备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题31 概率小题综合训练

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专题31 概率小题综合训练
【考点预测】
一、必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下：
①必然要发生的事件叫必然事件；
②一定不发生的事件叫不可能事件；
③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．
二、概率
在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作．对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0．
三、基本事件和基本事件空间
在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间．
四、古典概型
条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同

五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件．事件A与事件B互斥，则 ．
2、对立事件
事件A，B互斥，且其中必有一个发生，称事件A，B对立，记作或．．
3、互斥事件与对立事件的联系
对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件．
六、条件概率与独立事件
（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作 ，条件概率公式为 ．
（2）若，即，称与为相互独立事件．与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然．即相互独立，则有公式．
（3）在次独立重复实验中，事件发生次的概率记作，记在其中一次实验中发生的概率为 ，则 ．
【典例例题】
例1．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）从一副标准的52张（不含大小王）扑克牌中任意抽一张，抽到方片K的概率为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，
由于方块K只有一张，扑克牌有52张，则随机地抽出一张牌，它恰好是方块K的概率为.
故选：A.
例2．（2023秋·山东济宁·高二统考期末）假设，且与相互独立，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由与相互独立，则.
故选︰B．
例3．（2023·全国·高二专题练习）若，，，则事件A与事件B的关系是（    ）
A．互斥但不对立 B．独立
C．对立 D．独立且互斥
【答案】B
【解析】因为，所以，
又，所以事件与事件不对立，
又因为，所以事件与相互独立，但不互斥．
故选：B．
例4．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，
将剩余三人排成一列有中排法，产生4个空位，
让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法，
其中甲排在乙的前面的有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的概率为，
故选:C.
例5．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟不低于60分的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记事件：李伟成绩高于80分，：李伟成绩不低于60分且不高于80分，
所以，与互斥，且，.
因为“李伟成绩不低于60分”可表示为，
所以，由与互斥可知.
故选：D
例6．（2023·高一课时练习）从编号为1到100的100张卡片中任取一张，以下事件中发生可能性最小的是（    ）
A．卡片上数字是2的倍数 B．卡片上数字是3的倍数
C．卡片上数字是4的倍数 D．卡片上数字是5的倍数
【答案】D
【解析】从编号为1到100的100张卡片中任取一张，
卡片上数字是2的倍数的概率，
卡片上数字是3的倍数的概率，
卡片上数字是4的倍数，
卡片上数字是5的倍数，
所以发生可能性最小的是卡片上数字是5的倍数，
故选：D
例7．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.
【答案】
【解析】由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，则所求概率.
故答案为：
例8．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.
【答案】6
【解析】解:由题知,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,

,
,
,
或(舍).
故答案为:6
例9．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）从数字2，4，6中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于60的概率为______．
【答案】
【解析】从2，4，6三个数中任选两个不同的有 种选法，其中大于60的有62和64两个，
所以大于60 的概率 ；
故答案为： .
例10．（2023·全国·高三专题练习）某汽车店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型被选到的概率为_________.
【答案】
【解析】随机试验小王从甲、乙、丙、丁、戊5种车型中任选2种车型试驾的可能结果为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共含10个基本事件，其中随机事件甲车型被选到包含基本事件（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），所以随机事件甲车型被选到的概率.
故答案为：.
例11．（2023·全国·高三专题练习）一枚均匀的硬币连续抛掷三次，至少出现一次正面朝上的概率为___________．
【答案】
【解析】“至少出现一次正面朝上”的对立事件为“全部为反面”，
事件“全部为反面”的概率为，
故至少出现一次正面朝上的概率为，
故答案为：．
例12．（2023·上海·高三专题练习）甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________.
【答案】
【解析】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，
乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，
所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.
故答案为：.
例13．（2023·全国·高三专题练习）花博会有四个不同的展馆，甲、乙各选个去参观，问两人选择中恰有一个馆相同的概率为________．
【答案】
【解析】记事件为“两人选择中恰有一个馆相同”，则，
.
故答案为：.

