2023年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷(含解析)

这是一份2023年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市高新区中考数学二诊试卷一、选择题（本题共8小题，共32分）1.  的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图所示几何体的俯视图是(    )A.
B.
C.
D.
 3.  年月，成都市某街道为进一步激发消费活力，提振消费信心，开展了“合家欢购作享实惠”主题消费活动，活动期间共计发放价值万元的消费券，将数据万用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图，在中，，，点，，分别是，，的中点，则四边形的周长为(    )A.
B.
C.
D. 7.  孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为(    )A.  B.  C.  D. 8.  关于二次函数，下列说法正确的是(    )A. 图象的对称轴是直线
B. 图象与轴没有交点
C. 当时，取得最大值，且最大值为
D. 当时，的值随值的增大而增大二、填空题（本题共10小题，共40分）9.  分解因式：______．10.  如图，点在直线上，点，在直线异侧，若，则的度数为______ ．
 11.  若分式的值为，则的值为______ ．12.  如图，，，交于点，若：：，，则的长为______ ．
 13.  如图，平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数图象交于点，过点作轴，垂足为，连接，若三角形的面积为，则的值为______ ．
14.  已知关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______ ．15.  某品牌鞋子的长度与码数之间满足一次函数关系若码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，则码鞋子的长度为______ ．16.  在如图所示的电路图中，当随机闭合开关，，，中的两个时，能够让灯泡发光的概率为______ ．
 17.  如图，中，，，点，分别在边，上，连接，将沿翻折，点的对应点为点，线段恰好经过点若，则的值为______ ．
 18.  在平面直角坐标中，对于线段与等腰直角给出如下定义：线段的中点为点，平移线段得到线段点，，的对应点分别为点，，，若线段的两端点同时落在边上，线段长度的最小值称为线段到三角形的“位移”如图，为等腰直角三角形，，在轴上，点在轴正半轴上，线段的长为，线段中点的坐标为若线段到的“位移”为，则的取值范围是______ ．
 三、简答题（本题共8小题，共78分）19.  计算：；
解不等式组：．20.  “五四”青年节来临之际，某校组织学生参加知识竞赛活动，张老师随机抽取了部分同学的成绩满分分，按成绩划分为，，，四个等级，并制作了如下不完整的统计表和统计图． 等级成绩分人数请根据图中提供的信息解答下列问题：
本次抽取的学生共有______ 人，表中的值为______ ；
所抽取学生成绩的中位数落在______ 等级填“”，“”，“”或“”；
该校共组织了名学生参加知识竞赛活动，请估计其中竞赛成绩达到分以上含分的学生人数．
21.  如图，一艘轮船从点处向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行海里到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知灯塔四周海里内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行会有触礁的危险吗？并说明理由参考数据：，，，，
22.  如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点，交过点的切线于点，连接．
求证：；
若，求和的长．
23.  在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第一象限的图象上一点．
如图，过点的直线分别与轴，轴交于点，，且．
求反比例函数的表达式；
点为轴正半轴上一点，点在反比例函数图象上，若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
过定点的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点，交轴于点，连接，，设的面积为，的面积为，若，求的值．
 24.  加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资是全社会共同的责任某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？25.  如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上．
求抛物线的函数表达式；
点是直线上方抛物线上一点，过点分别作轴，轴的平行线，交直线于点，．
当时，求点的坐标；
(ⅱ)点为线段中点，当点，，三点在同一直线上时，求的值．
26.  在中，，，，点是边的中点，将绕点旋转得到点，的对应点分别为，，点不在直线上，连接．
如图，连接，，，求证：四边形是矩形；
如图，当落在边上时，与交于点，连接，，求线段的长；
在旋转过程中，点为的重心，连接，当线段取得最小值时，求出此时的面积．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 2.【答案】 【解析】解：从上面看该几何体，可看到如图：
．
故选：．
俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视图．
 3.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和除法，完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法和除法，完全平方公式等知识点，能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法、完全平方公式是解此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：是直径，
，
，
．
故选：．
利用圆周角定理求出，再利用三角形内角和定理求解即可．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
 6.【答案】 【解析】解：点、、分别是边、、的中点，
、是三角形的中位线，
，，，，
四边形的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理分别求出、、，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为，
故选：．
直接利用“绳长木条；绳子木条”分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：二次函数，
该函数的图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
故A错误，不符合题，C正确，符合题意；
该函数的图象开口向下，顶点在第一象限，
函数图象与轴一定有两个交点，
故B错误，不符合题意；
当时，随的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 9.【答案】 【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
又，
，
．
故答案为：．
根据以及，得到，进而求出的度数．
本题主要考查垂直以及平角的概念，关键是掌握两个概念．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意知：且．
解得．
故答案为：．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
 12.【答案】 【解析】解：，
，，
∽，
：：：，
又，
．
故答案为：．
由平行线的性质求出，，其对应角相等得∽，再由相似三角形的性质求出线段即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
 13.【答案】 【解析】解：如图，过作轴于点，

设点，则点，，，
轴，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
过作轴于点，设点，则点，，，由求出，即可得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点以及反比例函数的定义，求出的值是解题的关键．
 14.【答案】解：


；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是． 【解析】先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 15.【答案】     【解析】解：本次调查的样本容量为：；
故，
所以，
故答案为：；；
把所抽取学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数均在等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在等级．
故答案为：；
名．
答：估计其中竞赛成绩达到分以上含分的学生人数大约为名．
用等级的频数除以可得样本容量，用样本容量乘可得的值，进而得出的值；
根据中位数的定义解答即可；
用乘样本中竞赛成绩达到分以上含分的学生人数所占比例即可．
本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据频数分布表和扇形统计图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
 16.【答案】解：安全，理由如下：
过点作垂直，

