备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题08 幂函数与二次函数

专题08 幂函数与二次函数 【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程的实根分布及条件题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【考点预测】1、幂函数的定义一般地，（为有理数）的函数，即以 HYPERLINK "https://baike.baidu.com/item/%E5%BA%95%E6%95%B0/5416651" \t "https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank" 底数为 HYPERLINK "https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E5%8F%98%E9%87%8F/6895256" \t "https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank" 自变量，幂为 HYPERLINK "https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%A0%E5%8F%98%E9%87%8F" \t "https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank" 因变量， HYPERLINK "https://baike.baidu.com/item/%E6%8C%87%E6%95%B0/3519666" \t "https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank" 指数为常数的函数称为幂函数．2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数．（3）幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．5、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．（1）单调性与最值O图2-9O图2-8 = 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；．（2）与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，．6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．【方法技巧与总结】1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3、一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．4、有关二次函数的问题，关键是利用图像．（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论．（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负．【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像【方法技巧与总结】确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负．当时，底数是非零的．例1．（2023·全国·高三专题练习）已知为幂函数， 且， 则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为幂函数，设，则，所以，可得，则.故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）A． B．C．或 D．【答案】A【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数，所以解得：.故选：A.例3．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B变式1．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（    ）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【解析】因为是幂函数，所以，解得或，当时，在上为减函数，不符合题意，当时，在上为增函数，符合题意，所以.故选：D.变式2．（2023·全国·高三专题练习）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.【答案】1【解析】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故故答案为：题型二：幂函数性质的综合应用【方法技巧与总结】紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数．例4．（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ）A．或 B．或 C．或 D．、或【答案】A【解析】因为定义域为，所以，，又函数为奇函数，所以，则满足条件的或.故选:A例5．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】A. 函数的定义域为，值域为R；B. 函数的定义域为R，值域为；C. 函数的定义域为R，值域为R；D. 函数的定义域为，值域为，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】幂函数的图像过点，，解得，， 的值域是.故选：D.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或．又的图像关于y轴对称，所以，故．（2）由（1）可知，．因为，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故在上的值域为．变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列结论中正确的是（    ）A．幂函数的图像都经过点，B．幂函数的图像不经过第四象限C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数【答案】BC【解析】A选项，当指数时，幂函数的图像不经过原点，故A错误；B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确；C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确；D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误.故选：BC变式5．（2023·上海·高三专题练习）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．【答案】【解析】∵，幂函数为奇函数，且在上递减，∴是奇数，且，∴．故答案为：变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．上述结论正确的是__（填序号）．【答案】①【解析】由于函数是幂函数，故，解得或．由于对任意的，，且，满足，所以函数在上为增函数，当时，符合题意，当时，不符合题意，故，且函数为奇函数．由于，，且，所以，由于函数为单调递增函数和奇函数，故，所以，所以，故答案为：①变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______．【答案】【解析】因为幂函数为奇函数，所以或1或3，又因为幂函数在上单调递减，所以，故答案为：.题型三：二次方程的实根分布及条件【方法技巧与总结】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围．例7．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．【答案】.【解析】方程  方程两根为，若要满足题意，则，解得，故答案为：.例8．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，设，根据二次函数的性质，可得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－