2022年高考文数真题试卷（全国甲卷）

这是一份2022年高考文数真题试卷（全国甲卷），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，选考题等内容，欢迎下载使用。


2022年高考文数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (共12题；共60分)
1．（5分）（2022·全国甲卷）设集合 A={−2，−1，0，1，2}，B={x∣0⩽x<52} ，则 A∩B= （　　）
A．{0，1，2} B．{−2，−1，0}
C．{0，1} D．{1，2}
2．（5分）（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（　　）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3．（5分）（2022·全国甲卷）若 z=1+i ．则 |iz+3z|= （　　）
A．45 B．42 C．25 D．22
4．（5分）（2022·全国甲卷）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20
5．（5分）（2022·全国甲卷）将函数 f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0) 的图像向左平移 π2 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 ω 的最小值是（　　）
A．16 B．14 C．13 D．12
6．（5分）（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）
A．15 B．13 C．25 D．23
7．（5分）（2022·全国甲卷）函数 f(x)=(3x−3−x)cosx 在区间 [−π2，π2] 的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）（2022·全国甲卷）当 x=1 时，函数 f(x)=alnx+bx 取得最大值 −2 ，则 f′(2)= （　　）
A．-1 B．−12 C．12 D．1
9．（5分）（2022·全国甲卷）在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角均为 30° ，则（　　）
A．AB=2AD
B．AB与平面 AB1C1D 所成的角为 30°
C．AC=CB1
D．B1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 45°
10．（5分）（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π ，侧面积分别为 S甲 和 S乙 ，体积分别为 V甲 和 V乙 ．若 S甲S乙=2 ，则 V甲V乙= （　　）
A．5 B．22 C．10 D．5104
11．（5分）（2022·全国甲卷）已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率为 13 ， A1，A2 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 BA1⋅BA2=−1 ，则C的方程为（　　）
A．x218+y216=1 B．x29+y28=1 C．x23+y22=1 D．x22+y2=1
12．（5分）（2022·全国甲卷）已知 9m=10，a=10m−11，b=8m−9 ，则（　　）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 (共4题；共20分)
13．（5分）（2022·全国甲卷）已知向量 a=(m，3)，b=(1，m+1) ．若 a⊥b ，则 m=　 　．
14．（5分）（2022·全国甲卷）设点M在直线 2x+y−1=0 上，点 (3，0) 和 (0，1) 均在 ⊙M 上，则 ⊙M 的方程为　 　．
15．（5分）（2022·全国甲卷）记双曲线 C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0) 的离心率为e，写出满足条件“直线 y=2x 与C无公共点”的e的一个值　 　．
16．（5分）（2022·全国甲卷）已知 △ABC 中，点D在边BC上， ∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD ．当 ACAB 取得最小值时， BD=　 　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (共5题；共60分)
17．（12分）（2022·全国甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
　
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
附： K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，
P(K2⩾k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
（1）（6分）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）（6分）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
18．（12分）（2022·全国甲卷）记 Sn 为数列 {an} 的前n项和．已知 2Snn+n=2an+1 ．
（1）（6分）证明： {an} 是等差数列；
（2）（6分）若 a4，a7，a9 成等比数列，求 Sn 的最小值．
19．（12分）（2022·全国甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 ABCD 是边长为8（单位：cm）的正方形， △EAB，△FBC，△GCD，△HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCD 垂直．

（1）（6分）证明： EF∥ 平面 ABCD ；
（2）（6分）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
20．（12分）（2022·全国甲卷）已知函数 f(x)=x3−x，g(x)=x2+a ，曲线 y=f(x) 在点 (x1，f(x1)) 处的切线也是曲线 y=g(x) 的切线．
（1）（6分）若 x1=−1 ，求a：
（2）（6分）求a的取值范围．
21．（12分）（2022·全国甲卷）设抛物线 C：y2=2px(p>0) 的焦点为F，点 D(p，0) ，过 F 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， |MF|=3 ．
（1）（6分）求C的方程：
（2）（6分）设直线 MD，ND 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 MN，AB 的倾斜角分别为 α，β ．当 α−β 取得最大值时，求直线AB的方程．
四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 (共2题；共20分)
22．（10分）（2022·全国甲卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=2+t6y=t （t为参数），曲线 C2 的参数方程为 x=−2+s6y=−s （s为参数）．
（1）（5分）写出 C1 的普通方程；
（2）（5分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 2cosθ−sinθ=0 ，求 C3 与 C1 交点的直角坐标，及 C3 与 C2 交点的直角坐标．
23．（10分）（2022·全国甲卷）已知a，b，c均为正数，且 a2+b2+4c2=3 ，证明：
（1）（5分）a+b+2c≤3 ；
（2）（5分）若 b=2c ，则 1a+1c≥3 ．

