备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题06 函数的概念

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专题06函数的概念
【考点预测】
1、函数的概念
（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
（3）函数表示法：函数书写方式为，
（4）函数三要素：定义域、值域、对应法则．
（5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同．
2、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
3、基本初等函数的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
4、分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【题型归纳目录】
题型一：函数的概念
题型二：同一函数的判断
题型三：给出函数解析式求解定义域
题型四：抽象函数定义域
题型五：函数定义域的应用
题型六：函数解析式的求法
1、待定系数法（函数类型确定）
2、换元法或配凑法（适用于了型）
3、方程组法
题型七：函数值域的求解
1、观察法
2、配方法
3、图像法
4、基本不等式法
5、换元法
6、分离常数法
7、判别式法
题型八：分段函数的应用
【典例例题】
题型一：函数的概念
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数的图象的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求
故选：D
例2．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，不满足：的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A中，B中，C中，D中
例3．（2023·全国·高三专题练习）下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对A，由得是函数关系；
对B，由，得是函数关系；
对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系；
对D，由，得是函数关系，
故选：C
变式1．（2023春·福建龙岩·高三校考阶段练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（    ）

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.
故选：C.
【方法技巧与总结】
利用函数概念判断
题型二：同一函数的判断
例4．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A选项，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；
对于B选项，的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C选项，，的定义域为，，的定义域为，定义域和对应关系都不相同，所以两个函数不是同一函数；
对于D选项，，，定义域、值域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数.
故选：D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
例6．（2023·全国·高三专题练习）以下各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A，，对应法则不同，故不是同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；
对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数；
对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.
故选：C．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】对于A，两个函数的定义域都是，
，对应关系完全一致，
所以两函数是相同函数，故A符合题意；
对于B，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故D不符题意.
故选：A.
【方法技巧与总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
题型三：给出函数解析式求解定义域
例7．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得： 解得，即的定义域为.
故选：C.
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数需满足，解得，所以函数的定义域为.
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，解得：且.
故选：C
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的定义域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，解得，的定义域为，由，解得，的定义域为，
故选D.
【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
题型四：抽象函数定义域
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵的定义域为，∴，∴，
在中，解得，
所以函数的定义域为．
故选：B
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵函数的定义域为，
∴，则，
即的定义域为，
由，得，
∴的定义域是，
故选：A
【方法技巧与总结】
1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五：函数定义域的应用
例13．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立.
当时，当时，，
所以不等式在上恒成立显然不成立，
当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：在上恒成立.
即时，恒成立，符合题意，
时，只需，
解得：，
综上：，
故选：C.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵的定义域为，
∴只需分母不为即可，即恒成立，
（1）当时，恒成立，满足题意，
（2）当时，，解得，
综上可得.
故选：B.
【方法技巧与总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
题型六：函数解析式的求法
1、待定系数法（函数类型确定）
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________
【答案】或.
【解析】因为为一次函数，所以设，
所以，
因为，所以恒成立，
所以，解得：或，
所以或，
故答案为：或.
例17．（2023·四川绵阳·绵阳中学实验学校校考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②；
③任取，，，．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题设，在上单调递增且为偶函数，，
结合对数的运算性质及对数函数的性质，易知：或等符合要求.
故答案为：（答案不唯一）
例18．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．
（2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式．
【解析】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，
∴解得∴f（x）＝－2x－9.
（2） 设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g（x）＝3x2－2x.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数，且满足，，，求函数的解析式.
【解析】设，
，关于对称，即；
又，，，解得：
.
2、换元法或配凑法（适用于了型）
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知，求.
【解析】，
令，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，
，，
，
变式9．（2023·全国·高三专题练习），则_______．
【答案】
【解析】令，
于是有，
故答案为：
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则_______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
故答案为：
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则的表达式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则且，所以，，因此，.
故选：B.
3、方程组法
变式12．（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数，均有，求___________
【答案】
【解析】∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为：.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的解析式___________.
【答案】，.
【解析】因为，
所以，
消去解得，
故答案为：，.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足，且，则________．
【答案】
【解析】由，可知，联立可得，所以，又因为，所以，所以.
故答案为：
【方法技巧与总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法．
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
题型七：函数值域的求解
1、观察法
例19．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，故函数的值域.
故选：C.
例20．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．
【详解】
解：函数的值域为，，故排除；
函数的值域为，故排除；
函数的值域为，故满足条件；
函数的值域为，，故排除，
故选：．
例21．（2023·浙江·高三专题练习）下列函数中，函数值域为的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
对于选项，函数的值域为，所以选项错误；
对于选项，函数，所以函数的值域为，所以选项正确；
对于选项函数的值域为,所以选项错误；
对于选项，函数的值域为，所以选项错误.
故选：B
2、配方法
变式15．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，
故选：B.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，，满足，，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，
因为可得：，
所以，即 ，
因为，当时取得最小值，
所以，
所以的最大值为，
故选：C.
3、图像法
变式17．（2023·全国·高三专题练习）函数，的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，故作出其函数图象如下所示：

