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备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题29 排列组合
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这是一份备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题29 排列组合，文件包含专题29排列组合解析版docx、专题29排列组合原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
专题29 排列组合
【考点预测】
知识点1、排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
知识点2、组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点3、排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
【典例例题】
例1．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）种．
A．12 B．36 C．48 D．72
【答案】C
【解析】如果只用了3种颜色，则ABD三块区域颜色必两两不同，C区域必与A相同，
则涂法有种；
如果用了全部4种颜色，则涂法有种；
所以总共有种涂法.
故选：C.
例2．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（ ）
A．540种 B．360种 C．180种 D．120种
【答案】B
【解析】每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同,故三个社区分配到志愿者的人数为，故共有种.
故选：B
例3．（2023·辽宁营口·高二统考期末）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种
A．120 B．180 C．405 D．781
【答案】C
【解析】由题意，先选一名学生分配到地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，方法数为，
故选：C．
例4．（2023·河南南阳·高二统考期末）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（ ）
A．120种 B．216种 C．240种 D．432种
【答案】B
【解析】依题意，
情况一：甲，乙单独作为一组，剩余3人分成2组，
则有种方案；
情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他2人作为3组，
则有种方案；
情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组，
则有种方案；
所以总共的方案为：种.
故选：B.
例5．（多选题）（2023·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则正整数x的值是1
【答案】ABC
【解析】选项A，因为，故A正确；
选项B，，故B正确；
选项C，由，
，得，故C正确；
选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.
故选：ABC.
例6．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有_____________种.
【答案】11
【解析】根据分类加法计数原理得不同的选法共有种.
故答案为：11.
例7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．
【答案】8
【解析】先将乙、丙班排序，并绑在一起，看成一个元素，有种方案，
此时考虑将甲，丁及乙、丙的整体3个元素排序，
由于甲班不能排在最后，故将甲班选取1个位置安排，有种方案，
最后，再将丁及乙、丙的整体安排在剩下的两个位置上，有种方案，
所以，根据乘法原理，共有种方案.
故答案为：
例8．（2023·陕西榆林·统考一模）自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若用欧拉数的前6位数字设置一个六位数的密码，则不同的密码共有__________个.
【答案】180
【解析】因为2出现2次，8出现2次，
所以不同的密码共有个.
故答案为：180.
例9．（2023·广东汕头·高三校考阶段练习）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为___．
【答案】44
【解析】若尾数为1，前三位的数字为，或，或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，故共有个完美四位数，
若前三位数字为时，则有个完美四位数；
若尾数为3，前三位的数字为，或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，故共有个完美四位数，
若前三位数字为时，有个完美四位数；
若尾数为5，若前三位数字为或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，共有个完美四位数，
若尾数为7，若前三位数字为时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，有个完美四位数；
综上所述：共有个完美四位数.
故答案为：44
例10．（2023·高三课时练习）已知，则_________.
【答案】2或3
【解析】，
，又，
所以或.
故答案为：2或3.
例11．（2023·全国·高三对口高考）计算的值为_________.
【答案】466
【解析】依题意，，解得，而，于是得，
所以，原式.
故答案为：466
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
【答案】A
【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.
故选：A.
2．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高､跳远､铅球､跑步4项比赛的冠军的可能结果有种，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】每名同学报名有4种选择，5名同学报名就有种选择，所以；
每项冠军归属结果有5种可能，4项冠军则有种可能结果，所以，
所以.
故选：A．
3．（2023·高二课时练习）如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A．180 B．160 C．96 D．60
【答案】A
【解析】首先对①进行涂色，有5种方法，
然后对②进行涂色，有4种方法，
然后对③进行涂色，有3种方法，
然后对④进行涂色，有3种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为
种
故选:A
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
【答案】D
【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；
当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为种，
故选：.
5．（2023·山西太原·高三统考期末）某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（ ）
A．96 B．120 C．240 D．360
【答案】B
【解析】第一步，先从两首合唱歌曲中选一首按排在最后的方法有种
第二步，从其余的歌曲中选三首歌曲安排在前三位的方法有种
则不同的安排方法种数为：
故选：B
6．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
【答案】D
【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有方法，
故2个8不相邻的情况有种.