答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={−2，−1，0，1，2}，B={x∣0⩽x<52} ，∴A∩B=0，1，2.
故选：A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
2．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，讲座前中位数为70%+75%2>70%， 所以A错；
对于B，讲座后问卷答题的正确率只有1个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%， 所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% ，所以B对；
对于C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；
对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20% ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20% ，所以D错.
故选：B.
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
3．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：因为z=1+i ，所以iz+3z=i1+i+31−i=2−2i ，所以 |iz+3z|=4+4=22 ．
故选：D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得iz+3z=2−2i，再由复数的求模公式即可求出.
4．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积V=2+42×2×2=12 .
故选：B.
【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.
5．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为 y=sinωx+π2π3=sinωx+ωπ2+π3 ，
又曲线C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ，k∈Z ，
解得ω=13+2k，k∈Z ，
又ω>0，
故当k=0时，ω的最小值为 13 .
故选：C.
【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ，k∈Z，即可求出ω的最小值.
6．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，
其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，
故概率为615=25 .
故选：C.

【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
7．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又 x∈[−π2，π2]
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当x∈(0，π2]时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.

【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】因为函数f(x)定义域为（0，+∞），所以依题可知，f(1)=-2 ，f'(1)=0，
又f'x=ax−bx2 ，
则aln1+b=−2a−b=0，解得a=−2b=−2 ，
所以f'x=−2x+2x2，
由f'(x)>0，得01，
因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
则当x=1时取最大值，满足题意，即有f'2=−1+12=−12．
故选：B.

【分析】根据题意可知f(1)=-2 ，f'(1)=0，列式即可解得a，b，再根据f'(x)即可解出．
9．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示：

不妨设AB=a，AD=b，AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知， B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，
B1D与平面AA1B1B所成角为 ∠DB1A，
所以sin30°=cB1D=bB1D ，
即b=c ，B1D=2c=a2+b2+c2 ，
解得a=2c ．
对于A， AB=a，AD=b ，AB=2AD ，A错误；
对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，
因为tan∠BAE=ca=22 ，所以∠BAE≠30° ，B错误；
对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，AC≠CB1，C错误；
对于D， B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C ，又sin∠DB1C=CDB1D=a2c=22 ，而0°<∠DB1C<90°，所以∠DB1C=45° ．D正确．
故选：D．

【分析】先设AB=a，AD=b，AA1=c，再由题意得a=2c，b=c ，最后根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
10．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，
则S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，
所以r1=2r2，
又2πr1l+2πr2l=2π ，
则r1+r2l=1 ，
所以r1=23l，r2=13l ，
所以甲圆锥的高ℎ1=l2−r12=l2−23l2=53l，
乙圆锥的高ℎ2=l2−r22=l2−13l2=223l ，
所以V甲V乙=13πr12h113πr22h2=49l2×53l19l2×223l=10 .
故选：C.

【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，根据圆锥的侧面积公式可得r1=2r2，再结合圆心角之和可将r1，r2分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
11．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率e=ca=1−ba2=13，解得b2a2=89，则b2=89a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以BA1→=−a，−b，BA2→=a，−b ，
因为BA1→⋅BA2→=−1
所以-a2+b2=-1，将b2=89a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 x29+y28=1 .
故选：B.

【分析】根据离心率及BA1→⋅BA2→=−1，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
12．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由9m=10可得m=log910=lg10lg9>1，
而lg9lg11 所以lg10lg9>lg11lg10 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又lg8lg10 所以lg9lg8>lg10lg9 ，
即log89>m ，
所以b=8m−9<8log89−9=0 ．
综上，a>0>b ．
故选：A

【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
13．【答案】−34 或-0.75
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意知：a→·b→=m+3m+1=0 ，解得m=−34 .
故答案为： −34 .

