【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)文科数学

【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)文科数学

一、选择题(共12题；共60分)

1．（5分）（　　）

A．1 B．2 C． D．5

2．（5分）设全集，集合，则（　　）

A． B．

C． D．

3．（5分）如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积（　　）

A．24 B．26 C．28 D．30

4．（5分）在中，内角的对边分别是，若，且，则（　　）

A． B． C． D．

5．（5分）已知是偶函数，则（　　）

A． B． C．1 D．2

6．（5分）正方形的边长是2，是的中点，则（　　）

A． B．3 C． D．5

7．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．（5分）函数存在3个零点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

9．（5分）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（　　）

A． B． C． D．

11．（5分）已知实数满足，则的最大值是（　　）

A． B．4 C． D．7

12．（5分）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题(共4题；共20分)

13．（5分）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为　     　.

14．（5分）若，则　     　．

15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为　     　.

16．（5分）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则　     　．

三、解答题(共7题；共80分)

17．（12分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：

记，记的样本平均数为，样本方差为．

（1）（6分）求，；

（2）（6分）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

18．（12分）记为等差数列的前项和，已知．

（1）（6分）求的通项公式；

（2）（6分）求数列的前项和．

19．（12分）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．

（1）（12分）求证：//平面；

（2）（1分）若，求三棱锥的体积。

20．（12分）已知函数.

（1）（6分）当时，求曲线在点处的切线方程.

（2）（6分）若函数在单调递增，求的取值范围.

21．（12分）已知椭圆的离心率是，点在上．

（1）（6分）求的方程；

（2）（6分）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.

（1）（5分）写出的直角坐标方程；

（2）（5分）若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围．

23．（10分）已知

（1）（5分）求不等式的解集；

（2）（5分）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模

【解析】【解答】，，.
故选：C
【分析】利用，直接代入计算。

2．【答案】A

【知识点】并集及其运算；补集及其运算

【解析】【解答】由题意可得，
故选：A
【分析】根据题意先计算，再计算。

3．【答案】D

【知识点】由三视图还原实物图

【解析】【解答】如图该几何体是由边长为2的正方体和边长为1，2，2的长方体组成：
表面积为：

故选：D
【分析】先将三视图还原空间几何体，再求解表面积。

4．【答案】C

【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理

【解析】【解答】，由正弦定理可得，
，或（舍去），
又，，.
故选：C
【分析】先利用正弦定理边化角化简，再结合三角形内角和为求。

5．【答案】D

【知识点】偶函数；函数奇偶性的判断

【解析】【解答】是偶函数，
恒成立，
不恒为0，
，解得.
当时定义域为关于原点对称，又满足，为偶函数。
故选：D
【分析】根据偶函数定义进行计算，再验证。

6．【答案】B

【知识点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】由正方形的边长为2，为中点可知，，，
，


故选：B
【分析】以，为基底表示，运用数量积进行计算。

7．【答案】C

【知识点】几何概型；圆的标准方程

【解析】【解答】区域表示以圆心，半径为和半径为组成的圆环，
直线倾斜角不大于为如下阴影部分表示的区域，其中，结合对称性可得所求概率

故选：C
【分析】画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。

8．【答案】B

【知识点】函数的零点

【解析】【解答】由题意得
有三个零点，
有极大值和极小值且异号，.
令，解得，，
，解得
故选：B
【分析】有三个零点转化为的极大值和极小值异号，进而转化为有两个根且，。

9．【答案】A

【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用

【解析】【解答】甲有6种选择，乙也有6种选择，总数，
若甲乙抽到的主题不同，则共有，
其概率为.
故选：A
【分析】根据古典概型求出所有情况及满足题意的情况得出概率。

10．【答案】D

【知识点】正弦函数的单调性

【解析】【解答】在区间单调递增，又和是的对称轴，，，解得，
，即，，
.
故选：D
【分析】分析题意根据单调性和对称轴求出，，再代入求解.