故选：D
7．（2023·广西·统考模拟预测）将3个1和2个0随机排成一行,则共有多少种方法（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
【答案】C
【解析】解:由题知3个1和2个0随机排成一行,
即有5个位置留给1和0,
在5个位置中挑出3个给1,剩下的填0即可,
即,
故选:A
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．11
【答案】C
【解析】从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形有两类：
第一类，两个中点和一个顶点构成的三角形，共有（个）；
第二类，三个中点构成的三角形，共有（个），
由分类加法计数原理，知面积为的三角形的个数为．
故选：C．
9．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（ ）
A．150 B．90 C．60 D．15
【答案】B
【解析】将5名大学生分为1，2，2三组，共有种方法，
则将这三组分配给观看冰球，速滑，花滑三场比赛，共有种方法，
则这5人观看比赛的方案种数为90种，
故选：B
10．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．1918 B．11508 C．12708 D．18
【答案】B
【解析】分组方法共有，，三种情况，
所以分配方法共有.
故选:B.
11．（2023·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，10月17日各代表团分组讨论党的二十大报告．某媒体5名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每名记者只去1个小组，每个小组最多两名记者，若记者不去甲组，则不同的安排方法共有（ ）
A．15种 B．30种 C．60种 D．90种
【答案】C
【解析】解法1：若去乙组（或丙组），且该组只安排1人，剩下4名记者按2，2分组，再分配到另两个小组，不同的安排方法共有种；若去乙组（或丙组），且该组安排2人，从4人选1人在该组，剩下3人按2，1分组，再分配到另两个小组，不同的安排方法共有种．∴不同的安排方法有．
解法2：若甲组安排1人，不同的安排方法共有种；若甲组安排2人，不同的安排方法共有种．∴不同的安排方法有．
故选：C．
12．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．360种 B．240种 C．150种 D．90种
【答案】C
【解析】5名宣讲员分配到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为，或两种情况.
先分组，
再将分好组人员分配到3个社区有，
所以不同的分配方案共有．
故选：C．
13．（2023·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种 B．420种 C．120种 D．15种
【答案】D
【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，
再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，
故选: D
14．（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（ ）
A．25种 B．50种 C．300种 D．150种
【答案】D
【解析】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；
②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.
综上，选法共有.
故选:D.
二、多选题
15．（2023·辽宁营口·高二统考期末）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（ ）
A．高二六班一定参加的选法有种
B．高一年级恰有2个班级的选法有种
C．高一年级最多有2个班级的选法为种
D．高一年级最多有2个班级的选法为种
【答案】BCD
【解析】对于A：高二六班一定参加的选法有种，故A错误；
对于B：高一年级恰有2个班级的选法有种，故B正确；
对于C与D：从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，
其中若高一年级0个，高二年级5个，有种，
其中若高一年级1个，高二年级4个，有种，
其中若高一年级2个，高二年级3个，有种，
其中若高一年级3个，高二年级2个，有种，
其中若高一年级4个，高二年级1个，有种，
其中若高一年级5个，高二年级0个，有种，
则，
则，
而高一年级最多有2个班级的选法为种，故C与 D都正确；
故选：BCD.
16．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考开学考试）在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（ ）
A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种
B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种
C．“其中没有次品”的抽法有56种
D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种
【答案】BD
【解析】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；
抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；
抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．
故选：BD
三、填空题
17．（2023·辽宁营口·高二统考期末）为了迎接节日，商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，共有______种不同的悬挂方式.（用数字作答）
【答案】1680
【解析】商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，
先从9个位置中选3个，挂红色彩灯，有种，
再从剩下的6个位置中选3个，挂黄色彩灯，有种，
最后从剩下的3个位置中选3个，挂蓝色彩灯，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种，
故答案为：1680.
18．（2023·广东广州·统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答）
【答案】144
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，
有种情况，
②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，
有种情况，
则有种排法，
故答案为：144．
19．（2023·高三课时练习）展会期间，要安排位志愿者到个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排个人，剩下两个展区各安排个人，不同的安排方案共有_________种.
【答案】
【解析】第步，从位志愿者中，选出人，安排到甲展区提供服务，有种方法；
第步，从剩下的位志愿者中，选出人，安排到乙展区提供服务，有种方法；
第步，从剩下的位志愿者中，选出人，安排到第个展区提供服务，有种方法；
第步，将剩下的位志愿者安排到第个展区提供服务，有种方法，
∴不同的安排方案共有种.
故答案为：.
20．（2023·高三课时练习）将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只能填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有_________种.
【答案】576
【解析】福字有16种填写方法，禄字有9种填写方法，寿字有4种填写方法，
所以不同的填写方法有种，
故答案为：576
21．（2023·全国·模拟预测）由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.
