2024年新高考数学一轮复习 第三章 第二节 第一课时　导数与函数的单调性

课时跟踪检测(十八) 导数与函数的单调性

一、全员必做题

1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)是(　 )

A．增函数  B．减函数

C．先增后减  D.不确定

解析：选A　∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x>0在(－∞，＋∞)恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)是增函数．

2．函数f(x)＝x－－5ln x的单调递减区间为(　 )

A．(0,2)  B．(2,3)

C．(1,3)  D.(3，＋∞)

解析：选B　f(x)＝x－－5ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝＝，令f′(x)<0，解得x∈(2,3)．所以函数f(x)＝x－－5ln x的单调递减区间为(2,3)．

3.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象是下列四个图象中的(　 )

解析：选A　由题意可知，当－2<x<0时，f′(x)>0，则f(x)在(－2,0)单调递增，当0<x<2时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)单调递减，当－2<x<－1时，f′(x)单调递增，则f(x)在(－2，－1)增的越来越快，当－1<x<0时，f′(x)单调递减，则f(x)在(－1,0)增的越来越慢，当0<x<1时，f′(x)单调递减，则f(x)在(0,1)减的越来越快，当1<x<2时，f′(x)单调递增，则f(x)在(1,2)减的越来越慢，只有A选项符合．

4．已知函数f(x)＝2cos x(m－sin x)－3x在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数m的取值范围是(　 )

A．[－1,1]  B．

C.  D.

解析：选B　f′(x)＝－2sin x(m－sin x)＋2cos x·(－cos x)－3.因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f′(x)≤0恒成立，整理得4sin2x－2msin x－5≤0.设sin x＝t(－1≤t≤1)，则不等式g(t)＝4t2－2mt－5≤0在区间[－1,1]上恒成立．于是有即故实数m的取值范围是.故选B.

5．若函数f(x)＝x2＋x－ln x－2在其定义域的一个子区间(2k－1,2k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　 )

A.  B．

C.  D.

解析：选D　因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以2k－1≥0，即k≥，又f′(x)＝2x＋1－＝，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－1(舍去)，由于函数在区间(2k－1,2k＋1)内不是单调函数，所以∈(2k－1,2k＋1)，即2k－1<<2k＋1，解得－<k<.综上，≤k＜，故选D.

6．已知函数f(x)＝(2x－1)ex＋ax2－3a(x＞0)为增函数，则a的取值范围是(　 )

A．[－2，＋∞) B.

C．(－∞，－2 ] D.

解析：选A　∵f(x)＝(2x－1)ex＋ax2－3a在(0，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝(2x＋1)ex＋2ax≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即－2a≤ex.设g(x)＝ex，则g′(x)＝ex，由g′(x)＝ex＝＝0和x＞0得x＝.∵当x＞时，g′(x)＞0，当0＜x＜时，g′(x)＜0，∴g(x)在x＝处取得最小值，g＝4，∴－2a≤4，∴a≥－2，故选A.

7．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．

解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝x－<0，得(1，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．

答案：(1，＋∞)

8．已知函数f(x)满足下列条件：①f(x)的导函数f′(x)为偶函数；②f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，则f(x)的一个解析式为f(x)＝________.(答案不唯一)

解析：因为f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，

所以，当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，f′(x)>0，

因为f(x)的导函数f′(x)为偶函数，

所以令f′(x)＝x2－4，满足题意，

所以f(x)＝x3－4x.

答案：x3－4x(答案不唯一)

9．若f(x)＝－x2＋aln(x＋2)在[－1，＋∞)是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：f(x)＝－x2＋aln(x＋2)⇒f′(x)＝－x＋，因为f(x)＝－x2＋aln(x＋2)在[－1，＋∞)是减函数，所以f′(x)＝－x＋≤0在[－1，＋∞)恒成立，即－x(x＋2)＋a≤0⇒a≤x(x＋2)＝(x＋1)2－1，当x∈[－1，＋∞)时，(x＋1)2－1的最小值为－1，所以a≤－1.

