【高考真题】2023年新高考Ⅰ卷数学

【高考真题】2023年新高考Ⅰ卷数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.(共8题；共40分)

1．（5分）已知集合M={−2，−1，0，1，2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=（　　）

A．{−2，−1，0，1} B．{0，1，2}

C．{−2} D．{2}

2．（5分）已知，则=（　　）

A．−i B．i C．0 D．1

3．（5分）已知向量a=(1，1)，b=(1，−1).若(a+λb)⊥(a+µb)，则（　　）

A．λ+µ=1 B．λ+µ=−1 C．λµ=1 D．λµ=−1

4．（5分）设函数在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（　　）

A．(−∞，−2] B．[−2，0) C．(0，2] D．[2，+∞)

5．（5分） 设椭圆 的离心率分别为.若 ， 则（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）过点(0，−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（　　）

A．1 B． C． D．

7．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则（　　）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8．（5分） 已知 ， 则 （　　）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(共4题；共20分)

9．（5分） 有一组样本数据 ， 其中 是最小值， 是最大值， 则（　　）

A． 的平均数等于 的平均数

B． 的中位数等于 的中位数

C． 的标准差不小于 的标准差

D． 的极差不大于 的极差

10．（5分）噪声污染问题越来越受到重视， 用声压级来度量声音的强弱， 定义声压级 ， 其中常数 是听觉下限间值， 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， 则（　　）

A． B． C． D．

11．（5分）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（　　）

A．f(0)=0 B．f(1)=0

C．f(x)是偶函数 D．x=0为f(x)的极小值点

12．（5分）下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有（　　）

A．直径为0.99m的球体

B．所有棱长均为1.4m的四面体

C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(共4题；共20分)

13．（5分）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　     　种(用数字作答).

14．（5分）在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为　     　.

15．（5分）已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　     　.

16．（5分） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 点 在 上. 点 在 轴上， ， 则 的离心率为　     　.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.(共6题；共70分)

17．（10分）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.

（1）（5分）求sinA；

（2）（5分）设AB=5，求AB边上的高.

18．（12分）如图， 在正四棱柱 中， . 点 分别在棱 上， ， .

（1）（6分）证明：；

（2）（6分）点在棱 上， 当二面角 为时， 求.

19．（12分） 已知函数.

（1）（6分）讨论 的单调性；

（2）（6分）证明：当 时，.

20．（12分）设等差数列 的公差为 ， 且 ， 令 ，记 分别为数列 ，的前项和.

（1）（6分）若，求 的通项公式；

（2）（6分）若为等差数列， 且 ，求 .

21．（12分）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.

（1）（4分）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）（4分）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）（4分）已知：若随机变量服从两点分布， 且 ，则 ， 记前 次 (即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求 .

22．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.

（1）（6分）求W的方程；

（2）（6分）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】交集及其运算；一元二次方程

【解析】【解答】∵，∴，∴，即， 则。故选C
【分析】利用一元二次不等求解集合N，进而求集合M与N的交集。

2．【答案】A

【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算

【解析】【解答】∵，∴，
则.
故选：A
【分析】 识记共轭复数的表达式，并熟练掌握复数乘除积运算

3．【答案】D

【知识点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系

【解析】【解答】∵，且，
∴=0，
即
故选：D
【分析】 该题主要考察了向量的四则运算及向量垂直的意义，即

4．【答案】D

【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性

【解析】【解答】∵为增函数，令
由复合函数单调性可知，若 在区间(0，1)单调递减
只需在区间(0，1)单调递减
由二次函数易得在为减函数，在为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，
故，
即.
故选：D
【分析】根据复合函数单调性，分别分析外函数指数函数的单调性和内函数二次函数单调性即得答案。

