2020-2021学年江苏省苏州市西交大附中、昆山中学、昆山一中高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市西交大附中、昆山中学、昆山一中高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）复数在复平面内的对应点位于复平面的　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）的值等于　　

A． B． C． D．

3．（5分）在中，已知，则等于　　

A． B． C． D．

4．（5分）如图，在直角三角形中，，，为边上一点，已知，且，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，直线与函数，的交点分别为，，则线段长度的最大值为　　

A．1 B． C． D．2

6．（5分）已知平行四边形中，，若，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）如图，中，为边上的中线，为延长线上一点，且，若，，　　

A．2 B．4 C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）在平面直角坐标系内，为坐标原点，已知，，若是线段的三等分点，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

10．（5分）中，，，可使得有两个不同取值的的长度是　　

A．7 B．8 C．9 D．10

11．（5分）设，，为复数，．下列命题中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

12．（5分）已知，，，，则　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，则与垂直的一个单位向量的坐标为　　．

14．（5分）设角、是锐角，若，则　 　．

15．（5分）设复数满足，，，则　　．

16．（5分）如图，单位圆与轴正半轴的交点为，，在单位圆上且分别在第一，第二象限内，．若四边形的面积为，则　　；若三角形的面积为，则　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，其中．

（1）若与平行，求实数的值．

（2）若，证明：对任意实数，与垂直．

18．（12分）求下列各式的值．

（1）；

（2）．

19．（12分）如图，设，是平面内相交成的两条数轴，分别是轴和轴正方向的单位向量．若，则把有序对叫做向量在坐标系中的坐标．已知的坐标为．

（1）求的大小；

（2）若的坐标为，求与夹角大小．

20．（12分）已知直线，是，之间的一个定点，并且点到，的距离分别是，，，分别是直线，上的动点，都在的右侧）

（1）如图1，若，且，求的最小值；

（2）如图2，若，，且，求面积的最小值．

21．（12分）在中，，，分别是角，，的对应边，已知．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

22．（12分）定义：，为实数，，，对的“正弦方差”．

（1）若，证明：实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值；

（2）若，若实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值，求，值．

2020-2021学年江苏省苏州市西交大附中、昆山中学、昆山一中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【解答】解：，

复数在复平面内的对应点的坐标为，位于复平面的第二象限．

故选：．

2．【解答】解：．

故选：．

3．【解答】解：在中，，

即为，

化为，

可得，

即有，

即有，

可得内角．

故选：．

4．【解答】解：法一：在中，，，

由正弦定理得，，

在直角三角形中，，，

．

故选：．

法二：设，在中，，，

在中，，，，

，，

故选：．

5．【解答】解：已知，

所以，

所以，

由于函数的最大值为1，

即的最大值为1．

故选：．

6．【解答】解：如图所示：，

平行四边形，

，

又，

，

，解得，

．

故选：．

7．【解答】解：，

，即，

，

．

故选：．

8．【解答】解：、、三点共线，且为的中点，

，两式平方作差可得，．

又，．①

，两式平方作差可得，，

又，．②

联立①②解得：．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【解答】解：，，

，

是线段的三等分点，或，

则或．

设，又，

，，或，，，

即或，

解得或．

故选：．

10．【解答】解：因为中，，，

当，即时，有2个不同取值．

故选：．

11．【解答】解：由复数的形式可知，选项错误；

当时，有，

又，

所以，故选项正确；

当时，则，

所以，故选项正确；

当时，则，

可得，

所以，故选项错误．

故选：．

12．【解答】解：，，

，，

，，，，

又，，

，，，，

，，

，

或．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解答】解：已知，则与垂直的一个单位向量的坐标为，

则，且，解得，或，

故单位向量的坐标为或，

故答案为：或．

14．【解答】解：，

，

，

，都是锐角，

，

，

故答案为：．

15．【解答】解：设，，，，，为实数），

因为复数满足，

所以且，，

所以，

即，

则．

故答案为：．

16．【解答】解：，

所以，

所以，

因为位锐角，；

因为，

所以，

所以，即，

而，

所以，，且为锐角，

所以．

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（1），其中，与不共线，

若与平行，则，．

（2）证明：，，即，，

，

．

18．【解答】解：（1）

．

（2）

19．【解答】解：（1）因为分别是轴和轴正方向的单位向量，所以；

又因为，在半面内相交成，所以；

又因为的坐标为，所以，

所以，

所以．

（2）因为的坐标为，

所以，

所以，所以；

又因为，

所以，，

因为与夹角的取值范围是，，

所以与的夹角为．

20．【解答】解：（1）设，因为，

所以，

令，因为，

所以，，

所以，，

令，，，

且，

所以，，，

因为是，上的增函数，

所以时，取得最大值，

即时，取得最小值；

（2）设，

因为，所以，设的面积为，

因为，，，

记，，，

所以

，

因为，，，，

所以当，即时，取得最小值，

即的面积的最小值为．

21．【解答】解：（1），

由正弦定理可得：，

又，

，

，

，

又，

，

．

，

．

（2），即，

，可得，

，

，

又，

在中，由正弦定理可知：，

，（其中为外接圆半径），

．

22．【解答】证明：（1），则．

则此时的正弦方差” 的值是与无关的定值是．

解：（2），

，

此时的正弦方差” 的值是与无关的定值，

，

，，，

，，

由①可知或，即或，

由①②可得，级，

，

或或，即或或，

当时，得，经检验符合题意，

当时，得，经检验不合题意，

当时，得，经检验符合题意，

综上可知，或，符合题意．

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日期：2021/8/3 15:54:58；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394