由图，结合二次函数的性质，可知：
，，
故其值域为.
故选：B.
4、基本不等式法
变式18．（2023·河南·模拟预测（文））下列函数中最小值为6的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
A. ，最小值为5，故错误；
B. 令，则在上递减，其最小值为10，故错误；
C. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
D. 当时，，显然不成立，故错误；
故选：C
变式19．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．
【答案】
【解析】
函数
，
当，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为，
故答案为.
5、换元法
变式20．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：令，
当时，，又，
所以，，即
所以，
故选：D．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：令，可得，
可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，
当时，，故函数的值域为，
故选：B.
变式22．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：令，则，
原函数即为：，
对称轴方程为，可知，
函数值域为．
故选：C．
6、分离常数法
变式23．（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【答案】D
【解析】
解：，
∴y，
∴该函数的值域为．
故选：D．
变式24．（2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数的值域（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．
7、判别式法
变式25．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
变式26．（2023·浙江杭州·高一期中）函数的值域是___________.
【答案】
【解析】
解：，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：
解得：
所以函数的值域为.
故答案为：
【方法技巧与总结】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．
题型八：分段函数的应用
例22．（2023·青海海东·统考一模）若函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，则.
故选：C.
例23．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①当时，，此时，不合题意；
②当时，，可化为，所以，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：B．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C
变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A． B．2 C．5 D．3
【答案】A
【解析】由题意可知，f(－2022)＝f(－2019)＝…＝f(－3)＝f(0)＝log3(0＋1)－2＝－2．
故选：A．
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若，则m的值为（    ）
A． B．2 C．9 D．2或9
【答案】C
【解析】∵函数，，
∴或，
解得.
故选：C.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）知函数，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，单调递减，因此有
当时，单调递减，因此有
又，则函数在上连续，则函数在上单调递减.
由，可得，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D
【方法技巧与总结】
1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．

【过关测试】
一、单选题
1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数满足，则的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
所以，
故选：A．
2．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，则（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】∵，∴．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，当时，没有对应的图像，不符合题意；
对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；
对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；
对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则函数的图象是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，当，即时，；
当，即时，
所以
结合函数图象可知：自变量的分界线为，故排除A,C,D
故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】设函数，则.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，
当时函数单调递减，且，
当时函数单调递减，且，
所以函数在上是单调递减，
所以不等式等价于，解得．
即不等式的解集为；
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，或，
，故，
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，令，则，
所以，因此，.
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．
故选：A
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（    ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【解析】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
12．（2023·全国·高三专题练习）集合与对应关系如下图所示：下列说法正确的是（    ）

A．是从集合到集合的函数
B．不是从集合到集合的函数
C．的定义域为集合，值域为集合
D．
【答案】AD
【解析】选项A，对于集合A中的每个元素都有唯一的数对应，符合函数定义，正确；
选项B，由选项A分析，错误；
选项C，的定义域为集合，值域为集合，为集合B的真子集，错误；
选项D，，故，正确
故选：AD
13．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（   ）

A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
【答案】BD
【解析】由图象知：
A.函数的定义域为，故错误；
B.函数的值域为，故正确；
C. 函数在，上递增，但在定义域内不单调，故错误；
D.对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，故正确；
故选：BD
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列叙述正确的是（    ）
A．的值域为 B．在区间上单调递增
C． D．若，则的最小值为-3
【答案】BCD
【解析】函数，
A. 的值域为，故错误；
B. 在区间上单调递增，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为，则的最小值为，故正确；
故选：BCD
15．（2023·全国·高三专题练习）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（    ）

A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
【答案】ABC
【解析】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确；
当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确；
易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确；
当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.
故选：ABC.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
17．（2023·全国·高三专题练习）下列各对函数中是同一函数的是（    ） ．
A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0
B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；
D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
【答案】BD
【解析】A.函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数的定义域是，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
B.f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；
C.f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；
D.f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数．
故选：BD
三、填空题
18．（2023·北京·高三专题练习）函数的定义域是________．
【答案】
【解析】要使函数有意义，需满足，解得且，故该函数定义域为.
故答案为：.
19．（2023·上海·高三专题练习）函数的定义域为___．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，解得，所以，所以函数的定义域为．
故答案为：．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】当时，，解得，于是得：，
当时，，解得，于是得，
所以的解集为．
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则________.
【答案】
【解析】因为，则.
故答案为：.
22．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域是______________（用区间表示）
【答案】
【解析】当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以，
当时，，为单调递减函数，
所以，
综上：，即的值域为.
故答案为：
四、解答题
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求.
【解析】因为,对任意，都有，，
所以，，
．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
【解析】(1)函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
(2)函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求的值；
(2)对函数，若存在点，使得，求实数的值．
【解析】（1）由，
得，
所以
（2）由，
当时，则，解得（舍去），
当时，则，解得，
当时，则恒成立，
综上所述，实数的值为或.
26．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【解析】因为，又，
所以，
所以函数的值域为.
27．（2023春·新疆·高三八一中学校考阶段练习）求解下列问题：
(1)已知是一次函数，且满足，求的解析式.
(2)已知是定义在上的偶函数，当时，.
①求的值；
②求的解析式.
【解析】（1）设，依题意，
所以，即，
所以，解得，
所以，
（2）依题意是定义在上的偶函数，当时，.
①，
②当时，，
所以，
所以.
28．（2023春·贵州黔西·高三校考阶段练习）在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
【解析】（1）选条件①.
设，
则.
因为，所以，
所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），
所以，得.故.
选条件②.
设，
则函数图像的对称轴为直线.
由题意可得，解得.故.
选条件③
设.
因为，所以.
因为恒成立，所以，解得，
故.
（2）由（1）可知.因为，所以，
所以.所以在上的值域为.