5．【答案】A

【知识点】椭圆的定义

【解析】【解答】由题意结合可得，
又∵，即，解得.
故选：A
【分析】 由椭圆标准方程得出参数a、b值，由参数关系与离心率公式即得答案。

6．【答案】B

【知识点】二倍角的正弦公式；圆的一般方程；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】如图

 由 x2+y2−4x−1=(x-2)2+y2=5，可得圆心O(2，0)，r=
根据勾股定理易得，，
又∵相切的两条直线的夹角为α，即∠BAC=α
易得∠OAB=∠OAC=
所以，
所以，
故选：B
【分析】 由圆的一般方程整理得出圆心与半径，结合切线定理与三角恒等变换即得答案。

7．【答案】C

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【解答】甲：设数列首项为，公差为，则，
所以，
由等差数列通项公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即甲是乙的充分条件；
乙：设数列是首项为，公差为则，
∴，
由等差数列前n项和公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即乙是甲的充分条件；
∴甲是乙的充要条件。
故选：C
【分析】 根据题意表达数列，结合等差数列通项公式与前n项和公式即得答案。

8．【答案】B

【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】∵，
∴，即，
∴，
则.
故选：B
【分析】 观察角度之间的联系，结合二倍角与和差角即得答案。

9．【答案】B,D

【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【解答】假设，
A：∵，故A错误；
B：的中位数为，的中位数也为，故B正确；
C：由标准差定义可知，其反应数据拨动程度，去掉最大值与最小值，则拨动程度更小，即标准差更小，故C错误；
D：的极差为，的极差为，易得<，故D正确.
【分析】 根据平均数，中位数，标准差和极差逐项分析可得答案.

10．【答案】A,C,D

【知识点】对数的运算性质；指、对数不等式的解法

【解析】【解答】由是增函数，故也是增函数，由表格可知，
即，则
同理可得，
A：由对数函数单调递增，∵，∴，故A正确；
B：，∵，， ∴，∴，即，故B错误；
C：，则即，故C正确；
D：，∵，， ∴，∴，即，故D正确.
故选：ACD
【分析】 由对数函数单调性解不等式，逐项解答判断即得答案。

11．【答案】A,B,C

【知识点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用

【解析】【解答】Ａ：令，则，故Ａ正确
Ｂ：令，则，即，故Ｂ正确
Ｃ：令，则，结合B可得，
∴为偶函数，Ｃ正确
Ｄ：由 f(xy)=y2f(x)+x2f(y) ，等式两边同除，则，
由函数结构结合对数运算构造函数形式，可令，即
当x=0时，即f(0)=0，即函数，易得在上单调递增
当时，，故此函数不连续，即 x=0不是f(x)的极小值点
【分析】 由抽象函数结合赋值法逐项可判断ABC，根据抽象函数结构可构造符合条件的具体函数再进行单调性与值域分析即可判断D。

12．【答案】A,B,D

【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；简单组合体的结构特征

【解析】【解答】Ａ：因为正方体的内切球直径为，所以直径为ｍ的球体可放入正方体，Ａ符合题意；

Ｂ：如图1，以正方体对角线为棱长的正四面体的棱长为，所以所有棱长为ｍ的四面体可放入正方体，Ｂ符合题意；

 Ｃ：正方体内最大距离为体对角线，所以高为ｍ的圆柱体无法放入正方体，Ｃ不符合题意；
Ｄ：如图2，取正方体边长中点作正六边形EFGHIJ，内切圆直径为，故底面直径为ｍ高为ｍ(可忽略不计)的圆柱体可以放入正方体，Ｄ符合题意；

  故选ABD.
【分析】 结合正方体几何体放置内接几何体，以正方体面对角线结合体对角线参照放置，逐项判断即得答案.
 

