备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题19 三角恒等变换

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知识点一：两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
知识点二：二倍角公式
①；
②；
③；
知识点三：降次（幂）公式
知识点四：辅助角公式
（其中）．
【方法技巧与总结】
1、两角和与差正切公式变形
；
．
2、降幂公式与升幂公式
；
．
【题型归纳目录】
题型一：两角和与差公式的证明
题型二：给式求值
题型三：给值求值
题型四：给值求角
题型五：正切恒等式及求非特殊角
【典例例题】
题型一：给式求值
【方法技巧与总结】
给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
例2．（2023·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
则，
，
∴
，
故选A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
故选：C.
题型二：给值求值
【方法技巧与总结】
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.
例4．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B．
例5．（2023·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又，
所以，
所以。
即，所以
故选：B
例6．（2023·广东茂名·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
故选：B.
题型三：给值求角
【方法技巧与总结】
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.
例7．（2023·全国·高三专题练习）若，，且，，则的值是______．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，，所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
例8．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，且，求的值为_____．
【答案】
【解析】，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
例9．（2023·上海市大同中学高三开学考试）若，且，则的值为___________.
【答案】或
【解析】由题意知，
则，
即，
当时，，即，
由，得；
当时，，
所以，即，
由，得，所以，得.
故答案为：或
题型四：正切恒等式及求非特殊角
例10．（2023·重庆八中高三阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
．
故选：A．
例11．（2023·全国·高三专题练习）___________.
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
例12．（2023·贵州黔东南·一模）若，，则___________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以
故选：C
2．（2023·重庆北碚·高一统考期末）若，都是锐角，且，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】，都是锐角，则，
则由题意得，又，
．
故选：A．
3．（2023·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
4．（2023·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
得，
即，
解得，或（舍去），
，
则，
则，
故选：D.
5．（2023·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）锐角满足，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】由，有， 为锐角，，得，
∴.
故选：A.
6．（2023·山西吕梁·高一统考期末）若，则（ ）
A．B．C．－D．－3
【答案】D
【解析】因为，
所以，
即，
所以，
所以.
故选：D.
7．（2023·江西新余·高三统考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
故选：B.
8．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知A,B,C分别是的内角，，，则C的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为A,B,C分别是的内角，，所以B为锐角，
所以.
又，所以，
而，所以，.
故选：A.
9．（2023·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）化简的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】原式
.
故选：D.
10．（2023·广东广州·高一校考期末）若是方程的两个根，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】因为是方程的两个根，
由韦达定理得，，
所以，
故选：C
二、多选题
11．（2023·广东深圳·高三统考期末）下列等式能够成立的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A：，A错误；
对于B：，B正确；
对于C：，C正确；
对于D：，D错误.
故选：BC.
12．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：ABC
13．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由题意得，
所以，
所以的值可能为，．
故选：AC
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项错误；
对于C选项，，故C选项正确；
对于D选项，，故D选项正确.
故选：ACD
三、填空题
15．（2023·全国·高一专题练习）若、为锐角，且满足，，则的值为______．
【答案】
【解析】因为、是锐角，且，即，
由同角三角函数关系得：，则，
所以，
故答案为：.
16．（2023·湖南益阳·高一校联考期末）已知，若，则 ____．
【答案】
【解析】由，得，∴.
故答案为：
17．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）______．
【答案】1
【解析】因为，
所以．
故答案为：1.
18．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知，则__________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
故答案为：
四、解答题
19．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）在单位圆中，角的终边与单位圆的交点为，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）由A在单位圆上，则，又，
则，则，，则；
（2），又，
则.
20．（2023·山西吕梁·高一统考期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角满足，求的值．
【解析】（1）由角的终边过点，可得，
所以；
（2）由，可得，
由，得，
当时，，
当时，，
所以或.
21．（2023·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）
（2）
又
22．（2023·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）（1）设，且求角的值；
（2）已知，且，求的值．
【解析】（1），且
，，
，
又因为，所以，
由得，
则，
即有．
23．（2023·安徽·高一校联考期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1），得；
.
（2）且得.
则，
因为，
又，得，
所以.
24．（2023·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）已知，为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1），为锐角，，∴，
，∴，则，
则
（2）
25．（2023·北京朝阳·高一统考期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．
(1)求和的值；
(2)求的值．
【解析】（1）由题意得，
所以；
（2），
所以，
所以.