【答案】
【解析】能被整除的三位数说明末尾数字是或
当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；
当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；
则一共有种
故答案为：
22．（2023·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，从中选出3人，并指派1人唱歌，另2人跳舞，则不同的选派方法有__________ 种．
【答案】48
【解析】因为有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，
所以既会唱歌又会跳舞的有人，
所以只会唱歌的有人，只会跳舞的有人
从只会唱歌的里选人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的5人中选人跳舞有种
所以此种情况有种；
从既会唱歌又会跳舞的人选1人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的4人中选人跳舞有种，
所以此种情况有种；
综上不同的选派方法有种.
故答案为：48
23．（2023·高二课时练习）有4名男生3名女生共七人排成一排照相，要求3名女生各不相邻的排法有______种．
【答案】1440
【解析】先排男生有种排法，把3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，所以有种排法.
故答案为：1440
24．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每项竞赛只需其中一位学生参加，有______种参赛情况．
【答案】64
【解析】根据题意，每一项竞赛都有4位同学可以选择，故有种参赛情况.
故答案为：
25．（2023·高二课时练习）A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有______种．
【答案】24
【解析】根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；
将A、B与其他3个元素，共4个元素全排列，有种排法，
则符合条件的排法有1×24=24种；
故答案为：24．
26．（2023·江西上饶·高二统考期末）共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.
【答案】
【解析】必须相邻且在的右边,可将捆绑在一起并且不用排序，
则6人的排列方法种数共有种.
故答案为：.
27．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有_________种站法
【答案】96
【解析】由题意排除两名男生相邻且排在两端即得结果，排法数为．
故答案为：96.
28．（2023·全国·高三对口高考）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
【答案】1296
【解析】若取出的数字中不含零，则有四位数个；
若取出的数字中含零，则有四位数个；
所以，这样的四位数有个．
故答案为：1296．
29．（2023·陕西西安·校考模拟预测）某重点高中选派3名男教师和2名女教师去支教，将5人分配到3所学校每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为________种.
【答案】
【解析】两名女教师分到同一所学校，
当学校的人数分组为时，其中3人组中2位女教师1位男教师，则方法数有种.
当学校的人数分组为时，其中2位女教师、2位男教师各成一组，则方法数有种.
所以共有种
故答案为：
30．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一本，则不同的分配方法___________.
【答案】
【解析】若有一人3本，三人1本，有种分配方法；
若有两人2本，两人1本，有种分配方法；
则共有种分配方法.
故答案为：
31．（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
【答案】10
【解析】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，共有种分配方法.
故答案为：.
32．（2023·山东滨州·高三统考期末）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种
【答案】420
【解析】先从7个人中选2人调整到前排有种选法，
调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由种站法，
其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，
按照乘法计数原理得总共有种方法.
故答案为：420
四、解答题
33．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．
(1)能被25整除的数；
(2)十位数字比个位数字大的数．
【解析】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有（个）．
（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有（个）．
34．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；
（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；
（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，
再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择，
综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种；
（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，
选出一个空盒，有种情况，
将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有种情况，
综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有种选择.
35．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？
【解析】（1）由于书架上有本书，
则从中任取一本，共有14种不同的取法.
（2）由题意分步完成，
第一步：取任取一本数学书，有3种取法；
第二步：取任取一本语文书，有5种取法；
第三步：取任取一本英语书，有6种取法；
由分步乘法计数原理得共有种不同的取法.
（3）取两本不同科目的数，可以分三种情况：
①一本数学书和一本语文书，有种情况；
②一本数学书和一本英语书，有种情况；
③一本语文书和一本英语书，有种情况；
根据分类加法计数原理，共有种情况.
36．（2023·高三课时练习）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
【解析】（1）从人中选人排列，有
（种）方法.
（2）分两步完成，先选人站前排，
有种方法，余下人站后排，有种方法，
则共有（种）方法.
（3）先排甲，有种方法，其余六人有种，
则共有（种）方法.
（4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与名男生全排列，
有种方法，再将女生全排列，有种方法，
则共有（种）方法.
（5）（插空法）：先排女生，有种方法，
再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，
有种方法，则共有（种）方法.
（6）把甲乙及中间三人看作一个整体，
第一步先排甲乙两人有种方法，
再从剩下的人中选人排到中间，有种方法，
最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列，
有种，共有（种）方法.
（7）（消序法）：（种）方法.
（8）（间接法）：无限制排法有种，
其中甲或乙在最左端或在最右端有种，
是甲在最左端且乙在最右端的排法，
共有（种）方法.
