实际应用
考点先知

知 识
考 点
二次函数的实际应用
1.销售问题
2.面积问题
3.拱桥问题
4.投掷问题
题型精析

知识点一 销售问题

销售问题

1.利润计算公式：利润=______×______；
2.二次函数最值的两种计算方法：________法和________法.
题型一 销售问题

例1

2022年，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索．这一年，神舟十四号载人飞船成功发射．某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十四号”飞船模型．每个模型的进价是80元，原计划按每个120元销售，每月能售出30个，经调查发现，这种模型每个降价1元，则每月销售量将增加2个．（降价为整元）
（1）直接写出每月销售量y（个）与每个降价x（元）的函数关系式；
（2）设专卖店销售这种模型每月可获利w元，当每个降价多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝30+2x
(2)每个降价12或13元时，每月获得的利润最大，最大利润是1512元

【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．
【详解】（1）根据题意得：；
（2）设每个降价元，
根据题意得，，
当每个降价12或13元时，每月获得的利润最大，最大利润是1512元．

变1
某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件．
（1）将售价定为多少元的时候，使每天利润为700元吗？
（2）当售价定为元时，这天所获利润为，请写出与的关系式；
（3）根据（2）问中的关系式，这天所获利润能达到750元吗？请说明理由．
【答案】(1)把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元；
(2)；
(3)这天所获利润不能达到750元，理由见解析．

【分析】（1）如果设每件商品提高元，用表示出单件的利润以及每天的销售量，然后根据总利润单价利润销售量列出关于的方程，进而求出未知数的值．
（2）首先设应将售价提为元时，才能使得所赚的利润最大为元，根据题意可得：；
（3）将代入（2）中关系式得出一元二次方程，并判断此方程是否有此，即可求得答案．
【详解】（1）设每件商品提高元，
则每件利润为元，
每天销售量为件，
依题意，得：．
整理得：．
解得：，．
把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元；
（2）设利润为
则
；
（3）将代入二次函数得：
，
整理得：，
∵，
∴此方程无解，
∴这天所获利润不能达到750元．
例2

国庆假期期间，某酒店有20个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（）．
（1）每天有游客居住的房间数为________（用含有x的式子表示）；
（2）当每间房价为多少时，酒店当天的利润为1870元，且总支出最少？
（3）当每间房价定为多少元，酒店的利润W（元）最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)这天每间房的定价是190元
(3)当每间房价定为160元，宾馆的利润W最大为1960元

【分析】根据题意列方程即可求解；
根据利润=房间个数×每个房间的利润，即可求解；
根据第（2）问的式子化简求出最大值
【详解】（1）解：根据题意知，每间房间定价x元时，每天有游客居住的房间数为；
故答案为：；
（2）解：∵该天利润为1870元，
∴，
解得：或，
要使总支出最少，游客居住的房间数要最少，即最小，
∵，的值随的增大而减小，
∴时，的值最小，
答：这天每间房的定价是190元；
（3）解：根据题意得： ，
∵，
∴当时，W取最大值，最大值为1960元；
答：当每间房价定为160元，宾馆的利润W最大为1960元．
例3

某公司推出一款手机，每部手机的成本价为2500元，经试销发现，这款手机的日销售量（部）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，与的几组对应值如下表：
销售单价元
2700
2900
3200
3300
日销售量部
80
60
30

（1）求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）．
（2）请根据以上信息填空：
①表格中，m=______；
②当______时，日销售利润（元）最大，最大利润是______元．
（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠1000元给希望工程，为了保证捐赠后每天剩余的利润不低于20000元，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①20；②3000，25000
(3)
【分析】（1）设一次函数解析式，根据待定系数法，求出一次函数解析式，即可解答；
（2）①将值代入一次函数解析式，即可解答；②根据题意，根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），可得与x的关系式，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）根据题意，列出不等式，再根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
将，分别代入，
得，解得
故．
（2）①当时，；
②根据题意，可得，
当时，W取最大值，最大值为25000；
（3）解：由题意得：，
当令，得，
解得或3200．
函数的图象开口向下，
故当捐赠后每天剩余的利润不低于20000元时，的取值范围为．
变2
“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店销售一款秋季时装，每件成本为元，当售价为元时，每天可销售件，为了吸引更多消费者，该网店决定采取降价措施，调整价格时也要兼顾顾客的利益，根据市场调查发现：销售的数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价元
118
    110
    108
销售数量件
     24
     40
     44
（1）请求出与的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，若该网店每天获得元的利润？
（3）当销售价格为多少元时，该网店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价是元时，该网店每天获得元的利润
(3)当销售价格为元时，该网店每天可获得最大利润，最大利润是元

