2024年新高考数学一轮复习 第二章 第四节 指数与指数函数

课时跟踪检测(十二) 指数与指数函数

一、全员必做题

1．(2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　 )

A．25  B．5  C.  D.

解析：选C　因为2a＝5，b＝log83＝log23.即23b＝3，所以4a－3b＝＝＝.

2．函数y＝－x2＋2x的单调递增区间是(　 )

A．[－1，＋∞)  B．(－∞，－1]

C．[1，＋∞)  D.(－∞，1]

解析：选C　令t＝－x2＋2x，则y＝t，因为t＝－x2＋2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，y＝t在定义域内为减函数，所以y＝－x2＋2x在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，故选C.

3．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度(　 )

A．25天  B．30天

C．35天  D.40天

解析：选B　依题意，解得当h＝40%时，40%＝·at，即40%＝·a10·at－10，得at－10＝4＝(a10)2＝a20，即t－10＝20，解得t＝30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度．

4．若－1<m<0，a＝3m，b＝m，c＝m3，则(　 )

A．c<b<a  B．b<c<a

C．a<c<b  D.a<b<c

解析：选B　因为－1<m<0，所以0<－m<1，则函数y＝(－m)x单调递减，因此0<(－m)3<(－m)，即0<－m3<－m，所以m<m3<0，又0<3m<30＝1，所以b<c<a.

5.(2023·浙江淳安中学高三模拟)若函数f(x)＝(ax－1)(x－b＋1)的图象如图所示，则(　 )

A．0<a<1，b<1

B．0<a<1，b>1

C．a>1，b<1

D．a>1，b>1

解析：选D　由题意，函数f(x)＝(ax－1)(x－b＋1)，令f(x)＝0，即(ax－1)(x－b＋1)＝0，解得ax－1＝0或x－b＋1＝0，可得x＝0或x＝b－1，结合题图，可得b－1>0，解得b>1；由题图知，当x<0时，f(x)>0，又因为b>1，可得x－b＋1<0，所以ax－1<0，即ax<1，解得a>1.

6．(多选)函数f(x)＝，下列关于函数f(x)的说法正确的是(　 )

A．函数f(x)的图象关于原点对称

B．函数f(x)的值域为(0,1)

C．不等式f(x)>的解集是(0，＋∞)

D．f(x)是增函数

解析：选BCD　函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝≠0，所以函数f(x)的图象不关于原点对称，A错误；因为e－x＋1>1，所以f(x)＝∈(0,1)，B正确；由f(x)＝>可得e－x<1，则－x<0，解得x>0，C正确；对任意的x∈R，y＝1＋e－x>1，且函数y＝1＋e－x在R上单调递减，故函数f(x)是增函数，D正确．

7．若ex＝2 020，e－y＝1 010，求x＋y＝________.

解析：ex＝2 020，e－y＝1 010，则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2.

答案：ln 2

8．已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.

解析：因为f(x)是奇函数，且当x>0时－x<0，f(x)＝－f(－x)＝e－ax.又因为ln 2∈(0,1)，f(ln 2)＝8，所以e－aln 2＝8，两边同时取以e为底的对数得－aln 2＝3ln 2，所以－a＝3，即a＝－3.

答案：－3

9．若函数f(x)＝2|x|＋1在区间[a，＋∞)上单调递增，则实数a的最小值为________．

解析：函数f(x)＝2|x|＋1的图象如图所示．

由图象知f(x)的减区间是(－∞，0]，增区间是[0，＋∞)，又因为函数在区间[a，＋∞)上单调递增，所以a≥0，所以实数a的最小值为0.

答案：0

10．已知函数f(x)＝3|x－2|＋x2－4x，且f(log2a)>f(3)，则实数a的取值范围为________．

解析：∵y＝3|x－2|和y＝x2－4x都在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．又f(log2a)>f(3)，∴|log2a－2|>|3－2|＝1，即log2a<1或log2a>3，解得0<a<2或a>8.

