2023年山东省潍坊市青州市等县区中考数学二模试卷(解析版)

2023年山东省潍坊市青州市等县区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面四个实数中最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  已知▱中，，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点，，作直线交于点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  定义新运算：，例如：，，则的图象是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与弧交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）

7.  若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号在“”、“”、“”、“”中选择，其运算结果是有理数，则可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于，的二元一次方程组，下列说法中正确的是(    )

A. 当时， B. 若，则
C. ，满足关系式 D. 若，则

9.  已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小则实数的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，一架梯子斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点处，底端在水平地面的点处保持梯子底端的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点处，连接，是线段的一点，且若米，米，顶端距离地面的高度比少米，则下列结论成立的是(    )

A. 的长为米 B. 的长为米
C. 四边形的面积是平方米 D. 的长为米

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

11.  国家统计局网站显示，今年月份，全国社会消费品零售总额为亿元，同比增长，亿用科学记数法表示为，则 ______ ．

12.  如图，是的内接三角形，点在上，的半径为，，若点是圆上的动点，则点到距离的最大值为______ ．

13.  某学生的眼睛离地面的距离为米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角为，继续向正前方走米再看篮球框，测得仰角为，篮球框距地面的高度为______ 米

14.  在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是______ ．

四、解答题（本大题共8小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
以下是某同学化简分式的部分运算过程：
原式



上面的运算过程中从第______ 步出现了错误；错误原因是______ ．
请你写出完整的解答过程．

16.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
若是方程的一个根，求的值及另一个根；
若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求的取值范围．

17.  本小题分
某校依据教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要试行指导学生积极参加劳动教育，该校九年级数学兴趣小组利用课余时间，对九年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一次调查研究．
收集数据：
通过问卷调查，兴趣小组获得了这名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
整理、描述数据：得到下面不完整的图表

分析数据：

根据以上信息，解答下列问题：
兴趣小组计划抽取该校九年级名学生进行问卷调查，下面抽取方法中，合理的是______ ；
A.从该校九年级班中随机抽取名学生
B.从该校九年级女生中随机抽取名学生
C.从该校九年级学生中随机抽取男，女各名学生
填空： ______ ； ______ ； ______ ； ______ ； ______ ；
已知一周参加家庭劳动的次数在的这名学生中，有名女生，名男生，现准备从这名学生中，随机抽取两人，请他们谈谈体会请你利用列表法或树状图求“谈体会的两人都是男生”的概率．

18.  本小题分
对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即若规定：对四位正整数进行运算，得到整数例如，．
计算：；
当时，证明：的结果一定是的倍数．

19.  本小题分
如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求证：．

20.  本小题分
某超市购进了一种商品，进价为每件元，销售过程中发现，该商品每天的销售量件与每件售价元之间存在某种函数关系其中，且为整数，且当时，；当时，；当时，；，设超市销售这种消毒用品每天获利为元．
请判断与符合哪种函数关系，并求与的函数表达式；
若该商店销售这种商品每天获润元，则每件商品的售价为多少元；
当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

21.  本小题分
某工厂加工车间要从一块四边形钢板中切割一个正方形，已知米，米，米，如图，现有方案和方案两种切割方案，图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上．

求的长；
求的值；
若在余料上再切割一个最大正方形请直接写出此正方形的边长．

22.  本小题分
如图，两个正方形拼接成一个“”型的图形，现用一条直线将图形分为面积相等的两部分小颖在研究时发现了三种不同的分割方法，图是其中一种方法．
请在下面图形图中再画出另外两种分割方法；
若小正方形的边长为，大正方形的边长为小颖在利用绘图软件研究分割方法时，将图放置在平面直角坐标系中，如图所示，此时图所示的分割直线的表达式为小颖发现：上述三种不同的分割直线都经过同一个点请你证明此发现；
小颖继续研究，又发现了一种分割方法，如图所示请根据此图，简述其作图思路；
通过上述探究过程，谈谈你的收获两条即可

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
所给的四个实数中最大的是．
故选：．
首先求出的值，然后根据实数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看该组合体，底层是一个矩形，矩形的两侧分别由一条纵向的实线，上层是一个矩形．
故选：．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质可知，，再由垂直平分线的性质得出，据此可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，平行四边形的性质，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，，
，
为的中位线，，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
当时，反比例函数在第一象限，
当时，反比例函数在第二象限，
又因为反比例函数图象是双曲线，因此选项符合．
故选：．
根据题目中的新定义，可以写出函数解析式，从而可以得到相应的函数图象．
本题考查函数的图象，掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得直线垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
扇形的面积，的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积．
故选：．
由翻折的性质得到，而，得到是等边三角形，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，关键是证明是等边三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，故可能是；
当时，，故可能是；
当时，，故可能是；
当时，，
，
，
，故不可能是．
故选：．
利用二次根式的运算法则，逐个计算得结论．
本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，解得：，
A、当时，得：，，则，故A说法正确；
B、，
，
解得：，故B说法错误；
C、

，故C说法正确；
D、，
，
，
，
解得：，故D说法正确．
故选：．
利用解二元一次方程组的方法求出相应的解，再分析各项即可．
本题主要考查解二元一次方程组，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
将二次函数的图象向右平移个单位得的图象，
的对称轴为直线，
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
，
解得，
故的取值可以为或；
故选：．
将二次函数的图象向右平移个单位得的图象，新图象的对称轴为直线，根据当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，知，得，即可得到答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，解题的关键是根据题意得出关于的不等式组．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，成立，符合题意；
比少，
，
，
，
，成立，符合题意；
，，，
≌，
，
，
，
，，不成立，不符合题意；
连接并延长，交直线于，