【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）下列四个事件：
①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．
其中必然事件有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；
②东边日出西边日落为必然事件；
③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；
④守株待兔为随机事件，
故必然事件有1个，
故选：B
2．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设“取到的2个球颜色相同”为事件为,则
，
所以取到的2个球颜色相同的概率为.
故选：D.
3．（2023·高一单元测试）从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，这个两位数大于30的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数共有个，
其中这个两位数大于30的个数为个，
故所求概率.
故选：D．
4．（2023·高一单元测试）下列说法不正确的是（    ）
A．必然事件是一定条件下必定发生的事件
B．不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件
C．随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件
D．事件A发生的概率一定满足
【答案】D
【解析】解:由题知,根据事件的分类和定义可知,选项A,B,C正确;
关于选项D,若事件为必然事件,则,
故选项D错误.
故选:D
5．（2023·高一课时练习）一批零件共有10个，其中8个正品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第二次取到合格品的概率为，第三次取到合格品的概率为，则（    ）
A． B． C． D．与的大小关系不确定
【答案】B
【解析】第1次取到合格品，第2次也取到合格品的概率为，
第1次取到次品，第2次取到合格品的概率为，
故，
第1次，第2次和第3次均取得合格品的概率为，
第1次取得次品，第二次和第三次均取得合格品的概率为，
第1次取得合格品，第二次取得次品，第三次取得合格品的概率为，
第1次和第2次取得次品，第三次取得合格品的概率为，
故.
故选：B
6．（2023·高一课时练习）掷两个面上分别记有数字至的正方体玩具，设事件为“点数之和恰好为”，则中基本事件个数为（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】用表示两个正方体玩具的点数分别为，，
则，
∴中基本事件个数为个.
故选：D.
7．（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（    ）
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
【答案】A
【解析】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
8．（2023·高一课时练习）抛掷两枚硬币，事件A表示“至少一枚正面朝上”，事件B表示“两枚正面都不朝上”，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】记硬币正面向上为正，反面向上为反，抛掷两枚硬币的结果有：(正正)，(正反)，(反正)，(反反)，共4个，
事件A有：(正正)，(正反)，(反正)，共3个，事件B有：(反反)，共1个，
因此，显然选项A，C，D不满足，B满足.
故选：B
9．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）将数据 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从5个数中随机删去两个数有 共10种方法，
要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是共有4种，
所以剩下数据的平均数大于5的概率为，
故选：C
10．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）某市1路、9路公交车的站点均包括育才学校站和舒馨嘉园小区站，1路公交车每10分钟一趟，9路公交车每20分钟一趟，若育才学校的学生小明坐这2趟公交车回居住的舒馨嘉园小区，则他等车不超过5分钟的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设1路车到达时间为，9路到达时间为，则可以看作平面中的点，如图所示，

