2023年陕西省西安市长安区中考数学二模试卷(含解析)

2023年陕西省西安市长安区中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是(    )

A. 正方体
B. 长方体
C. 四棱柱
D. 四棱锥

3.  如图，，两点分别在直线，上，且，，，若，则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  直线与轴交于点，当时，则下列说法正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，，，则的周长等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，小明将一个自制的三角板放置在量角器上，则的度数等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后与轴交点的横坐标之差为，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式： ______ ．

10.  若一个多边形的边数增加，则它的内角和增加______ ．

11.  勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：，，；，，；，，；，，；，，；，我们发现，当一组勾股数的勾为为正整数时，它的股、经分别为和若一组勾股数的勾为，则经为______ ．

12.  如图，，是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为______．

13.  如图，在菱形中，，，为中点，为上一点，且，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，在中，，为内一点，请利用无刻度直尺和圆规过点作直线分别交，于，两点，且使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，，为，上两点，且满足，求证：．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点和格点，请按照下列要求完成作图：
将沿着轴的方向平移得到，当点的对应点落在轴上时，画出的图形；
绕点顺时针旋转后，则点的对应点的坐标是______ ．

20.  本小题分
由西安大唐不夜城景区推出的盛唐密盒表演可谓是火爆出圈，其组合因配合默契，谈吐风趣，与游客的互动更是“爆梗”不断，表演视频也在网络上受到广泛热议据数据统计发现盛唐密盒的问题知识可分为：诗词类，科技类，历史类，百科类小英计划参加盛唐密盒，请大家帮他算一算．
若小英参加节目，第一个问题可能被问到历史类的概率是______ ；
用树状图或列表的方法求小英前两个问题可能被问到诗词类和百科类的概率同一类知识可以多次提问．

21.  本小题分
圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得建筑物顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂顶的仰角为，那么小明计算索菲亚教堂的高度为多少？保留根号，，，
 

22.  本小题分
近期某水果店以每千克元的价格购进一批芒果，规定每千克芒果售价不低于进价又不高于元经市场调研发现，芒果的日销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，其部分数据如表所示：

求与之间的函数关系式；
当芒果的日销售量为千克时，每千克芒果的售价应定为多少元？
当某一天售价为最高时，求当日的销售利润．

23.  本小题分
为全面落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣班，计划成立“丹青给色”“音乐鉴赏”、“体育运动”、“文学赏析”和“劳动体验”五个兴趣班，要求每位学生都只选其中一个小组为此，随机抽查统计了学校各年级部分学生选择兴趣班的意向，并根据数据绘制成如下不完整的统计图．

根据统计图中的信息，解答下列问题：
求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“丹青绘色”的扇形的圆心角度数；
将条形统计图补充完整；
该校共有名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“体育运动”兴趣小组的学生人数．

24.  本小题分
如图，中两条互相垂直的弦，交于点．
，，的半径为，求弦的长；
过点作交于点，求证：．

25.  本小题分
抛物线与轴，轴分别交于，两点．
求，的值；
记抛物线的对称轴与轴的交点为，为轴上点右侧一点，为抛物线上一点，若是以为斜边的直角三角形且与相似点与点为对应顶点，求点的坐标．

26.  本小题分
问题提出：
如图，是的外接圆，，，则半径长等于______ ；
问题探究：
如图，在矩形中，，若在边上存在一点，使得，求矩形面积的最大值；
问题解决：
如图，是一个矩形广场，其中，足够长为了方便居民生活，促进经济发展，街道计划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场，其中，分别在边，上，且在具体施工中安全联防小组要求在上找到一点，使得，以便安装摄像头对市场进行安全监管请问满足上面要求的市场是否存在，若存在，请求出市场面积的最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：由图知，该几何体为四棱锥，
故选：．
根据简单几何体的展开图得出结论即可．
本题主要考查简单几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：过点作，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
过点作，即可求得，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质即可求得．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算，从而作出判断．
本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，理解运算法则是解题基础．
 

5.【答案】 

【解析】解：把点代入直线得：．
解得．
随的增大而减小，当时，，
当时，，
故选：．
把点代入直线得，可解得的值，即可进行判断．
本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．解答此题的关键是弄清题意，直线与轴有交点，则交点坐标一定适合直线的解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作于，
，，
，
，
，
，
的周长等于．
故选：．
过点作于，求出的长，根据勾股定理求出的长，则可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形性质，应用勾股定理求得的长是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，
根据量角器的读数方法得：．
故选：．
根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，从而可求得的度数．
此题考查了圆周角定理，熟知圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得平移后的解析式为，与轴交点的横坐标为，，
令，则，
，，
，
，
解得，
故选：．
先求出平移后的解析式，及其平移后抛物线与轴的交点横坐标，再利用根与系数的关系和，列出方程求职即可．
本题考查抛物线与轴的交点，关键是根与系数的关系的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，提取公因式
完全平方公式
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．
 