11．【答案】C

【知识点】简单线性规划的应用；圆的标准方程；圆的一般方程

【解析】【解答】，整理得
其中圆心O为，半径r=3.
另x-y=k，如下图，易知当直线x-y=k与圆相切时取得最大

即点O到直线x-y=k的距离为OA=R=3=.解得k=
由k最大，即k取
故选：C
【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径，将x-y最大值转化为线性规划问题，在可行域范围内分析并计算可得答案。

12．【答案】D

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用

【解析】【解答】设，，则中点，则，

在双曲线上则，两式相减得，，
.
A：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故A错误；
B：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故B错误；
C：，，，直线：，
由双曲线方程可得渐近线为，直线为渐近线
直线与双曲线没有两个交点.故C错误；
D：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线有两个交点.故D正确；
故选：D
【分析】设两点分别为，，由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得出，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。

13．【答案】

【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质

【解析】【解答】由题意得，求得，抛物线上点到准线距离.
故答案为：
【分析】直接代入点坐标求抛物线方程，利用，求抛物线上点到准线距离。

14．【答案】

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】，，，
，又，解得，，
.
故答案为：
【分析】根据同角三角函数关系进行求解和。

15．【答案】8

【知识点】简单线性规划

【解析】【解答】根据题意作出满足不等式组表示的平面可行域，如下图：

由，得，表示直线在y轴上的截距，
∴截距越小越大，
由上图可只当直线经过点C时最大，
由解得即，此时.
故答案为：8
【分析】找出满足题意的可行域，对目标函数分析结合一次函数分析得出的最大值。

16．【答案】2

【知识点】球面距离及相关计算；球内接多面体；直线与平面垂直的性质

【解析】【解答】如图，设外接圆圆心为，半径为，

由正弦定理得，解得：
设直三棱锥外接球球心为，连接，，
，
易得
又，
∴，
.
故答案为：2
【分析】先利用正弦定理求外接圆半径，再利用直三棱锥外接球性质求.

17．【答案】（1） 

（2）由（1）知，，
，
甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。

【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【分析】（1）先分析求出利用公式计算，；
（2）直接求解与比大小判断。

18．【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
 

（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
 

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和

【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。

19．【答案】（1）如图，连接，，设，

则，
又，
且，即.
，
由∵AB=2，BC=，代入得
解得，
，即为中点，
又∵的中点分别为，
且，且，
∴且，
∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF∥DO
又平面，平面，

（2）由(1)得，OF是的中位线，
易得，

，，，，
为中点，，，
又，平面，平面，
，
 

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定

【解析】【分析】（1）以条件作为切入点，考虑以，为基底从向量角度表示，并运用数量积为0确判断点的位置，从而得出F为中点，由多个中点产生的中位线证明线面平行；
（2）由(1)易知底面存在中位线，即存在面积的倍数关系，利用等高可将三棱锥体积转化为，利用条件简单分析得到的线面垂直，即以为底面、OC为高求出此时几何体的体积即得答案。

20．【答案】（1）当时，，
，
，且 ，
在处的切线方程为.

（2）.
∴函数的定义域为 ，
又∵在单调递增，
在恒成立
又，
，
即在恒成立，
令，
则，
且要使在恒成立，
设且趋于0，则在单调递增，
，，又，则在单调递增
，解得.
检验当时，，
即此时在 单调递增，且，
∴
则在 单调递增，且，
即在恒成立，
综上所述，实数a的取值范围是.

【知识点】导数的运算；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）先求，再求斜率，利用点斜式得出切线方程；
（2）将问题转化为在恒成立，整理重新构造函数逐步求导分析恒成立问题。

21．【答案】（1）将点代入椭圆得，，
又，且
解得，，，
椭圆方程为.

（2）当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A，不符合题意；
故斜率存在，如图，由直线过点可设：

其中，，，
直线：，令得，同理得
联立，
消y整理得：，
，，
且，即


直线的中点是定点.

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用

【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程，结合离心率和列方程组求解；
（2）设直线方程，与椭圆联立利用韦达定理计算整理得出MN中点为定值。

22．【答案】（1）将：左右同×得：，
∵，，
∴
∴

（2）将：
由得
∴方程表示圆心，半径为2且位于第二象限的圆弧；
由(1)：，
∴表示圆心为，半径为1且位于第一象限的圆弧；
与图象如下图表示

若直线过，此时，
若直线与相切，则，此时(负值舍去)，
故当直线与，均没有公共点，
此时

【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程

【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化关系左右同×即可转化，其中应注意其取值范围；
（2）利用同角三角基本关系消参转化C2，结合图象分析交点个数，由直线与圆的位置关系求出特殊位置时m的值得出答案。

23．【答案】（1）依题意可得，根据去绝对值零点分段易得
，画出和图形如下：

联立，解得，，由图形可知的解集为；

（2）分析知不等式组确定的平面区域为（1）中，如下图、

 又，，，
不等式组确定的平面区域面积为8.

【知识点】绝对值不等式；绝对值不等式的解法

【解析】【分析】（1）讨论绝对值内的符号分段去绝对值，根据图形联立求交点解得不等式；
（2）结合（1）得出不等式组表示的平面区域，再求面积。