2024年新高考数学一轮复习 第四章 第六节 第一课时 正弦定理和余弦定理第六节 第一课时 正弦定理和余弦定理

课时跟踪检测(三十一) 正弦定理和余弦定理

一、全员必做题

1．(2023·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，cos A＝，sin B＝，则a＝(　 )

A．8  B．6  C．5  D.3

解析：选B　在△ABC中，因为cos A＝，所以sin A＝，由正弦定理＝得＝，解得a＝6.

2．(2023·福建模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，则cos B＝(　 )

A.  B．

C．－  D.

解析：选A　因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，令a＝2t，b＝4t，c＝5t(t>0)，则cos B＝＝＝.

3．(2023·昌平模拟)在△ABC中，B＝45°，c＝4，只需添加一个条件，即可使△ABC存在且唯一．条件：①a＝3；②b＝2；③cos C＝－中，所有可以选择的条件的序号为(　 )

A．①  B．①②

C．②③  D.①②③

解析：选B　对于①，c＝4，B＝45°，a＝3，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝10，得b＝，此时，△ABC存在且唯一，符合题意；对于②，c＝4，B＝45°，b＝2，所以＝，解得sin C＝＝，因为c<b，所以C<B，所以C为锐角，此时，△ABC存在且唯一，符合题意；对于③，c＝4，B＝45°，cos C＝－，所以<C<π，得sin C＝，进而＝，可得b＝＝＝，明显可见，c＝<＝b，与C>B矛盾，故③不符合题意．故可以选择的条件序号为①②.

4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝(　 )

A.  B．  C.  D.

解析：选B　∵3sin A＝5sin B，∴由正弦定理可得3a＝5b，即a＝b.∵b＋c＝2a，∴c＝b，∴cos C＝＝＝－＝－.∵C∈(0，π)，∴C＝.

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足acos B＋bcos A＝2ccos C，且sin A＝sin B，则△ABC的形状是(　 )

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

解析：选B　由acos B＋bcos A＝2ccos C，利用正弦定理可得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，整理得sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，0<C<π，则sin C≠0，化简得cos C＝，故C＝，在△ABC中，由于sin A＝sin B，所以A＝B(不可能A＋B＝π)，故A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．

6．(2023·泸州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是(　 )

A．6  B．8  C．4  D.2

解析：选A　因为csin A＝acos C，根据正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，∵sin A≠0，故tan C＝，C∈(0，π)，∴C＝，再由余弦定理得cos C＝＝＝，代入c＝2，ab＝8，得a＋b＝6.故选A.

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝4，sin B＝，则A＝______.

解析：因为a＝3，b＝4，sin B＝，a<b，所以A为锐角，由正弦定理＝可得sin A＝＝，所以A＝.

答案：

8．在△ABC中，若a＝2，b＝5，cos C＝，则△ABC的面积为______．

解析：因为在△ABC中，cos C＝，0<C<π，

所以sin C＝，故S△ABC＝×2×5×＝3.

答案：3

9．(2023·朔州模拟)已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝3，△ABC的面积S＝abtan C，则＝________.

解析：依题意S＝abtan C，即absin C＝ab·⇒cos C＝>0，所以C为锐角，sin C＝＝.由正弦定理得＝＝＝5⇒＝.

答案：

10．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．

解析：由cos B＝，得sin B＝，则由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12　①，由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24　②，联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.

答案：4＋4

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.设cos2A＋sin Asin B＝sin2B＋cos2C.

(1)求C；

(2)若D为AB中点，CD＝，AB＝2，求△ABC的面积．

解：(1)∵cos2A＋sin Asin B＝sin2B＋cos2C，

∴1－sin2A＋sin Asin B＝sin2B＋1－sin2C，

即sin Asin B－sin2A＝sin2B－sin2C，

由正弦定理得ab－a2＝b2－c2，即cos C＝＝，∵0<C<π，∴C＝.

(2)∵D为AB中点，∴＝－，

而＝＋，＝＋＝－，

∴·＝abcos C＝ab＝(＋)·(－)＝CD2－DA2＝7－3＝4，

∴ab＝8，∴S△ABC＝absin C＝×8×＝2.

12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝.

(1)求A；

(2)若________，求△ABC的面积S的大小．

在①2cos2B＋cos 2B＝0，②bcos A＋acos B＝＋1，这两个条件中任选一个，补充在横线上并解答．

解：(1)因为4S＝b2＋c2－a2，所以4×bcsin A＝b2＋c2－a2，所以＝，于是sin A＝cos A，故tan A＝1，因为0<A<，所以A＝.

(2)选①，因为2cos2B＋cos 2B＝0，所以cos2B＝，所以cos B＝±.

因为0<B<，所以B＝.

根据正弦定理＝，得＝，所以a＝2.

所以S＝absin C＝×2××sinπ－－＝.

选②，由bcos A＋acos B＝＋1，

得b×＋a×＝＋1，

整理得c＝＋1，所以S＝

bcsin A＝××(＋1)×sin＝.

二、重点选做题

1．(2023·广州模拟)(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是(　 )

A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4

B．若＝，则A＝45°

C．若a2＋b2<c2，则△ABC一定是钝角三角形

D．若A<B，则cos A<cos B

解析：选BC　由正弦定理知＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及＝可得，＝＝1，即tan A＝1，由0<A<180°，知A＝45°，故B正确；因为cos C＝<0，所以C为钝角，所以△ABC一定是钝角三角形，故C正确；若A＝，B＝，显然cos A>cos B，故D错误．

2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足＝＝，则sin A＝________.

解析：根据正弦定理，由＝＝⇒＝＝＝k(k>0)，所以tan A＝2k，tan B＝3k，tan C＝6k，因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，因此有tan(A＋B)＝tan(π－C)⇒＝－tan C⇒＝－6k，解得k＝(负值舍去)，因此tan A＝2×＝，

因此有⇒sin A＝(负值舍去)．

答案：

3．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，D，E为BC上两点且BD＝DE＝EC，若AD＝，则AE的长为________．

解析：由题意，在△ADB中，由余弦定理得cos∠ADB＝，在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝.又∠ADC＋∠ADB＝π，∴cos∠ADC＋cos∠ADB＝0，即＋＝0.又AB＝3，AC＝4，AD＝，BD＝DE＝EC，∴BC＝5，∴∠BAC＝，∴cos C＝.易知CE＝BC＝.在△AEC中，由余弦定理得AE2＝AC2＋CE2－2·AC·CE·cos C＝16＋－2×4××＝，∴AE＝.

答案：

4．在△ABC中，已知c·sin(A－B)＝b·sin(A－C)．其中A，B，C为内角，它们的对边分别为a，b，c.

(1)判断△ABC的形状；

(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的面积．

解：(1)因为c·sin(A－B)＝b·sin(A－C)，

所以sin C·sin(A－B)＝sin B·sin(A－C)，

所以sin C·(sin Acos B－cos Asin B)＝sin B·(sin Acos C－cos Asin C)，

所以sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Acos C－sin Bcos Asin C，

即sin Csin Acos B＝sin Bsin Acos C，

因为sin A≠0，所以sin Ccos B＝sin Bcos C，

即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0，

所以B－C＝0，即B＝C，所以△ABC是等腰三角形．

(2)由(1)可知b＝c，又a2＝b2＋c2－2bccos A，

所以25＝b2＋b2－2b2×，所以b2＝，

因为cos A＝，0<A<π，所以sin A＝，

所以S△ABC＝bcsin A＝b2sin A＝××＝.