10.【答案】 

【解析】解：边形的内角和为，
边数增加它的内角和增加．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式解答．
本题考查了多边形的内角和公式，要注意多边形的边数每增加，内角和增加．
 

11.【答案】 

【解析】解：一组勾股数的勾为为正整数，，
，
经为．
故答案为：．
当一组勾股数的勾为为正整数时，它的股、经分别为和，由此即可计算．
本题考查勾股数，规律型：数字的变化类，关键是明白：当一组勾股数的勾为为正整数时，它的股、经分别为和．
 

12.【答案】 

【解析】解：为的中点，的面积为，
的面积为，
双曲线的解析式为：，
将代入可得
解得：．
故答案为：．
应用的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中的几何意义，关键是利用的面积转化为的面积．
 

13.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，
，，，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
在菱形中，根据菱形的性质得到，，，，，推出是等边三角形，得到，根据勾股定理得到，求得，过作与，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】解：如图，为所作．
 

【解析】连接，再作交于点，直线交于点，然后证明，则．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，．
，
，即．
又分别为，的中点，
．
在≌中，
，
≌．
． 

【解析】欲证明，只需推知≌即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
绕点顺时针旋转后得到的如图所示，
点的坐标是．
故答案为：．
根据平移的性质作图即可．
根据旋转的性质作出绕点顺时针旋转后得到的，即可得出答案．
本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：第一个问题可能被问到历史类的概率是；
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中前两个问题可能被问到诗词类和百科类的结果数为，
所以小英前两个问题可能被问到诗词类和百科类的概率．
直接根据概率公式计算；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出前两个问题为诗词类和百科类的结果数，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，

由题意得：，，，
，，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
小明计算索菲亚教堂的高度为． 

【解析】过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，根据题可意得：，，，从而可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；
把代入得：
，
解得，
每千克芒果的售价应定为元；
规定每千克芒果售价不低于进价又不高于元，
售价为最高即是，
日销售量，
元，
当日的销售利润是元． 

【解析】设与之间的函数关系式为，用待定系数法可得与之间的函数关系式为；
把代入可解得每千克芒果的售价应定为元；
售价为最高即是，可求得日销售量千克，从而可得当日的销售利润是元．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

23.【答案】解：求本次被抽查学生的总人数为：人，
扇形统计图中表示“丹青绘色”的扇形的圆心角度数为：；
“音乐鉴赏”的人数为：人，“体育运动”的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计全校选择“体育运动”兴趣小组的学生人数大约为人． 

【解析】从两个统计图中可知，在抽查人数中，“劳动体验”的人数为人，占调查人数的，可求出调查人数；用乘“丹青绘色”所占比例即可得出扇形统计图中表示“丹青绘色”的扇形的圆心角度数；
用抽查学生的总人数乘可得“音乐鉴赏”的人数；用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“体育运动”的人数，即可将条形统计图补充完整；
用样本估计总体即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

24.【答案】解：如图，连接，

，过圆心，
，，
由勾股定理得，，
；
证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】连接，由垂径定理和勾股定理可得答案；
连接，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．
此题考查的是垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

25.【答案】解：由题意得：，解得：，
即，；

由知，抛物线的表达式为：，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，
过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，交过点和轴的平行线于点，

连接，在中，，
是以为斜边的直角三角形且与相似点与点为对应顶点，
则，即：：，
，
，
，
，
，
∽，
则，
，
解得：或不合题意的值已舍去，
即点的坐标为：或 

【解析】由待定系数法即可求解；
证明∽，得到，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

26.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，如图：

为直径，
；
又
；
．
半径为：．
以为直径作半圆，如图：

；
只能在以为直径的半圆上；
，即．
过作交于，过作于，过三点做圆，如图：

矩形中，
为直径．
，
，
在上，且，
．
．
即：满足上面要求的市场存在，市场面积为．
利用圆周角定理转化为直角三角形后解出．
，点只能出现在以为圆心的半圆上．
同样需构造圆，解决能使面积最大的的位置，求出最大面积．
本题考查了圆角定理、圆中的最值等知识点，定弦定角模型的典型应用．