2024年新高考数学一轮复习 第四章 第三节 第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

课时跟踪检测(二十七) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　 )

A．1  B． 

C.  D.－

解析：选B　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.

2．(2023·泸州模拟)已知sin＝，则cos＝(　 )

A.  B．

C．－  D.－

解析：选C　cos＝cos 2＝1－2sin2＝1－2×2＝－.

3．(2023·平顶山模拟)＝(　 )

A.  B．  C.  D.

解析：选A　＝＝＝.

4．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为(　 )

A．5  B．－1 

C．6  D.

解析：选A　由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5.故选A.

5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　 )

A．－  B． 

C．－  D.

解析：选C　由3cos 2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.

6.古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，…，如图，若记∠BAC＝α，∠CAD＝β，则sin(α－β)＝(　 )

A.  B．

C.  D.

解析：选B　由题图知，sin α＝cos α＝，sin β＝，cos β＝，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝(cos β－sin β)＝×＝.

7．已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝(　 )

A．7  B．  C.  D.

解析：选A　因为θ∈，所以θ＋∈，又sin＝，

所以cos＝－，则tan＝－，

所以tan θ＝tan＝＝＝7.

8．已知cos＝，α∈，则cos＝(　 )

A.  B．  C．－  D.

解析：选C　因为α∈，所以α＋∈，又cos＝，所以sin＝＝，所以cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝－.

9．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ<180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tan(α－β)＝，则第二次的“晷影长”是“表高”的(　 )

A．1倍  B．

C.倍  D.倍

解析：选A　由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，tan α＝3，又tan(α－β)＝，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝1.

10．已知sin(2α－β)＝－3sin β，且α－β≠＋kπ，α≠，其中k∈Z，则＝(　 )

A．1  B．2  C．3  D.4

解析：选B　∵sin(2α－β)＝－3sin β，∴sin[(α－β)＋α]＝－3sin[α－(α－β)]，即sin(α－β)cos α＋cos(α－β)sin α＝－3sin αcos(α－β)＋3cos αsin(α－β)，整理得2cos(α－β)sin α＝cos αsin(α－β)，由于α－β≠＋kπ，α≠，kZ所以sin α≠0，cos(α－β)≠0，则＝2，即＝2.

11．在平面直角坐标系xOy中，角α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P(x0，y0)，若sin＝－，则x0＝(　 )

A.  B．

C.  D.

解析：选C　在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P(x0，y0)，∴cos α＝x0，设α∈，k∈Z，则α＋∈，k∈Z，又sin＝－<0，∴α＋∈，k∈Z，∴cos＝，∴x0＝cos α＝cos－＝coscos＋sinsin＝×－×＝.

12．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是(　 )

A．sin 2α＝  B．cos(α－β)＝

C．cos αcos β＝  D.tan αtan β＝

解析：选AB　因为cos 2α＝－，又0<α<，所以0<2α<π，所以sin 2α＝＝，故A正确；因为cos(α＋β)＝－，又0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝，故B正确；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝　①，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－　②，由①＋②得，2cos αcos β＝，解得cos αcos β＝，故C不正确；由①－②得，2sin αsin β＝，解得sin αsin β＝，所以tan αtan β＝＝＝3，故D不正确．

13．(2023·烟台模拟)若sin α＝cos，则tan 2α的值为________．

解析：由sin α＝cos，可得sin α＝cos αcos－sin αsin＝cos α－sin α，则tan α＝，tan 2α＝＝＝.

答案：

14．已知α，β均为锐角，且角α的终边过点(3,4)，sin(α＋β)＝，则cos β＝________.

解析：∵角α的终边过点(3,4)，∴sin α＝，cos α＝，又sin(α＋β)＝<sin α，∴α＋β为钝角，∴cos(α＋β)＝－，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.

答案：

15．(2023·鞍山模拟)的值为______．

解析：因为2cos(60°－10°)＝2cos 10°＋sin 10°＝cos 10°＋sin 10°，所以＝＝1.

答案：1

16．(2023·秦皇岛模拟)已知α为锐角，且tan α＋tan＝，则＝________.

解析：由tan α＋tan＝，得tan α＋＝，即3tan2α－5tan α－2＝0，解得tan α＝2或tan α＝－，因为α为锐角，所以tan α＝2，故＝＝＝＝－3.

答案：－3

17．已知函数f(x)＝cos 2x＋2cos2.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.

解：(1)∵f(x)＝cos 2x＋1＋cos＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，∴T＝＝π，∴函数f(x)的最小正周期为π.

(2)由f(α)＝可得，sin＝，

∵α∈，∴2α＋∈，

又∵0＜sin2α＋＝＜，∴2α＋∈，∴cos＝－，

∴cos 2α＝cos＝cos2α＋cos＋sinsin＝.