2024年新高考数学一轮复习 第二章 第八节 函数的模型及其应用

课时跟踪检测(八) 函数的奇偶性与周期性、对称性

一、全员必做题

1．(2023·郑州模拟)下列函数为奇函数的是(　 )

A．y＝x3＋1  B．y＝2x＋2－x

C．y＝x|x|  D.y＝log2x

解析：选C　对于A，y＝f(x)＝x3＋1定义域为R，则f(－x)＝－x3＋1，所以y＝x3＋1为非奇非偶函数，故A错误；对于B，y＝g(x)＝2x＋2－x定义域为R，则g(－x)＝2－x＋2x＝g(x)，即y＝2x＋2－x为偶函数，故B错误；对于C，y＝h(x)＝x|x|定义域为R，则h(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－h(x)，即y＝x|x|为奇函数，故C正确；对于D，y＝log2x定义域为(0，＋∞)，所以y＝log2x为非奇非偶函数，故D错误；故选C.

2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝则f等于(　 )

A．－7  B．1  C.  D.7

解析：选B　∵f(x)在R上的周期为2，∴f＝f＝－4×2＋2＝1.

3．(2022·萍乡三模)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n＝(　 )

A．7  B．2

C．－2  D.－

解析：选C　由已知，得f(3)＝－f(－1)＝7.故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2.

4．(2023·济宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，则f(2 022)＝(　 )

A．0  B．1 

C．－1  D.2 022

解析：选A　因为f(x－2)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(2)＝－f(0)＝0，故f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝0.

5．已知定义在R上的函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x)>f(x＋3)的x的取值范围为(　 )

A.∪(3，＋∞)

B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－1)

解析：选A　f(2x)>f(x＋3)，即f(2x－1＋1)>f(x＋2＋1)，因为y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以|2x－1|>|x＋2|，解得x>3或x<－.

6．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>－e2的x的取值范围是(　 )

A．(－2，＋∞)  B．(－1，＋∞)

C．(2，＋∞)  D.(3，＋∞)

解析：选B　∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f(x)＝ex－e－x，∴f(x)为R上的增函数，又f(－2)＝e－2－e2＝－e2，∴原不等式可化为f(x－1)>f(－2)，∴x－1>－2，即x>－1.

7．(2023·荆州中学高三开学考试)设函数f(x)＝，若函数f(x)在R上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

解析：因为f(x)＝，其定义域为R，又f(－x)＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数．故M＋m＝0.

答案：0

8．(2022·烟台三模)若f(x)＝g(x)·ln(x2－1)为奇函数，则g(x)的表达式可以为g(x)＝_______.

解析：由f(x)＝g(x)·ln(x2－1)为奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，即g(－x)·ln(x2－1)＝－g(x)·ln(x2－1)恒成立，则g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则g(x)的表达式可以为g(x)＝x或g(x)＝或g(x)＝sin x等．

答案：x(答案不唯一)

9．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(4＋x)＋f(x)＝0，且当0<x<4时，f(x)＝log4x，则f(2 022)＝________.

解析：因为f(4＋x)＋f(x)＝0，则f(8＋x)＋f(4＋x)＝0，故f(8＋x)＝f(x)，故f(x)的周期为8，则f(2 022)＝f(6)，对于f(4＋x)＋f(x)＝0，令x＝2，可得f(6)＝－f(2)＝－log42＝－，即f(2 022)＝－.

答案：－

10．已知函数f(x)(x∈R)满足f(2－x)＝－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋y1＋x2＋y2＋x3＋y3＋x4＋y4＝______.

解析：∵函数f(x)(x∈R)满足f(2－x)＝－f(x)，∴f(x)的图象关于点(1,0)对称，而函数y＝的图象也关于点(1,0)对称，∴函数y＝与y＝f(x)图象的交点也关于点(1,0)对称，∴x1＋x2＋x3＋x4＝4，y1＋y2＋y3＋y4＝0，∴x1＋y1＋x2＋y2＋x3＋y3＋x4＋y4＝4.

答案：4

11．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x，若存在x∈[－1,1]，使得不等式mg(x)＋h(x)≤0有解，求实数m的最大值．

解：因为g(x)－h(x)＝2x　①，所以g(－x)－h(－x)＝2－x，又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x　②，联立①②，得g(x)＝，h(x)＝.由mg(x)＋h(x)≤0，得m≤＝＝1－.因为y＝1－为增函数，所以当x∈[－1,1]时，max＝1－＝，所以m≤，即实数m的最大值为.

12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)的值．

解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，

又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.

又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，

∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.

∴x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.

而f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝1.

二、重点选做题

1．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则下列说法正确的是(　 )

A．f(x)是偶函数  B．f(x)是周期函数

C．f＝－1  D.x∈[－1,0)时，f(x)＝x

解析：选AB　因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；又f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，故B正确；设x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，所以f(－x)＝－x，又f(x)是偶函数，则f(x)＝－x，即当x∈[－1,0)时f(x)＝－x，f＝f＝f＝－＝，故C，D错误；故选A、B.

2．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋4)＝f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝|4x－1|，则以下结论正确的是(　 )

A．f(2 022)＝0

B．G(x)＝f(x)－在[－2,4]内零点之和为6

C．f(x)在区间[4,5]内单调递减

D．f(x)在[2,6]内的值域为[0,3]

解析：选ABD　由题意，f(x)的周期为4且关于x＝1对称，∴f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝f(0)＝0，A正确；又x∈[－1,1]时f(x)＝|4x－1|，可得f(x)的部分图象如图所示，

由图知G(x)＝f(x)－在[－2,4]内6个零点关于x＝1对称，故零点之和为6，B正确；由图象及对称性知f(x)在[4,5]内单调递增，在[2,6]内的值域为[0,3]，C错误，D正确．故选A、B、D.

3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．

解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数．证明如下：f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，所以x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．