由题意可得，，，海里，
在中，设海里，则海里，
在中，，
，
，
解得：，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的． 【解析】过点作垂直，利用特殊角的三角函数值求得的长度，从而根据无理数的估算作出判断．
本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 17.【答案】证明：连接，
是的切线，切点为，
，
即，
又，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作于，则，
在中，，，
，
，
，
，
，，
，，
过点作于，则，
． 【解析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，进而得到；
根据锐角三角函数的定义以及等腰三角形的性质求出、、、，进而得出即可．
本题考查切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及微切线的性质是正确解答的前提．
 18.【答案】解：过点作轴于点，
轴，，
，
∽，
，
，即，
将代入反比例函数，得，
反比例函数的表达式为；
由可得，，设，，
当点，，，组成平行四边形时，
，
，
，
；
当点，，，组成平行四边形时，
，
，
即，
，
综上所述，点的坐标为或；
直线过定点，
点的坐标为，代入反比例函数，
得，
如图，当点在线段上时，

，
，
作轴于点，轴于点，
∽，
，
，即，
，
将代入直线，得；
当点在线段的延长线上时，

，
，
作轴于点，轴于点，
∽，
，
，即，
，
将代入直线，得；
综上所述，的值为或． 【解析】过点作轴于点，求出点的坐标，由待定系数法可求出解析式；
由可得，，设，，当点，，，组成平行四边形时，当点，，，组成平行四边形时，由平行四边形的性质可求出答案；
由题意求出，分两种情况，如图，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，由相似三角形的性质可求出答案．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】解：方程的两根为、，其中，
则有：，
，
．
故答案为：．
设方程的两根为、，其中，由根与系数的关系可得出，结合即可求出值．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
 20.【答案】 【解析】解：由某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，设，
码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，
，
解得，
，
当时，，
故答案为：．
由题意设，用待定系数法求出与的函数关系式，再将代入即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出与的函数关系式．
 21.【答案】 【解析】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，或和，或和时，灯泡能发光，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，
能够让灯泡发光的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法以及概率公式．正确的画出树状图是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：，，
设，，
在中，，
，
，
，
由折叠可知，，，
，，
如图，过点作于点，

，
设，，，
，，
，，
∽，
，
，，
，
解得：，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
根据题意可设，，则，进而得，由等边对等角可得，由折叠可知，，进而得到，，过点作于点，设，，，则，易证∽，于是得，以此得到，，进而求出，再算出，在中，，，再算出，最后代入计算即可求解．
本题主要考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，利用相似三角形的性质求出的长度是解题关键．
 23.【答案】 【解析】解：如图，是等腰直角三角形，，
，
，，，
当与重合时，
是的中点，
，
，
当与重合时，
是的中点，
，
，
当在上，且与重合时，
，
，
，
的取值范围是，
故答案为：．
分别求出，的中点坐标，再求出当在上，且与重合时，的坐标，利用两点间的距离公式分别求出的长，通过分析比较得到的取值范围．
本题考查了坐标与图形变化平移以及等腰直角三角形的性质，数形结合，找到临界位置是解题关键．
 24.【答案】解：甲分类垃圾桶的单价是元，则乙分类垃圾桶的单价是元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲分类垃圾桶的单价是元，乙分类垃圾桶的单价是元；
设购买甲分类垃圾桶个，则购买乙分类垃圾桶个，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为．
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个． 【解析】甲分类垃圾桶的单价是元，则乙分类垃圾桶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买甲分类垃圾桶个，则购买乙分类垃圾桶个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 25.【答案】解：直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上，
令，则，令，则，
，，
将，代入抛物线表达式得，，
解得，
抛物线的表达式为：；
 点是直线上方抛物线上一点，且轴，轴．
∽，
，
设点，，
则，
，
，
，
，，
，解得，．
或；
(ⅱ)由知：，
又点为线段中点，点，，三点在同一直线上，
，
，，
轴、轴，
，，，，
，，
，，
，
点是的中点，
，
直线的函数表达式，
，
解得，
，
，
，
轴，
∽，
，
故的值为． 【解析】解方程求得，，将，代入抛物线表达式解方程组即可得到结论；
根据相似三角形的判定和性质得到，设点，，得到，解方程即可得到结论；
(ⅱ)由知：，根据平行线的性质得到，，，，求得，求得，解方程组得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
 26.【答案】证明：绕点顺时针旋转得到，点是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，
；
解：如图，连接并延长，交于点，

，为的重心，
，
，，
∽，
，
取的中点，连接，，则，
点在以点为圆心，半径为的圆上运动，
，
当点、、三点共线时，的长最小，如图，

在中，
，为的中线，
，
，

，
，
过点作，
，
在中，
，
，即，
，
，
． 【解析】根据旋转的性质可得，以此可证明四边形是平行四边形，再由其对角相等即可证明；
根据同角的余角相等得，由等边对等角得，进而得到，，于是，利用勾股定理求得，则，易证明∽，利用相似三角形的性质求出，再利用线段之间的关系计算即可；
连接并延长，交于点，易证∽，得到，取的中点，连接，，则，得到点在以点为圆心，半径为的圆上运动，根据两点之间线段最短可得当点、、三点共线时，的长最小，根据等腰三角形的性质可得，，进而可得，于是，，过点作，则，因此，根据勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查旋转的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形重心问题、解直角三角形，理解题意，正确找出点的运动轨迹是解题关键．