【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）利用一元二次方程求解即可；
（3）运用二次函数求出最大利润．
【详解】（1）设与的函数关系式为，
则，
解得，
与的函数关系式为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得，，
要兼顾顾客的利益，
，
答：当销售单价是元时，该网店每天获得元的利润；
（3）设每日利润为元，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：当销售价格为元时，该网店每天可获得最大利润，最大利润是元．
变3
为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?
（2）设获得的销售利润（不含政府补贴）为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?
（3）若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，求该月销售单价的最小值．
【答案】(1)8400元
(2)200元
(3)140元

【分析】（1）把代入，求出销售的件数，从而得到政府补贴金额；
（2）根据总利润=数量×单件利润列出函数关系式，再利用二次函数的最值求解；
（3）每月获得的总收益为，列出函数关系式，再令，求出x值，结合函数的性质得到最小值．
【详解】（1）解：在中，令，则，
∴政府这个月补贴元；
（2）由题意可得：，
∵，
∴当时，w有最大值30000．
即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．
（3）设每月获得的总收益为，
由题意可得：，
令，则，
解得：或，
∵，则抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴该月销售单价的最小值为140元．
知识点二 面积问题

面积问题

第一步：利用面积公式表示出图形的面积；
第二步：利用二次函数求最值的方法求出面积的最值.
题型二 面积问题

例1

如图，一农户要建一个矩形“坤”舍，为了节省材料“坤”舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，“坤”舍面积为S平方米．

（1）求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当为多少时，“坤”舍的面积为90平方米？
（3）若住房墙的长度足够长，问“坤”舍面积能否达到100平方米？
【答案】(1)；x的取值范围为
(2)当为9米时，鸡舍的面积为90平方米
(3)鸡舍面积不能达到100平方米，理由见解析

【分析】（1）设米时，则米，然后根据矩形面积公式即可求出函数表达式；再根据生活实际确定x的取值范围即可；
（2）根据题意得：求得x的值，然后代入验证即可；
（3）根据题意得，然后根据用一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【详解】（1）解：设米时，则米，鸡舍面积为S平方米，
根据题意得，；
∵，
∴，
∴x的取值范围为．
（2）解：根据题意得：，解得，
当时，（不合题意舍去），
当时，．
答：当为9米时，鸡舍的面积为90平方米．
（3）解：根据题意得：，整理得，，
∵，
∴方程没有实数根，
∴鸡舍面积不能达到100平方米．
例2

如图，学校准备在长为16米，宽为12米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形AEFG和正方形CHMN面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形MOFP是这两个正方形的重叠部分，设PM为米，PF为米．
  
（1）求关于的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围）
（2）设甲、乙、丙的总面积为（），求关于的函数表达式及其最大值．
【答案】(1)
(2)关于的函数表达式为；最大值为56

【分析】（1）由于正方形和正方形面积相等，可得出两个正方形的边长相等，根据题意可得，，代入即可得到关于的函数表达式．
（2）由（1）可知的面积，又因为，即可得到，再根据二次函数的性质，为开口向上的抛物线，在离对称轴远的点的位置取最大值，可判断出在当时，取最大值，从而可计算出最大面积．
【详解】（1）解：由题可知， ，，
∴，即，
∴．
（2）解：∵正方形和正方形的面积相等，
∴，
∴，
∴，
又，
∴


整理得关于的函数表达式为；
由，
∵，
故：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
又，
∴当时，取最大值，，
即最大值为56．
变1
如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖“坤”棚，墙长为25m．

（1）如果这个矩形“坤”棚与墙平行的一边长为am，求“坤”棚与墙垂直的一边的长（用含a的式子表示）
（2）设“坤”棚与墙垂直的一边的长为xm，求这个矩形“坤”棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围
（3）试探索，这个矩形“坤”棚的面积S能否等于，若可以，求出此时的长，若不行，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)这个矩形鸡棚的面积S不能等于

【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意可知，然后根据矩形面积可进行求解；
（3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
化简得，
∵，
∴该方程无实数解，
即这个矩形鸡棚的面积S不能等于．
变2
2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为米．

（1）矩形ABCD的另一边BC长为________米（用含的代数式表示）；
（2）若矩形ABCD的面积为63m2？，求的值；
（3）当为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
【答案】(1)
(2)
(3)当为米时，矩形的面积最大，最大面积为平方米