试验的全部结果所构成的区域为且，
这是一个长方形区域，面积为，
事件表示小明等车时间不超过5分钟，所构成的区域为或，
即图中的阴影部分，面积为，
代入几何概型概率公式，可得.
故选：C．
11．（2023·河南信阳·高三统考期末）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：
（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件，
其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，
所以蓝、白口罩同时被选中的概率为．
故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．从袋中随机抽取两个球，那么取出的球的编号之和不大于4的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，
其可能结果有，，，，，共6个，
其中满足编号之和不大于4的有，共2个，
所以取出的球的编号之和不大于4的概率
故选：
二、多选题
13．（2023·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（    ）
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
【答案】AC
【解析】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）将，，，这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（    ）
A．“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为对立事件
B．“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为互斥但不对立事件
C．甲得到卡片的概率为
D．甲、乙2人中有人得到卡片的概率为
【答案】BCD
【解析】事件“甲得到卡片”与“乙得到卡片”不可能同时发生，
所以事件“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为互斥事件，
随机试验的结果可能是“丙得到卡片”
所以事件“甲得到卡片”与“乙得到卡片”有可能都不发生，
所以事件“甲得到卡片”与“乙得到卡片”不是对立事件，
所以A错误，B正确；
随机试验将，，，这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片的样本空间含个基本事件，事件甲得到卡片包含基本事件个，
所以事件甲得到卡片的概率为，C正确；
事件甲、乙2人中有人得到卡片包含的基本事件数为，
所以事件甲、乙2人中有人得到卡片的概率为.D正确.
故选：BCD.
15．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为，，购买白色手机的概率分别为，，若甲乙两人购买哪款手机互相独立，则（    ）
A．恰有一人购买国产手机的概率为
B．两人都没购买白色手机的概率为
C．甲购买国产白色手机的概率为
D．甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为
【答案】AD
【解析】由已知，甲乙两人购买哪款手机互相独立，
“甲购买国产手机”记为事件，；“乙购买国产手机”记为事件，；
“甲购买白色手机”记为事件，；“乙购买白色手机”记为事件，，
对于选项A，恰有一人购买国产手机的概率为，
故选项A正确；
对于选项B，两人都没购买白色手机的概率为，故选项B错误；
对于选项C，“甲购买国产白色手机”记为事件，其概率为，故选项C错误；
对于选项D，“乙购买国产白色手机”记为事件，其概率为，
结合选项C的判断，甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为
，
（也可以用进行计算），故选项D正确.
故选：AD.
16．（2023秋·江苏·高三统考期末）连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（    ）
A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立
C． D．
【答案】AD
【解析】事件可共同发生不互斥，A对．
，，即不独立，BC错．
，D对，
故选：AD．
17．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，，所以，所以，则A，D错误；
，则B错误；
，则C正确.
故选：ABD.
18．（2023·全国·模拟预测）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（    ）
A．事件A发生的概率为 B．事件B发生的概率为
C．事件C发生的概率为 D．
【答案】ABC
【解析】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：
这3个球都是红球的基本事件数为：，
所以事件A发生的概率为：，故A错误，
这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：
，
所以事件B发生的概率为：，故B错误，
这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：
，
事件C发生的概率为,故C错误，
因为，
所以由条件概率公式得：，
故D正确，
故选：ABC.
19．（2023·全国·高三专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
下列选项正确的是（    ）
A． B．是必然事件
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；
对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；
对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；
对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．
故选：AB．
20．（2023·全国·高三专题练习）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（    ）
A．与互斥 B．与互斥
C．任何两个都互斥 D．与对立
【答案】ABC
【解析】由题意可知，三件产品有次品，但不全是次品，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品两个事件，
三件产品全不是次品，即3件产品全是正品，三件产品全是次品，
由此知，与互斥，与互斥，故A，B正确，
与互斥，由于总事件中还包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品” 两个事件，故与不对立，故C 正确，D错误，
故选：ABC．
21．（2023·全国·高三专题练习）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）
A．个球都是红球的概率为 B．个球中恰有个红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球不都是红球的概率为
【答案】ABC
【解析】记事件为从甲袋中摸出一个红球，事件为从乙袋中摸出一个红球，则
，且事件相互独立，
对于A，个球都是红球的概率为，所以A正确，
对于B，个球中恰有个红球的概率为，所以B正确，
对于C，至少有个红球的概率为为，所以C正确，
对于D，个球不都是红球的概率为，所以D错误，
故选：ABC
22．（2023·全国·高三专题练习）从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则（    ）
A．“都是红球”与“都是白球”是互斥事件
B．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件
C．“恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事件
D．“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件
【答案】AB
【解析】“都是红球”与“都是白球”不能同时发生，是互斥事件，A对；
“至少有一个红球”与“都是白球”不能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，B对；
“恰有一个白球”与“恰有一个红球”能够同时发生（如1红1白），不是互斥事件，C错；
“至少有一个红球”与“至少有一个白球” 能够同时发生（如1红1白），不是互斥事件，D错
故选：AB.
23．（2023·全国·高三专题练习）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（    ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
【答案】ABC
【解析】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；
对于B，青年患者所占的频率为，正确；
对于C，平均治愈率为，正确；
对于D，由C知错误.
故选：ABC.
24．（2023·全国·高三专题练习）事件与互斥，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为与互斥，所以是必然事件，故，所以A正确，
因为与互斥，所以，因此，所以B错误，
因为，所以C正确，
因为，
所以，于是，所以D错误，
故选：AC
25．（2023·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（    ）A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC
三、填空题
26．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为______．

【答案】
【解析】由图可知：比赛共有4场，半决赛2场，季军赛1场，总决赛1场．选其中3场的基本事件共有4种，其中季军赛、总决赛被选上的基本事件共有2种，故概率为．
故答案为：.
27．（2023·陕西榆林·统考一模）自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若从欧拉数的前4位数字中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为__________.
【答案】
【解析】由题可知，总的事件包括这6种情况，
至少有1个偶数被选中的事件包括这5种情况，
故所求的概率为.
故答案为：
28．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）由于夏季炎热某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.3，现在用数据0、1、2表示停电；用3、4、5、6、7、8、9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据，
28  21  79  14  56    74  06  89  53  90    14  57  62  30  93
78  63  44  71  28    67  03  53  82  47    23  10  94  02  43
根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________.
【答案】
【解析】由题意可知恰有一天停电的情况有：28，14，06，90，14，62，30，71，28，03，82，23，共12种，
所以连续两天中恰好有一天停电的概率为，
故答案为：
29．（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______．

