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备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
【考点预测】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
题型四：其他不等式解法
题型五：二次函数根的分布问题
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【典例例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（m是常数）的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
【解析】(1)由题意，，
所以．
所以的解析式为．
(2)不等式等价于．
解得．
所以不等式的解集为．
例2．（2023·全国·高三专题练习）不等式组的解集为_________.
【答案】
【解析】原不等式组化简为
故答案为：.
例3．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，则___________．
【答案】
【解析】；
故答案为：
变式1．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．（用区间表示）
【答案】
【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
考点：一元二次不等式．
【方法技巧与总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
题型二：含参数一元二次不等式的解法
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【解析】因为方程的解为或，且，
所以不等式的解集是.
故选：D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
例6．（2023·全国·高三专题练习）若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】方程的两个根为和，
因为，所以，
故不等式的解集为．
故选：B．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可化为，
若，则不等式的解是，不等式的解集中不可能有个正整数；
若，则不等式的解集为空集，不合乎题意；
若，则不等式的解为，所以该不等式的解集中的个正整数分别是、、、，所以，.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．
故选：A．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，又解集中的整数有且仅有1，2，3，
所以解得：，即，
故答案为：．
【方法技巧与总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
例7．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则b的值为___．
【答案】
【解析】根据不等式的解集为，
可得方程的两个根为﹣2和3，且，
则，解得.
故答案为：．
例8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是，求不等式的解集．
【解析】由题意，不等式的解集是，
可得和是一元二次方程的两个实数根，
所以，解得，，
所以不等式化为，即，
解得，
∴不等式的解集为．
例9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则__________．
【答案】
【解析】由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且，
所以，，解得.
故答案为：.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，
故答案为：.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集是，则______.
【答案】1
【解析】因为关于的不等式的解集是，
所以是方程的两个根，
所以由根与系数的关系可得，得，
故答案为：1
变式7．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的解集是，，得，
则不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故选：D
【方法技巧与总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
题型四：其他不等式解法
例18．（2023·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，结合分式不等式的解法即可求解.
【详解】
由可得，整理可得：，则，解可得：.
所以不等式是的解集为: .
故答案为：.
例10．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
,
故答案为：.
例11．（2023·全国·高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式___________.
【答案】
【解析】
一个解集为的分式不等式可以是，
故答案为：.（答案不唯一）
【方法技巧与总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
题型五：二次函数根的分布问题
例12．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意，方程的两根都大于，
令，
可得，即，解得．
故答案为：.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【解析】方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
例14．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】的两个根都大于
，解得
可求得实数的取值范围为
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）为何值时，关于的方程 的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.
【解析】设函数由题意可得，方程有两根设为，对称轴 ，解得或
（1）由题意可得或
（2）由题意可得
（3）由题意可得
（4）由题意可得
（5）由题意可得或
【方法技巧与总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.
题型六：一元二次不等式恒成立问题
例15．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．
例16．（2023·全国·高三专题练习）关于实数x的不等式．
(1)若，求该不等式解集；
(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，原不等式即为：，
解得，所以不等式解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，
当时，恒成立，故满足题意；
当时，要使得不等式对一切实数恒成立，
则 即，解得；
综上：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
【解析】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）由（1）可知的解集为R，
所以，解得，
所以的取值范围为
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.
【解析】令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.
【方法技巧与总结】
分离参数或数形结合
【过关测试】
一、单选题
1．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
所以，.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】或，
所以.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习），，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】或，
，
或，
因为，
或，
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.
故选：A
5．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为
若，则，所以满足条件的集合的个数为．
故选：．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． 或 D．或
【答案】C
【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以1和3为方程的两个根，
由韦达定理有：，
所以，，且，
则，等价于，即，
故不等式的解集为.
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】原不等式即为，解得，故原不等式的解集为.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原不等式可整理为．
当时，不等式为，该不等式恒成立；
当时，必须满足，解得．
综上知实数的取值范围是．
故选：C
9．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知的解集为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】因为的解集为，
所以为方程的一个根，
所以．
故选:B．
10．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，开口向上，对称轴为直线，
所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，
即，得，
所以实数a的取值范围为，
故选：D
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【解析】由题设知，对应的，
即，故，
所以数值中，可取到的数为1，2.
故选：.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
13．（2023·全国·高三专题练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意，关于的不等式对恒成立，
则，解得，
对于选项A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；
对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
14．（2023·全国·高三专题练习）恒成立，a的值可以为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】BCD
【解析】恒成立，
即恒成立，
所以，
解得，
所以BCD符合，A不符合；
故选：BCD
15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，不等式的解集为，
故相应的二次函数的图象开口向下，
即，故A错误；
对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，
则有，，
又，故，故B，C正确；
对D，，
，
又，
，故D正确.
故选：BCD.