13．【答案】64

【知识点】计数原理的应用

【解析】【解答】当学生选修2门时，有种；
当学生选修3门时，选修2门体育1门艺术有种，选修2门艺术1门体育有种。
则共有种。
故答案为：64
【分析】 根据题意分情况讨论，由分类加法原理结合分步乘法原理，即可得出答案。

14．【答案】

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】
由正四棱台可知，上底面的投影在下底面的中心位置，如下图，则此棱台的高h=OA1

此时，易得，
又∵
∴
则

故答案为：
【分析】 由棱台结构特点找出并求得高，代入棱台公式可得答案。

15．【答案】

【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【解答】令f(x)=cosωx−1 =0，则coswx=1，故该函数的交点可视作函数y=cosωx与y=1的在的交点
∵，则
结合余弦函数可知此时
∴，解得.
故答案为：
【分析】 可将函数零点转换为余弦型函数与y=1的交点即得答案。

16．【答案】

【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用

【解析】【解答】如图

 因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，设A在x轴上方则可求得，
其中，，即.....①
则B(0，3m)
又，所以，
因为，所以，
即，方程两边同除，则，化简得，即，所以，所以.
故答案为：
【分析】根据题意由坐标表达向量关系，结合双曲线参数关系消b，找出的等量关系。

17．【答案】（1）∵，且，
∴，，
又∵，所以，
即，
整理得，
由解得，
∴.

（2）由（1），
所以，
由正弦定理知，即，
∴，
所以AB边上的高为.

【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用

【解析】【分析】（1） 根据题意及内角和消角B与角C转化成关于角A的等量关系，最后利用两角和差公式化简即可求解。

（2） 结合正弦定理解三角形即可解得AB边上的高。

18．【答案】（1）如图建立直角坐标系，以C为原点，分別以CD，CB，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

 则，，，，因为，，所以，所以

（2）设，
因为，，设平面法向量为
∴，即
令z1=2，则x1=1-m
所以平面法向量为；
同理当，，∴平面法向量为.
因为二面角为，所以，
解得或，经检验均满足题意，
此时

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】 建立空间直角坐标系，由直线与直线的向量判定可得出(1)，由二面角计算方法可求出满足题意的点坐标。

19．【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。

（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，

【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件

【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
 

20．【答案】（1）∵且an是等差数列
∴，
整理得，
此时，
所以，解得
∴.

（2）由等差数列可设，

则，
∴
①若A=0时，则，此时，，

则，
则
解得
②若B=0时，则，此时，，

同理可得，
则
解得
综上所述

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【分析】 (1)结合等差数列通项公式消元，均可以用d表示a1、an、bn；
(2)利用已知条件设等差数列为一次函数型，将已知条件消元整理转化成只含d表示.

21．【答案】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
第1次甲投篮未中，第2次乙投篮的概率：，
两次投篮都是乙的概率：，
故第二次投篮是乙的概率为.

（2）设第投篮的人是甲的概率为，
则，
，所以是首项为，公比为，，
所以

（3）由（2）得，由题意得甲第投篮次数服从两点分布，且，
∴，
∴，
检验当时也满足上式，
综上所述：

【知识点】数列的应用；概率的基本性质；分类加法计数原理

【解析】【分析】(1)结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理得出答案；
(2)为求第i次投篮的概率，根据题意，需由i-1次计算，从而找出前一次与后一次的关系，求pi的关系即需利用数列关系构造法求其通项公式；
(3)根据题意Xi服从二项分布，为求 进一步分析即求pi前n项和.

22．【答案】（1）设，由题意可得，化简得，
所以动点P的轨迹方程W为

（2）假设三点在W上，设且，因为ABCD为矩形，所以，
所以，
又，所以，
矩形ABCD周长
不妨设且
原式





令，，，，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。∴
∴原式，即矩形ABCD的周长大于

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；两点间的距离公式；抛物线的定义

【解析】【分析】 (1)利用两点间距离等于点到坐标轴距离，求轨迹方程。
（2） 利用矩形的两边垂直向量表示建立等式，寻找等量关系，利用两点间距离表示周长进而利用不等式的知识进行化简与放缩转化成单变量最值问题，结合导数分析其最值可得.