【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
14．【答案】(x−1)2+(y+1)2=5
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：∵点M在直线 2x+y−1=0 上，
∴设点M为（a，1-2a），又因为点 (3，0) 和 (0，1) 均在 ⊙M 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴a−32+1−2a2=a2+−2a2 ，
化简得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2 ，
解得a=1，
∴M（1，-1） ，R=5 ，
则⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5 .
故答案为： (x−1)2+(y+1)2=5

【分析】设出点M的坐标，利用点 (3，0) 和 (0，1) 均在⊙M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
15．【答案】2（满足 1 【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 因为双曲线 C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0) ，
所以C的渐近线方程为y=±bax，
结合渐近线的特点，只需0 可满足条件“直线y=2x与C无公共点”
所以e=ca=1+b2a2≤1+4=5，
又因为e>1，所以 1 故答案为：2（满足1
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±bax中0 16．【答案】3−1 或 −1+3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，

则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4m2+4+2m−121+mm2+4+2m=4−12m+1+3m+1≥4−122m+1×3m+1=4−23 ，
当且仅当m+1=3m+1即m=3−1时，等号成立，
所以当ACAB取最小值时，m=3−1，即BD= 3−1 .
故答案为： 3−1 .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.
17．【答案】（1）解：由表中数据可知，A共有班次240+20=260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则 P(M)=240260=1213 ；
则A家公司长途客车准点的概率为 1213 ；
B共有班次210+30=240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则 P(N)=210240=78 .
B家公司长途客车准点的概率为 78 .
（2）解：列联表
　
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 500×(240×30−210×20)2260×240×450×50≈3.205>2.706 ，
根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.
18．【答案】（1）已知 2Snn+n=2an+1 ，即 2Sn+n2=2nan+n①，
当 n≥2 时， 2Sn−1+(n−1)2=2(n−1)an−1+(n−1)②，
①-②得， 2Sn+n2−2Sn−1−(n−1)2=2nan+n−2(n−1)an−1−(n−1) ，
即 2an+2n−1=2nan−2(n−1)an−1+1 ，
即 2(n−1)an−2(n−1)an−1=2(n−1) ，所以 an−an−1=1 ， n≥2 且 n∈N∗ ，
所以 {an} 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 an−an−1=1 可得， a4=a1+3 ， a7=a1+6 ， ΔABC ，
又 a4 ， a7 ， a9 成等比数列，所以 a72=a4⋅a9 ，
即 (a1+6)2=(a1+3)⋅(a1+8) ，解得 a1=−12 ，
所以 an=n−13 ，所以 Sn=−12n+n(n−1)2=12n2−252n=12(n−252)2−6258 ，
所以，当 n=12 或 n=13 时 (Sn)min=−78 ．
【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）依题意可得2Sn+n2=2nan+n ，根据an=S1，n=1Sn−Sn−1，n≥2 ，作差即可得到 an−an−1=1 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
19．【答案】（1）证明：分别取 AB，BC 的中点 M，N ，连接 MN ，

因为 △EAB，△FBC 为全等的正三角形，所以 EM⊥AB，FN⊥BC ， EM=FN ，又平面 EAB⊥ 平面 ABCD ，平面 EAB∩ 平面 ABCD=AB ， EM⊂ 平面 EAB ，所以 EM⊥ 平面 ABCD ，同理可得 FN⊥ 平面 ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知 EM//FN ，而 EM=FN ，所以四边形 EMNF 为平行四边形，所以 EF//MN ，又 EF⊄ 平面 ABCD ， MN⊂ 平面 ABCD ，所以 EF// 平面 ABCD ．
（2）解：分别取 AD，DC 中点 K，L ，