答案：(0,2)∪(8，＋∞)

11．已知函数f(x)＝4x－2×2x＋1＋a，其中x∈[0,3]．

(1)若f(x)的最小值为1，求a的值；

(2)若存在x∈[0,3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围．

解：(1)因为x∈[0,3]，f(x)＝(2x)2－4×2x＋a＝(2x－2)2＋a－4，当2x＝2，即x＝1时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝a－4＝1，解得a＝5.

(2)令t＝2x∈[1,8]，则f(t)＝t2－4t＋a，由f(x)≥33可得a≥－t2＋4t＋33，令g(t)＝－t2＋4t＋33，函数g(t)在[1,2)上单调递增，在(2,8]上单调递减，因为g(1)＝36，g(8)＝1，所以，g(t)min＝g(8)＝1，∴a≥1，故a的取值范围是[1，＋∞)．

12．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性并说明理由；

(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

解：(1)函数f(x)在R上单调递增，且为奇函数.理由如下：设∀x1，x2∈R且x1<x2，所以f(x1)－f(x2)＝ 因为x1，x2∈R且x1<x2，所以0<所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)＝ex－e－x在R上单调递增；又因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)由(1)可知f(x)在R上是增函数和奇函数，若f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，则f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，得x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，即t2＋t≤x2＋x对一切x∈R都成立，因为x2＋x＝2－，即(x2＋x)min＝－.所以t2＋t≤－，即t2＋t＋≤0恒成立，解得t＝－.

故存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．

二、重点选做题

1．设实数a，b满足5a＋11b＝18a,7a＋9b＝15b，则a，b的大小关系为(　 )

A．a<b  B．a＝b

C．a>b  D.无法比较

解析：选A　假设a≥b，则11a≥11b,7a≥7b，由5a＋11b＝18a得5a＋11a≥18a⇒a＋a≥1，因为函数f(x)＝x＋x在R上单调递减，又f(1)＝＋＝<1，则f(a)≥1>f(1)，所以a<1；由7a＋9b＝15b得7b＋9b≤15b⇒b＋b≤1，因函数g(x)＝x＋x在R上单调递减，又g(1)＝＋＝>1，则g(b)≤1<g(1)，所以b>1；即有a<1<b与假设a≥b矛盾，所以a<b.

2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ax(a>1)．若对任意的x∈[0,2t＋1]，均有f(x＋t)≥[f(x)]3，则实数t的最大值是(　 )

A．－  B．－

C．0  D.

解析：选A　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ax(a>1)，∴f(x)＝a|x|(a>1)，当x≥0时为增函数，∴[f(x)]3＝(a|x|)3＝a|3x|＝f(3x)，则f(x＋t)≥[f(x)]3等价于f(x＋t)≥f(3x)，即|x＋t|≥|3x|，即8x2－2tx－t2≤0对任意x∈[0,2t＋1]恒成立，设g(x)＝8x2－2tx－t2，则有⇒8(2t＋1)2－2t(2t＋1)－t2≤0，解得－≤t≤－.

3．(多选)某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r>0)，劳累程度T(0<T<1)，劳动动机b(1<b<5)相关，并建立了数学模型E＝10－10T·b－0.14r，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是(　 )

A．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

B．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低

C．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

D．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

4．已知函数f(x)＝a·2x－21－x是定义在R上的奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)求不等式f(f(x)－2)>3的解集；

(3)若关于x的不等式f(x)>＋2恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝a·2x－21－x是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即a·2－x－21＋x＋a·2x－21－x＝0，即(a－2)＝0，因为2x＋>0，所以a－2＝0，所以a＝2(经检验，a＝2符合题意)．

(2)由(1)得f(x)＝21＋x－21－x，

因为y＝21＋x与y＝－21－x在R上均为增函数，所以f(x)＝21＋x－21－x在R上为增函数，又f(1)＝3，所以f(f(x)－2)>f(1)，所以f(x)－2>1，即f(x)>3＝f(1)，所以x>1，所以不等式f(f(x)－2)>3的解集是(1，＋∞)．

(3)因为关于x的不等式f(x)>＋2恒成立，即21＋x－21－x>＋2恒成立，所以k<22x－2x－1恒成立，所以k<(22x－2x－1)min，因为22x－2x－1＝2－，所以当2x＝，即x＝－1时，22x－2x－1取得最小值－，所以k<－，即实数k的取值范围是.