，
，∽，∽，
，，
，
，
，
，
，成立，符合题意；
故选：．
根据勾股定理求出、的长，得出≌，证明，利用勾股定理求出，再利用平行线得出相似和比例式，求出即可．
本题考查了勾股定理和相似三角形的性质与判定，解题关键是熟练运用相关知识求出线段长．
 

11.【答案】 

【解析】解：亿，
．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，延长交于点，此时点到距离最大，且点到的距离最大值，

，
，
是的中位线，
，
，
，
点到距离的最大值为，
故答案为：．
过点作，垂足为，延长交于点，此时点到距离最大，且点到的距离最大值，根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：米，米，，，，
是的一个外角，
，
，
米，
在中，米，
米，
篮球框距地面的高度为米，
故答案为：．
过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，米，，，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是边长为的等边三角形，
的坐标为：，的坐标为：，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
，
，，，，，
的横坐标是：，的横坐标是：，
当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：，
顶点的纵坐标是：，
是正整数的顶点的坐标是：，
的顶点的横坐标是：，纵坐标是：，
故答案为：
首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键．
 

15.【答案】  通分不正确 

【解析】解：运算过程中从第步出现了错误；错误原因是通分不正确；
故答案为：，通分不正确；
原式式


．
观察解答过程可得答案；
先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式通分和约分．
 

16.【答案】解：将代入原方程得，
解得：．
当时，原方程为，即，
，，
方程的另一个根为．
方程有两个不同的实数根，
，
解得：且，
当且时，方程有两个不同的实数根． 

【解析】将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查的是根的判别式，解题的关键是：代入求出值；根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组．
 

17.【答案】           

【解析】解：调查样本要具有代表性，
从该校九年级学生中随机抽取男，女各名学生．
故答案为：；
从扇形图可知，组占总人数的，
，
，
平均数为，
，
解得，
数据按由小到大的顺序排序：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
中位数，
众数．
故答案为：，，，，；
列表如下：

共有种等可能的情况，其中抽到名男生的情况数为种，
“谈体会的两人都是男生”的概率为．
根据抽样调查的可靠性即可得出答案；
结合扇形图求出，根据总人数求出，根据频数分布表求出，再根据中位数和众数的定义解答即可；
用列表法得出所有种等可能的结果数，再找出恰好抽到两名男生的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了统计图．
 

18.【答案】解：；
证明：，




．
的运算结果一定是的倍数．(    ) 

【解析】根据题目中规定的运算法则，对进行计算即可得出答案；
根据题目中规定的运算法则，对进行运算，然后再将代入整理即可得出结论．(    )
此题主要考查了有理数的运算，因式分解应用等知识点，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握题目中规定运算法则．
 

19.【答案】证明：，，
，
；
如图：

连接，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
如图，，，则，，

在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
∽，
，
， 

【解析】由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行得；利用角平分线及圆周角定理得出是的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出为直角，即可证明；
先证明∽，然后利用勾股定理计算得出，的长，再利用平行线所截线段成比例求出．
本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：与符合一次函数关系，
设与的函数表达式为，
将，代入得，，
解得，，
与的函数表达式为．
由题意得：
，
解得，，不合题意，舍去，
答：该商店销售这种商品每天获润元，则每件商品的售价为元．
设利润为元，由题意得：

，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，
答：当每件商品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据数值变化规律得出：与符合一次函数关系，设与的函数表达式为，代入两组数值，求出，即可．
根据一件的利润销售量，列出方程求解即可．
设利润为元，售价进价，得到关于的二次函数关系式，在的范围内求最大值即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
 

21.【答案】解：作于，

，，
四边形是矩形，
，，，
；
设与相交于点，正方形的边长为，

，
，，
在中，，，，
，
解得；
设正方形边长为，

，
在中，，则，
在中，，则，
，
解得，
；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为米，

，
，
在中，，
，
解得，即正方形的边长为；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为米，

同理，在中，，则，
在中，，则，
，
解得，即正方形的边长为；
，
在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 

【解析】作于，利用勾股定理以及三角函数的定义求解即可；
分两种情况，画出图形，利用三角函数的关系即可求解；
同理，分两种情况求解即可．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形的应用，掌握掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：将图形补成矩形，再连接矩形中心，即可平分面积，如图：


将图按照题设图的方式建立坐标系如图，

则点、的坐标分别为：、，
设直线的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立和并解得：，
即交点为：；
经验证，图的直线也过该点，
即三种不同的分割直线都经过同一个点；

设点，将点右侧矩形补到上侧，构成矩形，
连接、交于点，过点作于和都相交的直线，即为所求直线；

基本收获答案不唯一：根据例题可以得出只要过矩形的中心即可平分面积，以及找到圆心与矩形的中心即可平分面积；平分面积的直线经过同一点． 

【解析】将图形补成矩形，再连接矩形中心，即可平分面积，即可求解；
确定点、的坐标分别为：、，得到直线的表达式为：，进而求解；
设点，将点右侧矩形补到上侧，构成矩形，连接、交于点，过点作于和都相交的直线，即为所求直线；
根据上述解答过程即可求解．
本题为一次函数综合题，此题主要考查了应用与设计图案，主要是平分图形面积，根据已知得出图形中心是解题关键．