由（1）知， EF//MN 且 EF=MN ，同理有， HE//KM，HE=KM ， HG//KL，HG=KL ， GF//LN，GF=LN ，由平面知识可知， BD⊥MN ， MN⊥MK ， KM=MN=NL=LK ，所以该几何体的体积等于长方体 KMNL−EFGH 的体积加上四棱锥 B−MNFE 体积的 4 倍．
因为 MN=NL=LK=KM=42 ， EM=8sin60∘=43 ，点 B 到平面 MNFE 的距离即为点 B 到直线 MN 的距离 d ， d=22 ，所以该几何体的体积 V=(42)2×43+4×13×42×43×22=1283+25633=64033 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）依题意，根据直线与平面垂直的判定定理可得EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，即可知四边形EMNF为平行四边形，可得EF//MN，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取AD，DC中点K，L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍，即可解出．
20．【答案】（1）解：由题意知， f(−1)=−1−(−1)=0 ， f′(x)=3x2−1 ， f′(−1)=3−1=2 ，则 y=f(x) 在点 (−1，0) 处的切线方程为 y=2(x+1) ，
即 y=2x+2 ，设该切线与 g(x) 切于点 (x2，g(x2)) ， g′(x)=2x ，则 g′(x2)=2x2=2 ，解得 x2=1 ，则 g(1)=1+a=2+2 ，解得 a=3 ；
（2）解： f′(x)=3x2−1 ，则 y=f(x) 在点 (x1，f(x1)) 处的切线方程为 y−(x13−x1)=(3x12−1)(x−x1) ，整理得 y=(3x12−1)x−2x13 ，
设该切线与 g(x) 切于点 (x2，g(x2)) ， g′(x)=2x ，则 g′(x2)=2x2 ，则切线方程为 y−(x22+a)=2x2(x−x2) ，整理得 y=2x2x−x22+a ，
则 3x12−1=2x2−2x13=−x22+a ，整理得 a=x22−2x13=(3x122−12)2−2x13=94x14−2x13−32x12+14 ，
令 ℎ(x)=94x4−2x3−32x2+14 ，则 ℎ′(x)=9x3−6x2−3x=3x(3x+1)(x−1) ，令 ℎ′(x)>0 ，解得 −131 ，
令 ℎ′(x)<0 ，解得 x<−13 或 0 x
(−∞，−13)
−13
(−13，0)
0
(0，1)
1
(1，+∞)
ℎ′(x)
-
0
+
0
-
0
+
ℎ(x)
↘
527
↗
14
↘
-1
↗
则 ℎ(x) 的值域为 [−1，+∞) ，故 a 的取值范围为 [−1，+∞) .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；
（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.
21．【答案】（1）解：抛物线的准线为 x=−p2 ，当 MD 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 |MF|=p+p2=3 ，所以 p=2 ，
所以抛物线C的方程为 y2=4x ；
（2）解：设 M(y124，y1)，N(y224，y2)，A(y324，y3)，B(y424，y4) ，直线 MN：x=my+1 ，
由 x=my+1y2=4x 可得 y2−4my−4=0 ， Δ>0，y1y2=−4 ，
由斜率公式可得 kMN=y1−y2y124−y224=4y1+y2 ， kAB=y3−y4y324−y424=4y3+y4 ，
直线 MD：x=x1−2y1⋅y+2 ，代入抛物线方程可得 y2−4(x1−2)y1⋅y−8=0 ，
Δ>0，y1y3=−8 ，所以 y3=2y2 ，同理可得 y4=2y1 ，
所以 kAB=4y3+y4=42(y1+y2)=kMN2
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 α，β ，
所以 kAB=tanβ=kMN2=tanα2 ，
若要使 α−β 最大，则 β∈(0，π2) ，
设 kMN=2kAB=2k>0 ，则 tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k⋅2k=24 ，
当且仅当 1k=2k 即 k=22 时，等号成立，
所以当 α−β 最大时， kAB=22 ，设直线 AB：x=2y+n ，
代入抛物线方程可得 y2−42y−4n=0 ，
Δ>0，y3y4=−4n=4y1y2=−16 ，所以 n=4 ，
所以直线 AB：x=2y+4 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得MF=p+p2，即可得解；
（2）设点的坐标及直线MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得KAB=22 ，设直线AB：x=2y+n，结合韦达定理可解.
22．【答案】（1）解：因为 x=2+t6 ， y=t ，所以 x=2+y26 ，即 C1 普通方程为 y2=6x−2(y≥0) ．
（2）解：因为 x=−2+s6，y=−s ，所以 6x=−2−y2 ，即 C2 的普通方程为 y2=−6x−2(y≤0) ，
