2022年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）

这是一份2022年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (共8题；共40分)
1．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 M={x∣x0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c0，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时OP·OQ=x12+y12x22+y22=y1+y12y2+y22
=y1y2y1y2+y1+y2+1=k2>4，又|OA|2=2，则 |OP|⋅|OQ∣>∣OA∣2 ，故C正确；
BP·BQ=BP→·BQ→=x1，y1+1·x2，y2+1=x1x2+y1y2+y1+y2+1=k2+1>5，
又|BA|2=5，则 ∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2 ，故D正确.
故选：BCD

【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
12．【答案】B,C
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由f(32−2x)为偶函数可知函数f(x)关于直线x=32对称，
由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，
结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，
根据f(x)关于直线x=32对称可知：g(x)关 于点(32，0)对称，
综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，
所以有f(0)= f(2)=t，所以A不正确；
f(-1)= f(1)， f(4)=f(2)， f(1)= f(2)，故f(-1)= f(4)，所以C正确，
g−12=g32=0，g(-1)=g(1)，故B正确；
又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.
故选：BC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.
13．【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为Tr+1=C8rx8−ryrr=0，1，2，……，8，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 x2y6 项为1×C86x2y6=28x2y6，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 x2y6 项为−yx×C85x3y5=−56x2y6，
则展开式中 x2y6 项为−28x2y6，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
14．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 (x−3)2+(y−4)2=16 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，

易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：y=43x，
可得直线l1与直线OA为P−1，−43，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：y+43=kx+1，即kx−y+k−43=0，
则有k−43k2+1=1，解得k=724，即l2：y=724x−2524，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由x2+y2=1x−32+y−42=16，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0

【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
15．【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得x02+ax0−a=0 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a0.
故答案为：a0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程x02+ax0−a=0有两不等实根，由△>0求解即可.
16．【答案】13
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：椭圆离心率为12，则a=2c，b=3c，可设C：x24c2+y23c2=1，
则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，
则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率k=33，
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，
设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为y=33x+c，
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则x1+x2=−8c13，x1x2=−32c213，
则DE=1+k2·x1+x22−4x1x2=1+13×−8c132+128c213=4813c=6，
解得c=138，4a=8c=13，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：13
【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，b=3c，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为y=33x+c，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.
17．【答案】（1）因为 {Snan} 是公差为 13 的等差数列，而 S1a1=1 ，
所以 Snan=S1a1+(n−1)d=1+13(n−1)⇒Sn=(13n+23)an①
n≥2 时， Sn−1=(13n+13)an−1②
①-②有： anan−1=n+1n−1，n≥2 .
所以 a2a1=31，a3a2=42，⋯，anan−1=n+1n−1 ，
以上式子相乘，得 an=n(n+1)2，n≥2
经检验， n=1 时， a1=1 ，符合.
所以 an=n(n+1)2 .
（2）由（1）知 an=n(n+1)2
所以 1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)
所以 1a1+1a2+⋯+1an = 2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1) = 2−2n+1
因为 n∈N∗ ，所以 2n+1>0 ，
所以 2−2n+11) 上，所以有 4a2−1a2−1=1
解得 a2=2 ，所以双曲线 C：x22−y2=1
设直线 l：y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，
联立 x22−y2=1y=kx+m 消去y得到 (1−2k2)x2−4kmx−2m2−2=0
显然 1−2k2≠0 ，否则不可能有两个交点，
而 Δ=(4km)2−4(1−2k2)(−2m2−2)=8(m2+1−2k2)>0 ，
由韦达定理得 x1+x2=4km1−2k2 ， x1x2=−2m2−21−2k2
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以 0=y1−1x1−2+y2−1x2−2=(y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)(x1−2)(x2−2)
所以 x1−2x2−2 所以 (y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)=0
即 (kx1+m−1)(x2−2)+(kx2+m−1)(x1−2)=0 ，
所以有 2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0 ，
将韦达定理代入化简得 (k+1)(2k+m−1)=0 ，
而当 2k+m−1=0 ，此时直线 l 为 y=kx+1−2k ，易知恒过定点 A(2，1) ，故舍去，
所以 k=−1 ，此时满足 Δ>0 .
（2）又由（1）易知 x1+x2=4m，x1x2=2m2+2 ，
且 |x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=22m2−8
依题可设AP斜率为 k1 ， AQ 斜率为- k1 ，
则由夹角公式知（后面补充证明） 22=tan∠PAQ=−k1−k11+k1⋅(−k1) ，
由对称性易知，只需考虑 k1>0 的情况就行，
所以有 2k12+k1−2=0 ，解得 k1=2 或 k1=−22 （舍）.
而 k1=y1−1x1−2⇒y1−1=k1(x1−2) ，同理 y2−1=−k1(x2−2) ，
而 AP=(x1−2，y1−1)，AQ=(x2−2，y2−1) ，
S△PAQ=12|(x1−2)(y2−1)−(x2−2)(y1−1)| =12|−k1(x1−2)(x2−2)−k1(x2−2)(x1−2)|=22|(x1−2)(x2−2)| =22|x1x2−2(x1+x2)+4|=2|m2−4m+3|
另一方面，联立 y1−1=k1(x1−2)y1=−x1+m⇒m=k1(x1−2)+1+x1 ，（1）
同理 m=−k1(x2−2)+1+x2 ，（2）
将以上两式相加，得 2m=k1(x1−x2)+2+(x1+x2) ，
解得 m=113 ，
所以 S△PAQ=2|m2−4m+3|=1629
【知识点】斜率的计算公式；两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 x22−y2=1 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 (k+1)(2k+m−1)=0 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 k1 ， AQ 斜率为- k1 ，由夹角公式求得 k1=2 ，同时根据两直线的位置可得 2m=k1(x1−x2)+2+(x1+x2) ，结合(1)，可得 m=113 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 S△PAQ= 2|m2−4m+3| ，代入计算即可.
22．【答案】（1）因为 f(x)=ex−ax ，所以 f′(x)=ex−a ，
若 a≤0 ，则 f′(x)=ex−a>0 恒成立，
所以 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增，无最小值，不满足；
若 a>0 ，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，
所以 f(x)min=f(lna)=a−alna ，
因为 g(x)=ax−lnx ，定义域 x>0 ，所以 g′(x)=a−1x ，
所以 g′(x)>0⇒x>1a，g′(x)