2023年陕西省西安市雁塔区重点中学中考数学十一模试卷(含解析)

2023年陕西省西安市雁塔区重点中学中考数学十一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一种微粒的半径是米，数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在四边形中，对角线与相交于点，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，，平分交于点，在上找一点，连接，使，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  直线：关于轴对称后，与轴的交点为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知在中，：：，且，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

10.  一个正多边形的中心角为，则从该正多边形的一个顶点出发共有______ 条对角线．

11.  若，是方程的两个实数根，则的值为______ ．

12.  如图，将斜边长为的等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，令直角顶点在反比例函数图象上，边与轴垂直若坐标原点恰好为的内心，则的值为______ ．

13.  如图，的半径为，为圆上一动弦，以为边作正方形，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
求不等式的非正整数解．

16.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

17.  本小题分
如图，已知，请作出的一个圆周角，使得尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
 

18.  本小题分
如图，，，点在上，且求证：．

19.  本小题分
九章算术是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买本．若每人出元，则多了元；若每人出元，则少了元．问学生人数和该书单价各是多少？

20.  本小题分
如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和，转盘可以自由转动．
转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率；
转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率．

21.  本小题分
近几年人们的购物方式发生了很大的改变，支付方式也日益增多，某数学兴趣小组就此问题在本地区随机调查了人，并根据调查结果在此处键入公式绘制了统计图：

补全条形统计图和扇形统计图；
求在扇形统计图中选择微信支付所对应的圆心角的度数；
若该地区有万人口，请估计会有多少人在网络购物时选择微信支付？

22.  本小题分
如图，为测量某建筑物的高度，小刚采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度：请根据小刚的测量数据，计算出建筑物的高度结果要求精确到个位，参考数据：
 

23.  本小题分
国家为了鼓励新能汽车的发展，实行新能积分制度，积分越高获得的国家补贴越多某品牌的“”店主销纯电动汽车续航千米和插电混动汽车，两种主销车型的有关信息如表：

月份该“”店共花费万元购进，两种车型，且全部售出共获得新能积分分，设购进、型号的车分别为，辆，则，分别为多少？
因汽车供不应求，该“”店月份决定购进，两种车型共辆，且所进车辆全部售出后获得新能积分不高于分，已知新能积分每分可获得万元的补贴，那么月份如何进货才能使店获利最大？获利包括售车利润和积分补贴
 

24.  本小题分
如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
求此抛物线的解析式及对称轴；
取点，连接，在第四象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
问题发现：
如图，点是半径为的上一动点，直线是外一条直线，点是上一动点，圆心到直线的距离为，则线段的最小值为______ ；
问题探究：
如图，在中，，两内角平分线，相交于点，求用表示；
问题解决：
如图，在中，，，，在直线左侧平面内有一点，若的外接圆半径为，角平分线，相交于一点，点，分别在，上求取得最小值时的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据有理数的乘方的定义解答．
本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：用科学记数法表示为．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
，
，
．
故选：．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
当或时，可判定四边形是菱形；
当时，
由知，
，
，
四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
故选：．
根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
本题主要考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的定义和各个判定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，平分，
，
，
，
过作于，
，
，平分，
，
，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角的性质得到，过作于，根据角平分线的性质得到，由直角三角形的性质得到答案．
本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于直线：，当时，，
直线：与轴的交点为，
关于轴的对称点为．
直线：关于轴对称后的解析式为：，
把代入得，
，
．
故选：．
先求出直线：关于轴对称后的解析式，然后把代入即可求出的值．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形变化轴对称，以及待定系数法求函数解析式，表示出直线：关于轴对称后的解析式为：是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
又：：，
，
，
，
故选：．
根据圆心角与圆周角的关系以及等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查圆周角，掌握圆周角与圆心角的关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，
即与轴有一个交点，与轴一个交点．
令得，
与轴一个交点时，
，
解得，
当与轴有两个交点，且其中一个交点与轴交点相重合时，
此时，
，
故选：．
抛物线必定与轴有一交点，另一交点为轴，根据二次函数与一元二次方程之间的关系求解．
本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，解题关键是明确抛物线与轴的交点数量借助根的判别式判定．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是．
故答案为：．
利用正多边形的中心角的定义，即可求出这个多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可求答案．
本题主要考查了正多边形的中心角的定义、多边形的对角线，熟练掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，
所以，
故答案为：．
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，利用整体代入法是本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，，延长交于，
是等腰直角三角形，原点恰好为的内心，
，，
斜边，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
直角顶点在反比例函数图象上，
，
故答案为．
连接，，延长交于，根据题意，，进而即可求得，即可得到，根据待定系数法即可求得的值．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的内心，反比例函数图象上点的坐标特征，求得的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，将绕点顺时针旋转，可得，连接，，