【分析】（1）根据木栏总长米，两处各留米宽的门，设矩形的一边长为米，即得长；
（2）根据题意得：，即可解得的值；
（3），由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵木栏总长米，两处各留米宽的门，设矩形的一边长为米，
∴长为：（米）．
故答案为：．
（2）根据题意得：，
解得：，，
∵当时，，
当时，，
∴不符合题意，舍去，
∴的值为．
（3）设矩形的面积为，
则，
∵，
∴时，的值最大，最大值为，
∴当为米时，矩形的面积最大，最大面积为平方米．
知识点三 拱桥问题

面积问题

第一步：建系；
第二步：根据已知条件求出“拱桥”的解析式；
第三步：求解.
题型三 拱桥问题

例1

如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m；如果水面下降4m，则水面宽度增加（　　）

A．4m
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，米，抛物线顶点C坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
将A点坐标代入抛物线解析式可得出：，
所以抛物线解析式为，
当水面下降4米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了，
故选：D．
例2

廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是（ ）

A．米
B．10米
C．米
D．米
【答案】A
【分析】已知抛物线上距水面高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求长．
【详解】解：由于两盏警示灯E、F距离水面都是8米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即，
解得，．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：米．
故选：A
变1
某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ）

A．13米
B．14米
C．15米
D．16米
【答案】C
【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，

设抛物线表达式为，
由题意可知，B的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，．
答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米，
故选：C．
变2
如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ）

A．5m
B．m
C．10m
D．m
【答案】C
【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得，M点坐标为，A点坐标为，B点坐标为，
设中间大抛物线的函数式为
代入三点的坐标可得：
解得：
∴函数式为
∴令米，
代入解析式得，，
∴可得米．
故选：C．
例3

如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为，水面宽．

（1）请你建立合适的平面直角坐标系，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式．
（2）已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为，若这艘船的宽度为，当水位线比正常水位线高出时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为（答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）
(2)这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过，理由见解析

【分析】（1）根据拱桥的实际问题建立直角坐标系，再根据建立直角坐标系得到抛物线的解析式即可解答；
（2）根据题意得到船的最高点的纵坐标为，再根据抛物线的解析式为得到，进而得到这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为即可解答．
【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如解图所示．

观察图象，可知该抛物线的顶点为，点．
∴可设该抛物线的解析式为．
将点代入中，得，
解得．
∴该抛物线的解析式为；
（答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）；
（2）解：能，理由如下：
当水位线比正常水位线高出时，此时船的最高点的纵坐标为．
将代入中，
解得，
∴此时与这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为（）．
∵，
∴这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过．
例4

如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面6m（即），小孔顶点距水面（即，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽4m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度．
【答案】(1)
(2)能安全通过大孔，理由见解析
(3)

【分析】（1）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；
（2）求出时的值，与作比较即可；
（3）求出点、坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：设大孔抛物线的解析式为，
把点代入解析式得：，
解得：，
∴大孔抛物线的解析式为．
（2）∵大孔抛物线的解析式为，
当时，，
∴该巡逻船能安全通过大孔；
（3）∵，
∴点的纵坐标为，
∴当时，得，
解得：，，
∴由抛物线对称性可知点为，点为，
∴．
答：大孔的水面宽度为．
变3
河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6m时，水面离桥拱顶部3m．

（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；
（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4m．现因暴雨河水水位上升了1m，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．

【解题思路】（1）根据题意可以知道A、B的坐标，在利用点C得坐标从而求出抛物线的解析式．
（2）代入x＝2求出y的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小从而得出答案．
【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3）．
y＝a（x+3）（x﹣3）．
在将点C（0，3）带入y＝a（x+3）（x﹣3）中的得a=-13，
所以抛物线的解析式为y=-13x2+3，
（2）小船可以通过，
理由：当x＝2时，y=-13×22+3=53，
∵53-1=23＞0.5，
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．
变4
有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．
（3）隧道内设双向单车道（中间有一条隔离带，隔离带宽度忽略不计），一辆满载后车身宽2.5m，高2.8m的卡车能否安全通过？
【答案】(1)
(2)灯与点的距离为
(3)车身宽2.5m，高2.8m的卡车能安全通过