答案：(－∞，－1]

10．(2023·济宁一模)已知函数f(x)＝e|x－1|－sin，则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是________．

解析：令g(x)＝e|x|－cos，将其向右平移1个单位长度，得y＝e|x－1|－cos＝e|x－1|－sin，所以f(x)＝e|x－1|－sin是函数g(x)向右平移1个单位得到的．而易知g(x)是偶函数，当x>0时，g(x)＝ex－cos，g′(x)＝ex＋sin，当0<x≤2时，显然g′(x)>0，当x>2时，ex>e2，－<sin<，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减．从而可知f(x)在(1，＋∞)单调递增，在(－∞，1)单调递减．所以f(x)>f(2x)时，有|x－1|>|2x－1|，解得0<x<.

答案：

11．已知函数f(x)＝(x－1)(x＋1－4a)＋(2a2－2)ln x，讨论f(x)的单调性．

解：因为f(x)＝(x－1)(x＋1－4a)＋(2a2－2)ln x，

所以f′(x)＝2x－4a＋＝(x>0)，

当a≤－1时，a－1<a＋1≤0，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

当－1<a≤1时，a－1≤0，a＋1>0，若x∈(0，a＋1)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若x∈(a＋1，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增．

当a>1时，a＋1>a－1>0，若x∈(a－1，a＋1)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，

若x∈(0，a－1)或x∈(a＋1，＋∞)，

则f′(x)>0，f(x)单调递增．

综上可得，

当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当－1<a≤1时，f(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增；

当a>1时，f(x)在(a－1，a＋1)上单调递减，在(0，a－1)，(a＋1，＋∞)上单调递增．

12．已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R.

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在[1,3]上是减函数，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x.

所以f′(x)＝2x＋1－，f′(1)＝2，又f(1)＝2.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＝0.

(2)因为函数f(x)在[1,3]上是减函数，

所以f′(x)＝2x＋a－＝≤0在[1,3]上恒成立.

即2x2＋ax－1≤0在[1,3]上恒成立，则a≤－2x在[1,3]上恒成立，令h(x)＝－2x，显然h(x)在[1,3]上单调递减，则a≤h(x)min＝h(3)，得a≤－.即实数a的取值范围为.

二、重点选做题

1．已知a>1，b>1，且满足a2－3b＝2ln a－ln 4b，则(　 )

A．a2>2b  B．a2<2b

C．a2>b2  D.a2<b2

解析：选A　由题得，a2－ln a2＝3b－ln 4b，且a>1，b>1，令f(x)＝x－ln x(x>0)，则f′(x)＝1－＝，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∵a>1，b>1，∴a2>1,2b>1，又∵f(a2)＝a2－ln a2＝3b－ln 4b，f(2b)＝2b－ln 2b，∴f(a2)－f(2b)＝(3b－ln 4b)－(2b－ln 2b)＝b－ln 2>0，即f(a2)>f(2b)，∴a2>2b.

2．已知有且只有一个实数x满足x3－ax－1＝0，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－∞，2)  B．

C．(－∞，2]  D.

解析：选D　x＝0显然不是x3－ax－1＝0的根，所以x≠0，因此只有一个实数x满足x3－ax－1＝0等价于方程a＝x2－只有一个实数根．令f(x)＝x2－，∴f′(x)＝2x＋，令f′(x)＝2x＋＝0⇒x＝，所以当x∈时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，x→0＋时，f(x)→－∞，故f(x)图象如图．故a<f＝.所以实数a的取值范围是.

3．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x.

(1)若a＝3，求f(x)的单调递增区间；

(2)若a<0，且函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(3)若a＝－且关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，当a＝3时，f′(x)＝－3x－2＝，

令f′(x)>0，得0<x<，

∴函数f(x)的单调递增区间是.

(2)f′(x)＝－ax－2，由函数f(x)存在单调递减区间，知f′(x)≤0在(0，＋∞)有解，

∴－ax－2≤0，即a≥－，

而－＝2－1≥－1，当且仅当x＝1时取等号，

∴a>－1(当a＝－1时，不等式只有唯一的解x＝1，不符合题意舍去)，

又a<0，∴a的取值范围是(－1,0)．

(3)当a＝－时，f(x)＝ln x＋x2－2x，

∴f(x)＝－x＋b即为b＝ln x＋x2－x，

令g(x)＝ln x＋x2－x(1≤x≤4)，

则g′(x)＝＋x－＝，

当1<x<2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当2<x<4时，g′(x)>0，g(x)单调递增．

∴g(x)min＝g(2)＝ln 2－2，

又g(1)＝－，g(4)＝ln 4－2，g(1)<g(4)，

∴ln 2－2<b≤－，

即实数b的取值范围是.