专题29 排列组合
【考点预测】
知识点1、排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
知识点2、组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点3、排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
【典例例题】
例1．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）种．
A．12 B．36 C．48 D．72
【答案】C
【解析】如果只用了3种颜色，则ABD三块区域颜色必两两不同，C区域必与A相同，
则涂法有种；
如果用了全部4种颜色，则涂法有种；
所以总共有种涂法.
故选：C.
例2．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（ ）
A．540种 B．360种 C．180种 D．120种
【答案】B
【解析】每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同,故三个社区分配到志愿者的人数为，故共有种.
故选：B
例3．（2023·辽宁营口·高二统考期末）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种
A．120 B．180 C．405 D．781
【答案】C
【解析】由题意，先选一名学生分配到地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，方法数为，
故选：C．
例4．（2023·河南南阳·高二统考期末）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（ ）
A．120种 B．216种 C．240种 D．432种
【答案】B
【解析】依题意，
情况一：甲，乙单独作为一组，剩余3人分成2组，
则有种方案；
情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他2人作为3组，
则有种方案；
情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组，
则有种方案；
所以总共的方案为：种.
故选：B.
例5．（多选题）（2023·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则正整数x的值是1
【答案】ABC
【解析】选项A，因为，故A正确；
选项B，，故B正确；
选项C，由，
，得，故C正确；
选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.
故选：ABC.
例6．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有_____________种.
【答案】11
【解析】根据分类加法计数原理得不同的选法共有种.
故答案为：11.
例7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．
【答案】8
【解析】先将乙、丙班排序，并绑在一起，看成一个元素，有种方案，
此时考虑将甲，丁及乙、丙的整体3个元素排序，
由于甲班不能排在最后，故将甲班选取1个位置安排，有种方案，
最后，再将丁及乙、丙的整体安排在剩下的两个位置上，有种方案，
所以，根据乘法原理，共有种方案.
故答案为：
例8．（2023·陕西榆林·统考一模）自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若用欧拉数的前6位数字设置一个六位数的密码，则不同的密码共有__________个.
【答案】180
【解析】因为2出现2次，8出现2次，
所以不同的密码共有个.
故答案为：180.
例9．（2023·广东汕头·高三校考阶段练习）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为___．
【答案】44
【解析】若尾数为1，前三位的数字为，或，或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，故共有个完美四位数，
若前三位数字为时，则有个完美四位数；
若尾数为3，前三位的数字为，或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，故共有个完美四位数，
若前三位数字为时，有个完美四位数；
若尾数为5，若前三位数字为或时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，共有个完美四位数，
若尾数为7，若前三位数字为时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，有个完美四位数；
综上所述：共有个完美四位数.
故答案为：44
例10．（2023·高三课时练习）已知，则_________.
【答案】2或3
【解析】，
，又，
所以或.
故答案为：2或3.
例11．（2023·全国·高三对口高考）计算的值为_________.
【答案】466
【解析】依题意，，解得，而，于是得，
所以，原式.
故答案为：466
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
【答案】A
【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.
故选：A.
2．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高､跳远､铅球､跑步4项比赛的冠军的可能结果有种，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】每名同学报名有4种选择，5名同学报名就有种选择，所以；
每项冠军归属结果有5种可能，4项冠军则有种可能结果，所以，
所以.
故选：A．
3．（2023·高二课时练习）如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A．180 B．160 C．96 D．60
【答案】A
【解析】首先对①进行涂色，有5种方法，
然后对②进行涂色，有4种方法，
然后对③进行涂色，有3种方法，
然后对④进行涂色，有3种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为
种
故选:A
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
【答案】D
【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；
当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为种，
故选：.
5．（2023·山西太原·高三统考期末）某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（ ）
A．96 B．120 C．240 D．360
【答案】B
【解析】第一步，先从两首合唱歌曲中选一首按排在最后的方法有种
第二步，从其余的歌曲中选三首歌曲安排在前三位的方法有种
则不同的安排方法种数为：
故选：B
6．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
【答案】D
【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有方法，
故2个8不相邻的情况有种.