，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，且，，
≌，
，
在中，，
点，点，点共线时，有最大值为，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系可得，于是得到答案．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】先计算负整数指数幂、绝对值、代入特殊角的三角函数值、立方根，再进行实数混合运算即可．
此题考查了实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

15.【答案】解：





所以非正整数解为，，． 

【解析】首先去掉分母，然后移项、合并同类项，最后化系数为即可求出不等式的解集，然后取整即可．
此题主要考查了一元一次不等式的解法，其中正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 

16.【答案】解：原式


；
当时，
原式
． 

【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了分式的化简求值，本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 

17.【答案】解：如图，即为所求作．
 

【解析】作，在优弧上任意取一点，连接，即可．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先根据平行线的性质得到，然后根据“”可判断≌，从而根据全等三角形的性质得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

19.【答案】解：设学生有人，该书单价元，
根据题意得：，
解得：．
答：学生有人，该书单价元． 

【解析】设有人，该书单价元，根据“如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】解：由图得：红色扇形的圆心角为，
故转动一次，指针指向红色区域的概率为；

画树状图如下：

共有种等可能的结果，指针两次都落在蓝色扇形内的结果有种，
指针两次都落在蓝色扇形内的概率为． 

【解析】根据概率公式即可得出答案；
画树状图，共有种等可能的结果，指针两次都落在蓝色扇形内的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：不选择网络购物的人数为：，
支付方式为微信的百分比为：，
补全的条形统计图和扇形统计图如图所示，


在扇形统计图中选择微信支付所对应的圆心角的度数为：；
万人人．
答：估计会有人在网络购物时选择微信支付． 

【解析】根据会选择网络购物的人数可得不选择网络购物的人数，根据支付方式为支付宝、其它所占的百分比可以求得支付方式为微信的百分比，再补全条形统计图和扇形统计图；
根据中的答案和统计图中的数据可以求得和种支付方式的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据统计图中的数据可以计算出在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角的度数；
根据统计图中的数据可以估计在网络购物时选择微信支付的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，延长交于点，

则，
斜坡的坡度：，
设，则，
在中，，
，
，
解得，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
建筑物的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，延长交于点，则，根据斜坡的坡度：，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为，的值为．
设月购进型车辆，则购进型车辆，
依题意得：，
解得：．
设所进车辆全部售出后获得的总利润为万元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，即购进型车辆，型车辆时获利最大． 

【解析】设购进、型号的车分别为，辆，根据，两种车型共花费万元，全部售出共获得新能积分分，列出方程组，解方程组即可；
设月购进型车辆，则购进型车辆，根据车辆全部售出后获得新能积分不高于分列出不等式，求出，设所进车辆全部售出后获得的总利润为万元，列出与的函数关系式，根据一次函数的增减性，求出结果即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系列出方程或不等式．
 

24.【答案】证明：连接，如图所示：
是的切线，
，，
是直径，平分，
，
，
，
；
解：过点作于点，如图所示：
是直径，，
，，
，
，
，
，
．
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】

【分析】
连接，证明，，，即可得结论；
过点作于点，利用勾股定理求出，利用面积法求出，证明∽，推出，由此求出即可．
【解答】
证明：连接，如图所示：
是的切线，
，，
是直径，平分，
，
，
，
；
解：过点作于点，如图所示：
是直径，，
，，
，
，
，
，
．
，
，
，
∽，
，
，
．
【点评】
本题属于圆的综合题，考查了圆的切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．  

25.【答案】解：将，代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，
而，
对称轴为直线；
存在一点，使得，理由如下：
作关于轴的对称点，作直线交抛物线于，如图：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
、关于轴对称，
，，
，即是满足条件的点，
设直线为，将代入得，
，
直线为，
解得或，
． 

【解析】将，代入，用待定系数法可得抛物线的解析式为，即得对称轴为直线；
作关于轴的对称点，作直线交抛物线于，由，，可得，由，，得，根据、关于轴对称，知，，故，即是满足条件的点，设直线为，将代入得直线为，解得．
本题考查二次函数综合应用，掌握待定系数法、三角形面积、对称变换等知识是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，当点距离直线最近时，即当，且在线段上时最小，
最小值为．
故答案为：．
如图，在中，，两内角平分线，相交于点，

，
．
在中，，，，
，以为边作等边三角形，如图所示，
的外接圆半径为，
，
由可得．
点在为圆心，为半径的圆上运动，
当时，取得最小值，此时，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
当时，取得最小值，
在中，，
．
取得最小值时，的长度为．

当点距离直线最近时，最小；
根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理即可求解；
根据已知可得点在为圆心，为半径的圆上运动，根据点到圆上的距离以及垂线段最短分别求得，，即可求解．
本题考查了点到圆上一点的距离的最值问题，垂线段最短，三角形的外接圆的定义，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．