【分析】（1）设这条抛物线所对应的函数关系式为，根据题意易得，然后带一个点进行求解即可；
（2）由题意易得点P的纵坐标为，然后代入（1）中函数解析式即可求解点P的坐标，进而问题可求解；
（3）由题意可把当时代入函数解析式进行求解，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设这条抛物线所对应的函数关系式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴这条抛物线所对应的函数关系式为；
（2）解：由题意得点P的纵坐标为，
∴，
解得：，
∴点，
过点P作于点Q，连接，如图所示：

∴，
∴；
所以照明灯与点的距离为．
（3）解：由题意可把当代入函数解析式得：，
∵，
∴车身宽2.5m，高2.8m的卡车能安全通过．
知识点四 投掷问题

投掷问题

第一步：建系；
第二步：根据已知条件求出“抛物线”的解析式；
第三步：求解.
题型四 投掷问题

例1

在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　）

A．14米
B．12米
C．11米
D．10米
【答案】B
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，则，
解得（舍去）或．
故选：B．
例2

太原某中学利用学校的体育场地设施和设备，充分调动全体师生的积极性，广泛开展各项体育活动，努力提高学生的身体素质，如图①是小杰在铅球比赛中的一次掷球，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米，如图②，以水平线为x轴，小杰所站位置的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，则他掷铅球的运动路线的函数表达式为（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意设抛物线解析式为，再把点坐标代入解析式求出即可．
【详解】解：根据题意，得，
设抛物线解析式为，
将点代入解析式得：，
解得，
∴小杰掷铅球的运动路线的函数解析式为．
故选：A．
变1
小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小强此次成绩为（ ）
A．8米
B．9米
C．10米
D．12米
【答案】B
【分析】根据题意可知实心球落地时，即求的解即可．
【详解】解：当时，，即．
解得：（舍），．
∴小明此次成绩时9米．
故选：B．
变2
2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（ ）

A．1米
B．3米
C．5米
D．米
【答案】C
【分析】令求得x的值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，（舍去），
∴球落地点A到O点的距离是5米．
故选：C．
变3
如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位：m)与飞行时间(单位：)之间具有函数关系．下列叙述正确的是（ ）

A．小球的飞行高度只有在时达到
B．小球的飞行高度可以达到
C．小球从飞出到落地要用时
D．小球飞出时的飞行高度为
【答案】D
【分析】直接利用以及结合配方法求出二次函数最值,根据二次函数的性质分别分析得出答案．
【详解】A、当时，，
解得：，
故小球的飞行高度在或时能达到15m，故此选项错误；
B、，
故时，小球的飞行高度最大为：，故此选项错误；
C、∵时，，
解得：，
∴小球从飞出到落地要用时，故此选项错误；
D、当时，，
故小球飞出时的飞行高度为，故此选项正确；
故选：D．
例3

足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米，已知球门的高度为2.44米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在没有对方球员和守门员阻挡的前提下，球是否会进球门?如果葡萄牙的球员C罗站在起脚吊射球员正前方3.2米处，而C罗跳起后能达到2.9米，那么他能否在空中截住这次吊射?
【答案】(1)
(2)球会进球门，C罗能在空中截住这次吊射

【分析】（1）由题意得，足球到点O距离米时，足球达到了最大高度8米，设抛物线为，把代入求解即可；
（2）根据题意将和代入进行求解判断即可．
【详解】（1）由题意得，足球到点O距离米时，足球达到了最大高度8米，
设抛物线为，
把代入解析式得，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2）根据题意得，将代入得，
∴球会进球门，
将代入得，
∵C罗跳起后最高能达到米，
∴C罗能在空中截住这次吊射．
例4

小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．

（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．
（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．
【答案】(1)
(2)小明此次试投的成绩能达到满分，理由见解析

【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为，设抛物线解析式为，利用待定系数法代入求解即可；
（2）令，即，解方程求解即可得出结论．
【详解】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为，
设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点A，
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）令，即，
解得或（舍去），
，
，
所以，小明此次试投的成绩能达到满分．
变4
如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．

（1）当时，求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求的取值范围．
【答案】(1)y与x的关系式为：
(2)当时，球能越过球网；当时，球不会出界，理由见解析
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：