由 2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0 ，即 C3 的普通方程为 2x−y=0 ．
联立 y2=6x−2(y≥0)2x−y=0 ，解得： x=12y=1 或 x=1y=2 ，即交点坐标为 (12，1) ， (1，2) ；
联立 y2=−6x−2(y≤0)2x−y=0 ，解得： x=−12y=−1 或 x=−1y=−2 ，即交点坐标 (−12，−1) ， (−1，−2) ．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)消去参数t，即可得到C1的普通方程；
(2)将曲线C2，C3的方程化成普通方程，联立求解即解出．
23．【答案】（1）证明：由柯西不等式有 [a2+b2+(2c)2](12+12+12)≥(a+b+2c)2 ，
所以 a+b+2c≤3 ，
当且仅当 a=b=2c=1 时，取等号，
所以 a+b+2c≤3
（2）证明：因为 b=2c ， a>0 ， b>0 ， c>0 ，由（1）得 a+b+2c=a+4c≤3 ，
即 0 由权方和不等式知 1a+1c=12a+224c≥(1+2)2a+4c=9a+4c≥3 ，
当且仅当 1a=24c ，即 a=1 ， c=12 时取等号，
所以 1a+1c≥3 .
【知识点】一般形式的柯西不等式
【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得 0
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：160分
分值分布
客观题（占比）
60.0(37.5%)
主观题（占比）
100.0(62.5%)
题量分布
客观题（占比）
12(52.2%)
主观题（占比）
11(47.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
4(17.4%)
20.0(12.5%)
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12(52.2%)
60.0(37.5%)
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
2(8.7%)
20.0(12.5%)
解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
5(21.7%)
60.0(37.5%)
3、试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
普通
(65.2%)
2
容易
(26.1%)
3
困难
(8.7%)
4、试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
平面向量数量积坐标表示的应用
5.0(3.1%)
11
2
直线与平面垂直的性质
12.0(7.5%)
19
3
一般形式的柯西不等式
10.0(6.3%)
23
4
直线与平面所成的角
5.0(3.1%)
9
5
椭圆的简单性质
5.0(3.1%)
11
6
复数代数形式的混合运算
5.0(3.1%)
3
7
古典概型及其概率计算公式
17.0(10.6%)
6,17
8
直线与圆锥曲线的综合问题
12.0(7.5%)
21
9
双曲线的简单性质
5.0(3.1%)
15
10
复数的基本概念
5.0(3.1%)
3
11
利用导数研究曲线上某点切线方程
12.0(7.5%)
20
12
数量积判断两个平面向量的垂直关系
5.0(3.1%)
13
13
由三视图求面积、体积
5.0(3.1%)
4
14
抛物线的定义
12.0(7.5%)
21
15
等差数列
12.0(7.5%)
18
16
旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
5.0(3.1%)
10
17
正弦函数的奇偶性与对称性
5.0(3.1%)
5
18
指数式与对数式的互化
5.0(3.1%)
12
19
数列递推式
12.0(7.5%)
18
20
函数的值
5.0(3.1%)
7
21
直线与圆锥曲线的关系
22.0(13.8%)
21,22
22
直线与平面平行的判定
12.0(7.5%)
19
23
众数、中位数、平均数
5.0(3.1%)
2
24
导数在最大值、最小值问题中的应用
17.0(10.6%)
8,20
25
等差数列的前n项和
12.0(7.5%)
18
26
函数奇偶性的性质
5.0(3.1%)
7
27
棱柱、棱锥、棱台的体积
17.0(10.6%)
4,19
28
等比数列的性质
12.0(7.5%)
18
29
指数函数单调性的应用
5.0(3.1%)
12
30
复数求模
5.0(3.1%)
3
31
抛物线的标准方程
12.0(7.5%)
21
32
极差、方差与标准差
5.0(3.1%)
2
33
平面向量数量积的运算
5.0(3.1%)
11
34
直线与平面垂直的判定
12.0(7.5%)
19
35
独立性检验的应用
12.0(7.5%)
17
36
基本不等式在最值问题中的应用
5.0(3.1%)
16
37
利用导数研究函数的单调性
17.0(10.6%)
8,20
38
对数函数的单调性与特殊点
5.0(3.1%)
12
39
圆的标准方程
5.0(3.1%)
14
40
交集及其运算
5.0(3.1%)
1
41
余弦定理的应用
5.0(3.1%)
16
42
函数的图象与图象变化
5.0(3.1%)
5
43
正弦函数的图象
5.0(3.1%)
5
44
参数方程化成普通方程
10.0(6.3%)
22
45
换底公式的应用
5.0(3.1%)
12