16．（2023·全国·高三专题练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
三、填空题
17．（2023·上海·高三专题练习）不等式的解集是____．
【答案】
【解析】不等式等价于，解得.
故不等式的解集为.
故答案为：.
18．（2023·全国·高三专题练习）若对恒成立，则实数a的取值范围为___.
【答案】
【解析】对恒成立，,
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】当时，不等式无解，满足题意；
当时，，解得；
综上，实数的取值范围是．
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】当时，不等式为有解，故，满足题意；
当时，若不等式有解，
则满足，解得或；
当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，
所以，
综上可得，实数a的取值范围是.
22．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________．
【答案】，
【解析】可化为，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
不等式的解集为，且；
故答案为：，．
四、解答题
23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】
根据与的包含关系，对参数分类讨论即可
（1）∵，
当时，，符合题意；
当时，，则或，∴；
当时，，符合题意；
综上，实数的取值范围为
（2）∵，由（1）得，，即.
实数的取值范围为.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为．求
(1)常数的值
(2)不等式的解
【解析】（1）因为不等式的解集为，
所以，的实数根为或，
所以，，解得，
所以，
（2）结合（1）知，故，
所以，即，
所以，不等式的解集为
25．（2023·全国·高三专题练习）请回答下列问题：若关于的不等式的解集为或，求，的值.
【解析】因为关于的不等式的解集为或，
所以和为方程的两根，
所以，解得
26．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求的最小值．
（2）求关于x的不等式的解集：．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8．
（2），
当时，不等式为，解集为，
时，不等式分解因式可得，
当时，故，此时解集为．
当时，，故此时解集为，
当时，可化为，又，
解集为．
当时，可化为，
又，解集为，
综上所述：时，解集为，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的函数．
(1)当时，求不等式的解集.
(2)当时，求不等式的解集.
【解析】（1）当时，，
由得：或，的解集为或.
（2）由得：，
当时，令，解得：，，
则由得：或，
的解集为.
28．（2023·全国·高三专题练习）设，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，可得，
可化为， 解得，
又由命题为真命题，则 .
所以，都为真命题时，则的取值范围是
（2）由，解得，
因为，且是的充分不必要条件，
即集合 是的真子集，
则满足 ，解得，所以实数的取值范围是.
29．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
【解析】由得，
∵，
当，即时，不等式的解为或.
当，即时，不等式的解为或，
当，即时，不等式的解，
所以当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时不等式的解集为.
专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
【考点预测】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
题型四：其他不等式解法
题型五：二次函数根的分布问题
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【典例例题】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（m是常数）的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
【解析】(1)由题意，，
所以．
所以的解析式为．
(2)不等式等价于．
解得．
所以不等式的解集为．
例2．（2023·全国·高三专题练习）不等式组的解集为_________.
【答案】
【解析】原不等式组化简为
故答案为：.
例3．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，则___________．
【答案】
【解析】；
故答案为：
变式1．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．（用区间表示）
【答案】
【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
考点：一元二次不等式．
【方法技巧与总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
题型二：含参数一元二次不等式的解法
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【解析】因为方程的解为或，且，
所以不等式的解集是.
故选：D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
例6．（2023·全国·高三专题练习）若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】方程的两个根为和，
因为，所以，
故不等式的解集为．
故选：B．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可化为，
若，则不等式的解是，不等式的解集中不可能有个正整数；
若，则不等式的解集为空集，不合乎题意；
若，则不等式的解为，所以该不等式的解集中的个正整数分别是、、、，所以，.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．
故选：A．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，又解集中的整数有且仅有1，2，3，
所以解得：，即，
故答案为：．
【方法技巧与总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
例7．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则b的值为___．
【答案】
【解析】根据不等式的解集为，
可得方程的两个根为﹣2和3，且，
则，解得.
故答案为：．
例8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是，求不等式的解集．
【解析】由题意，不等式的解集是，
可得和是一元二次方程的两个实数根，
所以，解得，，
所以不等式化为，即，
解得，
∴不等式的解集为．
例9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则__________．
【答案】
【解析】由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且，
所以，，解得.
故答案为：.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，
故答案为：.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集是，则______.
【答案】1
【解析】因为关于的不等式的解集是，
所以是方程的两个根，
所以由根与系数的关系可得，得，
故答案为：1
变式7．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的解集是，，得，
则不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故选：D
【方法技巧与总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
题型四：其他不等式解法
例18．（2023·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，结合分式不等式的解法即可求解.
【详解】
由可得，整理可得：，则，解可得：.
所以不等式是的解集为: .
故答案为：.
例10．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
,
故答案为：.
例11．（2023·全国·高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式___________.