【分析】（1）将点A的坐标和h的值代入二次函数解析式中即可解答；
（2）分别将x=9、x=18代入二次函数解析式中，求出y的值，然后比较大小即可得出结论；
（3）先将点A的坐标代入解析式中，用含h的式子表示出a，根据题意可知：当x=9时，y＞；当x=18时，y≤0，列出不等式组即可求出结论．
【详解】（1）解：由图象可知：点A的坐标为
将点和代入解析式中，得
,解得：
∴与的关系式为．
（2）解：球能越过球网，球不会出界，理由如下
将代入中，得
，
∴球能越过球网；
将代入中，得
，
∴该抛物线与x轴的右交点必在（18，0）的左侧，
∴球不会出界，
综上：球能越过球网，球不会出界．
（3）解：将点代入解析式中，得：
解得：
∴抛物线的解析式为
若球一定能越过球网，则当时， ；
∴，解得：
若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合，即当时，；
∴，解得
综上：若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为．
变5
一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点到地面的距离为（即，当球运行至处时，水平距离为（即到的距离为），达到最大高度为，已知篮圈中心到地面的距离为．篮球架可以在直线上水平移动．

（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）若篮球架离人的水平距离为，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由：若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．
【答案】(1)见解析，
(2)不能，应朝方向移动，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈

【分析】（1）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意得点的坐标，利用二次函数的顶点式代入计算即可；
（2）将代入函数解析式求出投入篮圈时的长，与实际距离对比即可．
【详解】（1）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

则，
由题意得点为二次函数顶点，
设
将代入，得
解得：，
故该抛物线的解析式为；
（2）当时，
解得（舍去），
∵，
∴该运动员不能将篮球投入篮圈，
，
应朝方向移动，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．








课后强化

1.我市某文具厂生产一种签字笔．已知这种笔的生产成本为每支6元．经市场调研发现，批发这种签字笔每天的销售量y（支）与售价x（元支）之间存在着如下表所示的一次函数关系：
售价x（元支）

7
8

销售量y（支）

300
240

（1）求销售量y（支）与售价x（元支）之间的函数关系式．
（2）求销售利润W（元）与售价x（元支）之间的函数关系式．
（3）当每支签字笔以多少元出售时，才能使每天所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)每支签字笔以9元出售时，才能使每天所获得的利润最大，最大利润是元

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润（售价成本）销售量进行求解即可；
（3）根据（2）所求，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设销售量（支）与售价（元支）之间的函数关系式为，
把、代入得：，
解得，
∴销售量（支）与售价（元支）之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得，

；
（3）解：由（2）得，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴每支签字笔以9元出售时，才能使每天所获得的利润最大，最大利润是元．
2.某商场销售一种成本为元/kg的商品，市场调研反映：在某个月的第x天（）的销售价格为（）元/kg，日销售量y（kg）与x的函数关系如图所示．

（1）求y与x的函数解析式；
（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？
（3）结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？
【答案】(1)与的函数解析式为；
(2)销售该商品第天时，日销售利润最大
(3)当月有天的日销售利润大于元

【分析】（1）待定系数求一次函数解析式即可求解；
（2）设日销售利润为，根据题意得，，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意，解不等式，根据二次函数图象的性质求得的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：设与的函数解析式为，
将点代入解析式，得，
，
解得：，
∴与的函数解析式为；
（2）解：设日销售利润为，根据题意得，



∵，
当时，取得最大值，
即销售该商品第天时，日销售利润最大；
（3）解：当时，，
解得：，
∵，抛物线开口向上，
∴当时，或，
∵，
∴，
答：当月有天的日销售利润大于元．
3.为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．若设售价为x（）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：
（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y=________（含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；
（2）当售价x定为______元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为______元；
（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？
【答案】(1)；
(2)115；12250
(3)元/件

【分析】（1）根据“当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．”即可得出每天的销售量与每件售价x（元）之间的函数关系式；根据利润＝每件的利润×销售量列出函数解析式；.
（2）把（1）中Q关于x的解析式化为顶点式，由函数的性质求最值．
（3）当时，解一元二次方程求出方程的根，取较小的值．
【详解】（1）解：由题意得，
每周短袖T恤衫销量为：，
．
根据题意得，



Q与x的函数关系式为．
故答案为：；．
（2）解：，，
当时，有最大值，且最大值为12250．
故答案为：115；12250．
（3）解：当时，，
解得，
尽量给客户实惠，

答：这款T恤衫定价为元/件．
故答案为：元/件．
4.如图，在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．

（1）若花园的面积为，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【答案】(1)的长度或．
(2)平方米

【分析】（1）根据米可知米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；
（2）根据P处有一棵树与墙，的距离分别是和，求出x的取值范围，再根据面积与x的函数关系式即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设米，则米，根据题意得：
．
解方程得：，
答：的长度或．
（2）设矩形面积为S，
则．
∵P处有一棵树与墙，的距离分别是和，