【答案】
【解析】方法1：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，
求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两步完成：
第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有，
第二步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有：，
所以从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，
所以，．
方法2：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，
从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有：，
从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，
所以，．
故答案为：.
30．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为__________．
【答案】
【解析】由题意从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有种选法，
如果全是男医生参加，则只有一种选法，此时的概率为，
故至少有1名女医生参加的概率为，
故答案为：．
31．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．某媒体从甲、乙等6名记者中选两人参加宣传报道，则甲、乙至少有一人被人选的概率为________．
【答案】
【解析】记6名记者分别为：甲，乙，1，2，3，4，从6名记者中任选两人，所有可能的情况：
甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4，乙1、乙2、乙3、乙4、12、13、14、23、24、34，共15种情况，
甲、乙至少有一人被入选有：甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4、乙1、乙2、乙3、乙4，共9种情况，
所以甲、乙至少有一人被人选的概率为．
故答案为：
32．（2023秋·河南开封·高三统考期末）在正中，连接三角形三边的中点，将它分成4个小三角形，并将中间的那个小三角形涂成白色后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图形.在内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______.

【答案】
【解析】将中间白色三角形依规律分成4个小白色三角形，则共可分为16个相同的小三角形，白色部分有7个小三角形，黑色部分有9个小三角形，故在内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是.
故答案为：.
33．（2023·上海·统考模拟预测）已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率______________．
【答案】
【解析】依题意，.
故答案为：
34．（2023·上海·统考模拟预测）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________．
【答案】
【解析】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率，
故答案为：
35．（2023·全国·高三对口高考）根据射击训练后的统计显示：甲射手射中目标的频率是，乙射手射中目标的频率是，且甲、乙两射手的射击是相互独立的．那么当两人同时射击同一个目标时，该目标被射中的概率估计为________．
【答案】
【解析】∵甲乙两射手的射击相互独立，甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是：甲乙二人都没有射中目标，
∴目标被射中的概率为．
故答案为：.
36．（2023·上海静安·统考一模）现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________．
【答案】0.3
【解析】从5根木棍中任取3个共有 种，符合条件有 3种，
能搭成一个三角形的概率 ；
故答案为： .
37．（2023·全国·高三对口高考）某地需要从我市某医院某科室的名男医生和名女医生中分别选派名医生支援，则选中男女医生均不少于名的概率为________．
【答案】
【解析】选派的名医生中，男医生名，女医生名的情况有种；
男医生名，女医生名的情况有种；
选中男女医生均不少于名的概率.
故答案为：.
38．（2023·全国·高三专题练习）在两个盒子中各有编号分别为的3个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为___________.
【答案】
【解析】从1个盒子取出的乒乓球的编号是偶数的概率为 ，
则从两个盒子取出的乒乓球的编号都是偶数的概率为 ，
所以至少有一个编号是奇数的概率为.
故答案为：.
39．（2023·全国·高三专题练习）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6道程序，则程序A只能出现在最后一步，且程序B与程序C必须相邻实施的概率为___________．
【答案】
【解析】程序B与程序C必须相邻，故把程序B与程序C看做一个元素，与除A外的3个元素排列，
注意B与C之间还有一个排列，共有种结果，又因为正常实施6道程序有种，
所以所求概率为.
故答案为： .
40．（2023·全国·高三专题练习）从中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.
【答案】
【解析】这两个元素的积是6的倍数的有，，，，
则这两个元素的积不是6的倍数的概率为.
故答案为：
41．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在，，0，1，2的五个数字中，有放回地随机取两个数字分别作为函数中a，b的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的概率为______．
【答案】
【解析】五个数字任取一个作数字作系数a，放回后随机任取一个数作为b，有种不同取法.
当时，函数图像为一条直线，若图像恰好经过第一、三、四象限，则，即有，；，两组数满足；
时，二次函数经过第一、三、四象限则开口向下，又图像过点，顶点必在第一象限，即满足，，，有，；，；，三组数满足．故共有5组满足，
所求概率为．
故答案为：
42．（2023·全国·高三对口高考）从编号为的个小球中有放回地取2个小球，则两个小球的编号之和为4的概率为___________．
【答案】
【解析】由题得，所求概率为.
故答案为：．