【答案】
【解析】
一个解集为的分式不等式可以是，
故答案为：.（答案不唯一）
【方法技巧与总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
题型五：二次函数根的分布问题
例12．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意，方程的两根都大于，
令，
可得，即，解得．
故答案为：.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【解析】方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
例14．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】的两个根都大于
，解得
可求得实数的取值范围为
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）为何值时，关于的方程 的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.
【解析】设函数由题意可得，方程有两根设为，对称轴 ，解得或
（1）由题意可得或
（2）由题意可得
（3）由题意可得
（4）由题意可得
（5）由题意可得或
【方法技巧与总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.
题型六：一元二次不等式恒成立问题
例15．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．
例16．（2023·全国·高三专题练习）关于实数x的不等式．
(1)若，求该不等式解集；
(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，原不等式即为：，
解得，所以不等式解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，
当时，恒成立，故满足题意；
当时，要使得不等式对一切实数恒成立，
则 即，解得；
综上：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
【解析】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）由（1）可知的解集为R，
所以，解得，
所以的取值范围为
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.
【解析】令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.
【方法技巧与总结】
分离参数或数形结合
【过关测试】
一、单选题
1．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
所以，.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】或，
所以.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习），，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】或，
，
或，
因为，
或，
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.
故选：A
5．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为
若，则，所以满足条件的集合的个数为．
故选：．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． 或 D．或
【答案】C
【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以1和3为方程的两个根，
由韦达定理有：，
所以，，且，
则，等价于，即，
故不等式的解集为.
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】原不等式即为，解得，故原不等式的解集为.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原不等式可整理为．
当时，不等式为，该不等式恒成立；
当时，必须满足，解得．
综上知实数的取值范围是．
故选：C
9．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知的解集为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】因为的解集为，
所以为方程的一个根，
所以．
故选:B．
10．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，开口向上，对称轴为直线，
所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，
即，得，
所以实数a的取值范围为，
故选：D
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【解析】由题设知，对应的，
即，故，
所以数值中，可取到的数为1，2.
故选：.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
13．（2023·全国·高三专题练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意，关于的不等式对恒成立，
则，解得，
对于选项A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；
对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
14．（2023·全国·高三专题练习）恒成立，a的值可以为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】BCD
【解析】恒成立，
即恒成立，
所以，
解得，
所以BCD符合，A不符合；
故选：BCD
15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，不等式的解集为，
故相应的二次函数的图象开口向下，
即，故A错误；
对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，
则有，，
又，故，故B，C正确；
对D，，
，
又，
，故D正确.
故选：BCD.
16．（2023·全国·高三专题练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
三、填空题
17．（2023·上海·高三专题练习）不等式的解集是____．
【答案】
【解析】不等式等价于，解得.
故不等式的解集为.
故答案为：.
18．（2023·全国·高三专题练习）若对恒成立，则实数a的取值范围为___.
【答案】
【解析】对恒成立，,
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】当时，不等式无解，满足题意；
当时，，解得；
综上，实数的取值范围是．
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】当时，不等式为有解，故，满足题意；
当时，若不等式有解，
则满足，解得或；
当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，
所以，
综上可得，实数a的取值范围是.
22．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________．
【答案】，
【解析】可化为，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
不等式的解集为，且；
故答案为：，．
四、解答题
23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】
根据与的包含关系，对参数分类讨论即可
（1）∵，
当时，，符合题意；
当时，，则或，∴；
当时，，符合题意；
综上，实数的取值范围为
（2）∵，由（1）得，，即.
实数的取值范围为.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为．求
(1)常数的值
(2)不等式的解
【解析】（1）因为不等式的解集为，
所以，的实数根为或，
所以，，解得，
所以，
（2）结合（1）知，故，
所以，即，
所以，不等式的解集为
25．（2023·全国·高三专题练习）请回答下列问题：若关于的不等式的解集为或，求，的值.
【解析】因为关于的不等式的解集为或，
所以和为方程的两根，
所以，解得
26．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求的最小值．
（2）求关于x的不等式的解集：．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8．
（2），
当时，不等式为，解集为，
时，不等式分解因式可得，
当时，故，此时解集为．
当时，，故此时解集为，
当时，可化为，又，
解集为．
当时，可化为，
又，解集为，
综上所述：时，解集为，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的函数．
(1)当时，求不等式的解集.
(2)当时，求不等式的解集.
【解析】（1）当时，，
由得：或，的解集为或.
（2）由得：，
当时，令，解得：，，
则由得：或，
的解集为.
28．（2023·全国·高三专题练习）设，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，可得，
可化为， 解得，
又由命题为真命题，则 .
所以，都为真命题时，则的取值范围是
（2）由，解得，
因为，且是的充分不必要条件，
即集合 是的真子集，
则满足 ，解得，所以实数的取值范围是.
29．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
【解析】由得，
∵，
当，即时，不等式的解为或.
当，即时，不等式的解为或，
当，即时，不等式的解，
所以当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时不等式的解集为.
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