∴．
∴当x=18时，（平方米）．
答：花园面积的最大值是平方米．
5.春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．

（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是______，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是______．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【答案】(1)；；
(2)32m或10m
(3)168000元

【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：，
花卉B的面积为：，
花卉C的面积为：，
故答案为：；；；
（2）解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴，
∴，
解方程得或，
∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）解：∵花卉A与B的种植面积之和为：，
∴，
∴，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴，
∴，
∴，
∴当时，y随x的增加而减小，
∴当时，y最大，且（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
6.如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．

（1）建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解获得答案．
（2）将代入（1）中解析式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，以拱顶为原点建立直角坐标系，

可设这条抛物线为，
结合题意，将点代入，得，
解得，
∴，
（2）若水面下降3米，即当时，可有，解得，
此时水面宽度为米，
∴水面下降3米，水面宽度增加米．
7.如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求支柱的长度；
（3）随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．
【答案】(1)
(2)5.5米
(3)不能，理由见解析

【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入求得a的值，即可得出函数关系式；
（2）将代入函数关系式求得y的值，可求出支柱的长度；
（3）将代入函数关系式求得y的值，再与进行比较即可．
【详解】（1）设抛物线的函数表达式为．    
把代入得：，
解得．      
抛物线的函数表达式为．·
（2）当x=5时，．，
∴（米）．
（3）不能，理由如下：
当时，．
∴这艘货船不能顺利通过拱桥．
8.根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为50m，最高点距离水面10m，如图所示以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度．
【答案】(1)
(2)桥拱下水面的宽度为

【分析】（1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点的坐标，然后代入求解即可；
（2）根据水面高度先求出点的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长．
【详解】（1）解：由题意得，点的坐标为，
点的坐标为．
设抛物线的表达式为．
把代入，得，
解得．
该抛物线的表达式为．
（2）点的坐标为．
．
由题意得．
．
由题意得，
解得，．
点的坐标为，点的坐标为．
．
答：桥拱下水面的宽度为．
9.清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地600余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸．它是依照北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的，于1998年10月28日正式对外开放．2021年10月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单．如图为园中一座桥，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是．按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为．

（1）求桥拱部分对应的抛物线的解析式；
（2）某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点D与点O的距离．
【答案】(1)
(2)船的左侧点D与点O的距离为或．

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令，求得，分情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：如图，

由题意得：水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是，
结合函数图象可知，顶点，点，
设二次函数的表达式为，
将点代入函数表达式，，
解得：，
∴二次函数的表达式为，
即；
（2）解：集装箱的高度，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，
则，即，
则，
∵船的宽度，
由题意得：当船在对称轴左侧时，点C恰好经过桥拱，
此时船的左侧点D与点O的距离，
当船在对称轴右侧时，点F恰好经过桥拱，
此时船的左侧点D与点O的距离．
即此时船的左侧点D与点O的距离为或．
10.如图，若被击打的小球飞行高度单位：m）与飞行时间单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为______s.

【答案】
【分析】根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间．
【详解】解：依题意，令得：，
即，
解得：舍去或，
即小球从飞出到落地所用的时间为．
故答案为：．
11.如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上方的A点处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球网与O点的水平距离为OB=9m，高度BC=2.5m，球场的边界距O点的水平距离为．

（1）请确定排球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足的函数关系式；
（2）请判断排球是否过网？是否出界？
【答案】(1)；
(2)排球能过网；不会出界．

【分析】（1）根据题意列出抛物线的顶点式解析式，再把代入解析式求出，即可得到与的函数关系式；
（2）把代入解析式求出值与比较，把代入解析式，求出值与比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：球与O点的水平距离为时，达到最高，
抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
，
，
与的函数关系式为
（2）解：当时，，
排球能过网；
当时，，
解得：，（舍），
排球不会出界．
12.掷实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示、掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3. 5m处.

（1）求y关于x的函数表达式：
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分，该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
【答案】(1)
(2)该男生在此项考试中能得满分.

【分析】（1）已知顶点坐标为，设成顶点式，将代入求出a的值，即可求出函数表达式.
（2）根据（1）中的表达式，求出时x的值，即D点的坐标，则可知OD的长，再与9.7作比较，即可判断是否得满分.
【详解】（1）设
将代入得
    
解得


（2）当时，


    
（舍去）



∴该男生在此项考试中能得满分.
13.掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

（1）求关于的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【答案】(1)
(2)该男生在此项考试不能得满分，理由见详解

【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，解得，，
∴关于的函数表达式为，即：．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．