2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在中，若，，，则　　A． B． C． D．2．（5分）已知向量，满足，，且，夹角为，则　　A． B． C． D．3．（5分）若复数是纯虚数，则实数的值为　　A．1 B．2 C．1 或 2 D．4．（5分）已知，且，，则　　A． B． C． D．5．（5分）已知，是虚数单位．若，，则的值为　　A．或 B．1 C． D．1或6．（5分）已知，且为锐角，则　　A． B． C． D．7．（5分）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东，且与相距海里的处有一货船，正以40海里小时的速度，向南偏西匀速直线行驶，30分钟后到达处，则此时该船与观测站的距离为　　海里．A． B． C．20 D．8．（5分）古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．若实数满足，则　　A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知复数为虚数单位），则　　A． B．对应的点在第一象限 C．的虚部为 D．的共轭复数为10．（5分）如图，的方格纸中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则　　A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个 B．满足的格点共有3个 C．满足的格点共有4个 D．存在格点，，使得11．（5分）下列各式中，值为的是　　A． B． C． D．12．（5分）在中，下列结论中，正确的是　　A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在中，若，，，则　　，　　．14．（5分）求值：　　．15．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则　　．16．（5分）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知平面向量，，．（1）求证：与垂直；（2）若与是共线向量，求实数的值．18．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，请在①，的面积为，②，③这三个条件中任选一个，完成下列问题：（1）求角的大小；（2）求的值．19．（12分）如图，已知正三角形的边长为1，设，．（1）若是的中点，用，分别表示向量，；（2）求；（3）求与的夹角．20．（12分）如图，扇形钢板的半径为，圆心角为．现要从中截取一块四边形钢板．其中顶点在扇形的弧上，，分别在半径，上，且，．（1）设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围；（2）求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大．21．（12分）如图，在复平面中，平行四边形的顶点，．（1）求点对应的复数；（2）记点，，对应的复数分别为，，．①若，求复数；②若复数满足，求的最小值．22．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．
2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】结合已知，根据正弦定理，可求【解答】解：根据正弦定理，，则故选：．2．【分析】按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得．【解答】解：故选：．3．【分析】直接由实部等于0且虚部不等于0求解即可得答案．【解答】解：由复数是纯虚数，得，解得．故选：．4．【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：，，．又，，则，所以．故选：．5．【分析】由已知结合列式求解值．【解答】解：，且，，即或1．故选：．6．【分析】先由为锐角，得到的范围，再求，再由，运用两角和差的余弦公式，即可得到．【解答】解：由于，且为锐角，则，即，则．故选：．7．【分析】根据题意，利用余弦定理求出的值．【解答】解：由题意知，，，，由余弦定理得：，解得．即该船与观测站的距离为20海里．故选：．8．【分析】由已知先求出，然后利用正余弦的倍角公式以及诱导公式化简所求的关系式，由此即可求解．【解答】解：根据题中的条件可得：，则．故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．【分析】由已知结合复数的基本概念及模的求法逐一核对四个选项得答案．【解答】解：，，故正确；对应的点为，在第一象限，故正确；的虚部为1，故错误；，故错误；故选：．10．【分析】根据相反向量的定义可判断错误，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐个分析选项，可判断正确．【解答】解：：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，则，设，，，且，，：若，所以，，，且，，得，，共三个，故正确，：若，则，，，且，，得，，，共4个，故正确，：当，时，则成立，故正确．故选：．11．【分析】直接利用三角函数关系式中倍角公式和诱导公式的变换求出结果．【解答】解：对于，故正确；对于，故错误；对于，故正确；对于，故错误；故选：．12．【分析】直接利用三角函数的诱导公式，正弦定理和余弦定理，三角形解的情况的应用判断、、、的结论．【解答】解：对于：若，整理得，故，则是等腰三角形，故正确；对于：若，转换为：，利用正弦定理：，则，故正确；对于：若，则，故，故为钝角三角形，故正确；对于：若，，且结合的长解三角形，有两解，则满足，即，故错误；故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角和的正弦公式即可求解的值，进而根据正弦定理可得的值．【解答】解：因为，，，所以，，所以，因为由正弦定理，可得，解得．故答案为：，52．14．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．【解答】解：原式故答案为：115．【分析】由已知利用余弦定理可得的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据正弦定理即可求解．【解答】解：因为，，，所以由余弦定理可得，可得，因为，所以．故答案为：．16．【分析】先求出，然后结合模长公式及余弦函数的性质可求．【解答】解：由题意得，则，即最大值为3．故答案为：3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【分析】（1）利用平面向量坐标运算法则求出，，再由，能证明与垂直．（2）利用平面向量坐标运算法则求出，再由与是共线向量，，能求出实数的值．【解答】解：（1）证明：平面向量，，．，，，与垂直．（2）解：，，，与是共线向量，．，解得．18．【分析】（1）由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）选择条件①：由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而可求是等边三角形，即可求解的值；选择条件②：由正弦定理即可求解的值；选择条件③：由已知利用三角形内角和定理可求的值，根据两角和的正弦公式即可求解的值．【解答】解：（1）因为，由余弦定理可得，又因为，所以．（2）选择条件①：因为，所以，又因为，，所以是等边三角形，所以，所以，选择条件②：由正弦定理，及，得，选择条件③：由，得，所以．19．【分析】（1）由平面向量的线性运算得：，．（2）由平面向量的模的运算得：．（3）平面向量数量积的运算得：，又，，故与的夹角为，得解．【解答】解：（1）因为，．是的中点，故，．（2）因为，，故．（3），又，设与的夹角为，所以，又，，故与的夹角为．20．【分析】（1）由题意可知，，，进而表达出的面积，再根据，表达出的面积，从而得到四边形钢板的面积的表达式和的取值范围．（2）利用三角函数公式可得，再由的范围，结合三角函数的性质即可求出的最大值．【解答】解：（1）因为，扇形钢板的圆心角为，所以，因为扇形钢板的半径为，，，所以，，所以，又，，所以，所以四边形钢板的面积，，其中的取值范围为．（2），因为，所以，所以当，即时，四边形钢板的面积最大，最大值为．21．【分析】（1）由已知结合复数的向量运算求得的坐标，进一步可得点所对应的复数；（2）①由图求得，，，代入，变形后利用复数代数形式的乘除运算求解；②设，，，由可得与的关系，再由复数模的公式及配方法求解的最小值．【解答】解：（1）在复平面中，由，得，，四边形为平行四边形，，的坐标为，则点对应的复数为．（2）由已知及（1），得，，，①由，得．②设，，，则由，得，即，，，当时，，即的最小值为．22．【分析】（1）法一：（化角），由正弦定理，两角差的正弦公式化简已知等式可得，结合范围，，可求的值．法二：（化边），由余弦定理化简已知等式可求的值，结合，可求的值．（2）在中，由已知利用余弦定理可得，解得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）法一：（化角）在中，由正弦定理，得，，．因为，所以，即，所以，因为，，，所以，，所以，或，或，即，或（舍或（舍，因为，所以．法二：（化边）因为，，，，所以，所以，所以，即，因为，所以，即，所以，因为，所以．（2）在中，因为，，，所以结合余弦定理，得，即，解得或（舍去），所以，即的面积为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/11 19:10:25；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367