故选：D
7．（2023·广西·统考模拟预测）将3个1和2个0随机排成一行,则共有多少种方法（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
【答案】C
【解析】解:由题知3个1和2个0随机排成一行,
即有5个位置留给1和0,
在5个位置中挑出3个给1,剩下的填0即可,
即,
故选:A
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．11
【答案】C
【解析】从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形有两类：
第一类，两个中点和一个顶点构成的三角形，共有（个）；
第二类，三个中点构成的三角形，共有（个），
由分类加法计数原理，知面积为的三角形的个数为．
故选：C．
9．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（ ）
A．150 B．90 C．60 D．15
【答案】B
【解析】将5名大学生分为1，2，2三组，共有种方法，
则将这三组分配给观看冰球，速滑，花滑三场比赛，共有种方法，
则这5人观看比赛的方案种数为90种，
故选：B
10．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．1918 B．11508 C．12708 D．18
【答案】B
【解析】分组方法共有，，三种情况，
所以分配方法共有.
故选:B.
11．（2023·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，10月17日各代表团分组讨论党的二十大报告．某媒体5名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每名记者只去1个小组，每个小组最多两名记者，若记者不去甲组，则不同的安排方法共有（ ）
A．15种 B．30种 C．60种 D．90种
【答案】C
【解析】解法1：若去乙组（或丙组），且该组只安排1人，剩下4名记者按2，2分组，再分配到另两个小组，不同的安排方法共有种；若去乙组（或丙组），且该组安排2人，从4人选1人在该组，剩下3人按2，1分组，再分配到另两个小组，不同的安排方法共有种．∴不同的安排方法有．
解法2：若甲组安排1人，不同的安排方法共有种；若甲组安排2人，不同的安排方法共有种．∴不同的安排方法有．
故选：C．
12．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．360种 B．240种 C．150种 D．90种
【答案】C
【解析】5名宣讲员分配到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为，或两种情况.
先分组，
再将分好组人员分配到3个社区有，
所以不同的分配方案共有．
故选：C．
13．（2023·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种 B．420种 C．120种 D．15种
【答案】D
【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，
再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，
故选: D
14．（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（ ）
A．25种 B．50种 C．300种 D．150种
【答案】D
【解析】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；
②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.
综上，选法共有.
故选:D.
二、多选题
15．（2023·辽宁营口·高二统考期末）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（ ）
A．高二六班一定参加的选法有种
B．高一年级恰有2个班级的选法有种
C．高一年级最多有2个班级的选法为种
D．高一年级最多有2个班级的选法为种
【答案】BCD
【解析】对于A：高二六班一定参加的选法有种，故A错误；
对于B：高一年级恰有2个班级的选法有种，故B正确；
对于C与D：从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，
其中若高一年级0个，高二年级5个，有种，
其中若高一年级1个，高二年级4个，有种，
其中若高一年级2个，高二年级3个，有种，
其中若高一年级3个，高二年级2个，有种，
其中若高一年级4个，高二年级1个，有种，
其中若高一年级5个，高二年级0个，有种，
则，
则，
而高一年级最多有2个班级的选法为种，故C与 D都正确；
故选：BCD.
16．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考开学考试）在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（ ）
A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种
B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种
C．“其中没有次品”的抽法有56种
D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种
【答案】BD
【解析】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；
抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；
抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．
故选：BD
三、填空题
17．（2023·辽宁营口·高二统考期末）为了迎接节日，商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，共有______种不同的悬挂方式.（用数字作答）
【答案】1680
【解析】商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，
先从9个位置中选3个，挂红色彩灯，有种，
再从剩下的6个位置中选3个，挂黄色彩灯，有种，
最后从剩下的3个位置中选3个，挂蓝色彩灯，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种，
故答案为：1680.
18．（2023·广东广州·统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答）
【答案】144
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，
有种情况，
②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，
有种情况，
则有种排法，
故答案为：144．
19．（2023·高三课时练习）展会期间，要安排位志愿者到个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排个人，剩下两个展区各安排个人，不同的安排方案共有_________种.
【答案】
【解析】第步，从位志愿者中，选出人，安排到甲展区提供服务，有种方法；
第步，从剩下的位志愿者中，选出人，安排到乙展区提供服务，有种方法；
第步，从剩下的位志愿者中，选出人，安排到第个展区提供服务，有种方法；
第步，将剩下的位志愿者安排到第个展区提供服务，有种方法，
∴不同的安排方案共有种.
故答案为：.
20．（2023·高三课时练习）将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只能填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有_________种.
【答案】576
【解析】福字有16种填写方法，禄字有9种填写方法，寿字有4种填写方法，
所以不同的填写方法有种，
故答案为：576
21．（2023·全国·模拟预测）由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.
【答案】
【解析】能被整除的三位数说明末尾数字是或
当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；
当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；
则一共有种
故答案为：
22．（2023·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，从中选出3人，并指派1人唱歌，另2人跳舞，则不同的选派方法有__________ 种．
【答案】48
【解析】因为有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，
所以既会唱歌又会跳舞的有人，
所以只会唱歌的有人，只会跳舞的有人
从只会唱歌的里选人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的5人中选人跳舞有种
所以此种情况有种；
从既会唱歌又会跳舞的人选1人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的4人中选人跳舞有种，
所以此种情况有种；
综上不同的选派方法有种.
故答案为：48
23．（2023·高二课时练习）有4名男生3名女生共七人排成一排照相，要求3名女生各不相邻的排法有______种．
【答案】1440
【解析】先排男生有种排法，把3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，所以有种排法.
故答案为：1440
24．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每项竞赛只需其中一位学生参加，有______种参赛情况．
【答案】64
【解析】根据题意，每一项竞赛都有4位同学可以选择，故有种参赛情况.
故答案为：
25．（2023·高二课时练习）A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有______种．
【答案】24
【解析】根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；
将A、B与其他3个元素，共4个元素全排列，有种排法，
则符合条件的排法有1×24=24种；
故答案为：24．
26．（2023·江西上饶·高二统考期末）共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.
【答案】
【解析】必须相邻且在的右边,可将捆绑在一起并且不用排序，
则6人的排列方法种数共有种.
故答案为：.
27．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有_________种站法
【答案】96
【解析】由题意排除两名男生相邻且排在两端即得结果，排法数为．
故答案为：96.
28．（2023·全国·高三对口高考）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
【答案】1296
【解析】若取出的数字中不含零，则有四位数个；
若取出的数字中含零，则有四位数个；
所以，这样的四位数有个．
故答案为：1296．
29．（2023·陕西西安·校考模拟预测）某重点高中选派3名男教师和2名女教师去支教，将5人分配到3所学校每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为________种.
【答案】
【解析】两名女教师分到同一所学校，
当学校的人数分组为时，其中3人组中2位女教师1位男教师，则方法数有种.
当学校的人数分组为时，其中2位女教师、2位男教师各成一组，则方法数有种.
所以共有种
故答案为：
30．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一本，则不同的分配方法___________.
【答案】
【解析】若有一人3本，三人1本，有种分配方法；
若有两人2本，两人1本，有种分配方法；
则共有种分配方法.
故答案为：
31．（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
【答案】10
【解析】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，共有种分配方法.
故答案为：.
32．（2023·山东滨州·高三统考期末）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种
【答案】420
【解析】先从7个人中选2人调整到前排有种选法，
调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由种站法，
其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，
按照乘法计数原理得总共有种方法.
故答案为：420
四、解答题
33．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．
(1)能被25整除的数；
(2)十位数字比个位数字大的数．
【解析】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有（个）．
（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有（个）．
34．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；
（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；
（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，
再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择，
综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种；
（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，
选出一个空盒，有种情况，
将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有种情况，
综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有种选择.
35．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？
【解析】（1）由于书架上有本书，
则从中任取一本，共有14种不同的取法.
（2）由题意分步完成，
第一步：取任取一本数学书，有3种取法；
第二步：取任取一本语文书，有5种取法；
第三步：取任取一本英语书，有6种取法；
由分步乘法计数原理得共有种不同的取法.
（3）取两本不同科目的数，可以分三种情况：
①一本数学书和一本语文书，有种情况；
②一本数学书和一本英语书，有种情况；
③一本语文书和一本英语书，有种情况；
根据分类加法计数原理，共有种情况.
36．（2023·高三课时练习）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
【解析】（1）从人中选人排列，有
（种）方法.
（2）分两步完成，先选人站前排，
有种方法，余下人站后排，有种方法，
则共有（种）方法.
（3）先排甲，有种方法，其余六人有种，
则共有（种）方法.
（4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与名男生全排列，
有种方法，再将女生全排列，有种方法，
则共有（种）方法.
（5）（插空法）：先排女生，有种方法，
再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，
有种方法，则共有（种）方法.
（6）把甲乙及中间三人看作一个整体，
第一步先排甲乙两人有种方法，
再从剩下的人中选人排到中间，有种方法，
最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列，
有种，共有（种）方法.
（7）（消序法）：（种）方法.
（8）（间接法）：无限制排法有种，
其中甲或乙在最左端或在最右端有种，
是甲在最左端且乙在最右端的排法，
共有（种）方法.
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